置換積分・部分積分 | 微積分 | 天游ヶ丘数理学院

1 置換積分

置換積分では、合成関数の微分を逆にたどります。被積分関数の中に合成関数と内側の関数の導関数が現れているとき、内側の関数を新しい変数に選びます。

公式 1.1. $I,J$ を区間とし、 $g:I\to J$ を微分可能な関数とする。 $F:J\to\mathbb R$ が微分可能であり、 $J$ のすべての点で $F'=f$ を満たすならば、

\frac{d}{dx}F(g(x))=f(g(x))g'(x)\qquad(x\in I)

が成り立つ。したがって、不定積分では

\int f(g(x))g'(x)\,dx=F(g(x))+C

と書くことができる。

証明. $F(g(x))$ を微分すると、合成関数の微分により

\frac{d}{dx}F(g(x))=F'(g(x))g'(x)=f(g(x))g'(x)

となる。したがって $F\circ g$ は $f(g(x))g'(x)$ の原始関数である。▨

定理 1.2. $a\leq b$ とし、 $g\in C^1([a,b])$ とする。 $f$ が $g([a,b])$ を含む区間で連続ならば、

\int_a^b f(g(x))g'(x)\,dx=\int_{g(a)}^{g(b)}f(t)\,dt

が成り立つ。 $g(a)>g(b)$ の場合も、右辺を向きの付いた積分として解釈する。

証明. $f$ の原始関数を $F$ とする。公式 1.1により、 $F\circ g$ は $f(g(x))g'(x)$ の原始関数である。したがって§C1.1 定理 3.1により

\int_a^b f(g(x))g'(x)\,dx=F(g(b))-F(g(a)) =\int_{g(a)}^{g(b)}f(t)\,dt

となる。 $g(a)>g(b)$ の場合は、端点を交換すると積分の符号が変わるので同じ等式が成り立つ。▨

定積分では、 $t=g(x)$ と置くときに被積分関数だけでなく端点も $x=a,b$ から $t=g(a),g(b)$ へ変えます。関数 $g$ が区間の途中で増加から減少へ変わる場合でも、公式は $g'$ の符号を含むため、 $g$ の単調性を追加する必要はありません。

例 1.3. 不定積分

\int 2x e^{x^2}\,dx

では $t=x^2$ と置くと $dt=2x\,dx$ であるから、原始関数の一つは $e^{x^2}$ である。実際、

\frac{d}{dx}e^{x^2}=2xe^{x^2}

である。

また、定積分では $x=0,1$ が $t=0,1$ に対応するので、

\int_0^1 2x e^{x^2}\,dx=\int_0^1e^t\,dt=e-1

となる。

2 部分積分

部分積分では、積の一方を微分し、他方を積分します。多項式と指数関数の積では、多項式を微分側に選ぶと次数が下がります。対数関数を含む積では、対数関数を微分側に選ぶと導関数が $1/x$ になります。

公式 2.1. $u,v$ を同じ区間で微分可能な関数とする。このとき

\int u(x)v'(x)\,dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\,dx

が成り立つ。

証明. $u(x)v(x)$ を微分すると、積の微分により

\frac{d}{dx}\bigl(u(x)v(x)\bigr)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)

となる。右辺の第1項を移項すると、 $u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\,dx$ は $u(x)v'(x)$ の原始関数になる。▨

公式 2.2. $a\leq b$ とし、 $u,v\in C^1([a,b])$ とする。このとき

\int_a^b u(x)v'(x)\,dx =\bigl[u(x)v(x)\bigr]_a^b-\int_a^b u'(x)v(x)\,dx

が成り立つ。ただし $[u(x)v(x)]_a^b=u(b)v(b)-u(a)v(a)$ である。

証明. $u(x)v(x)$ を微分すると

(uv)'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)

となる。両辺を $a$ から $b$ まで積分し、§C1.1 定理 3.1を左辺に用いると

u(b)v(b)-u(a)v(a)=\int_a^b u'(x)v(x)\,dx+\int_a^b u(x)v'(x)\,dx

を得る。第1項を移項すれば求める等式になる。▨

例 2.3. $u(x)=x$ 、 $v'(x)=e^x$ と選ぶと、 $u'(x)=1$ 、 $v(x)=e^x$ であるから

\int xe^x\,dx=xe^x-\int e^x\,dx=(x-1)e^x+C

となる。実際、

\frac{d}{dx}\bigl((x-1)e^x\bigr)=e^x+(x-1)e^x=xe^x

である。

公式 2.4. $I$ を $0$ を含まない区間とする。 $I$ 上で

\int\frac{dx}{x}=\log|x|+C

が成り立つ。定義域が正の区間と負の区間に分かれている場合、それぞれの区間における積分定数は独立である。

証明. $x>0$ ならば $\log|x|=\log x$ であり、 $(\log x)'=1/x$ である。 $x<0$ ならば $|x|=-x>0$ であり、合成関数の微分により

\frac{d}{dx}\log|x|=\frac{d}{dx}\log(-x)=\frac{-1}{-x}=\frac1x

となる。 $0$ をまたぐ区間では $1/x$ が定義されないため、正側と負側の原始関数を一つの積分定数で結ぶ条件はない。▨

3 積分による増加の速さの比較

不等式を有限区間で積分すると、新しい不等式を得ることができます。指数関数と累乗の比較では、 $0$ から $x$ までの区間を用いるため、以下の主張では $x>0$ を仮定します。

定理 3.1. $n$ を正の整数とする。すべての実数 $x>0$ について

e^x>\frac{x^n}{n!}

が成り立つ。

証明. $n=1$ とし、 $x>0$ を取る。 $0\leq t\leq x$ では $e^t\geq1$ であるから、両辺を $0$ から $x$ まで積分すると

e^x-1=\int_0^x e^t\,dt\geq\int_0^x1\,dt=x

となる。したがって $e^x\geq x+1>x=x^1/1!$ である。

ある正の整数 $n$ について、すべての $x>0$ で $e^x>x^n/n!$ が成り立つと仮定する。任意の $x>0$ を取ると、 $0<t\leq x$ では帰納法の仮定により $e^t>t^n/n!$ であり、 $t=0$ でも $e^0=1>0=0^n/n!$ である。したがって

e^x-1=\int_0^x e^t\,dt\geq\int_0^x\frac{t^n}{n!}\,dt =\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}

となる。ゆえに $e^x\geq1+x^{n+1}/(n+1)!>x^{n+1}/(n+1)!$ である。数学的帰納法により、すべての正の整数 $n$ について主張が成り立つ。▨

定理 3.2. $k$ を正の整数とする。このとき

\lim_{x\to\infty}\frac{x^k}{e^x}=0, \qquad \lim_{x\to\infty}\frac{\log x}{x}=0

が成り立つ。

証明. $x>0$ に対して定理 3.1を $n=k+1$ として用いると

0<\frac{x^k}{e^x}<\frac{(k+1)!}{x}

となる。 $k$ は固定されているので $(k+1)!$ は定数であり、はさみうちの原理により第1の極限を得る。

$x>1$ に対して $t=\log x$ と置くと、 $x=e^t$ であり、 $x\to\infty$ のとき $t\to\infty$ である。したがって

\frac{\log x}{x}=\frac{t}{e^t}\longrightarrow0

となる。最後の極限は第1の極限で $k=1$ とした場合である。▨

注意 3.3.定理 3.2は、正の整数 $k$ を先に固定し、その後で $x\to\infty$ とする主張である。 $x>1$ を固定して $k\to\infty$ とすれば、 $x^k/e^x\to\infty$ となるため、 $k$ と $x$ を同時に動かす主張ではない。

閑話休題：初等関数で表すことができない原始関数 $e^{-x^2}$ には、有限回の四則演算、合成、指数関数、対数関数などからなる初等関数として表される原始関数が存在しない。この事実は、置換積分や部分積分の選び方がまだ見つかっていないという意味ではなく、リウヴィルの定理によって不可能であることが示される例である。

一方、有理関数の原始関数は部分分数分解によって有理関数、対数関数および逆三角関数を用いて構成することができる。より広い初等関数については、微分体の設定と必要な代数的判定のもとで、初等関数の原始関数が存在するかを判定し、存在する場合に構成するリッシュの方法がある。したがって、個々の積分に対する技法の選択と、原始関数が初等関数で表されるかという決定問題は区別する必要がある。

注意 3.4.定理 1.2と公式 2.2は有限な閉区間上の公式である。広義積分へ用いる場合に必要となる端点極限、積分順序の交換および極限と積分の交換は、この二つの公式からは従わない。

4 技法を選ぶときの確認

置換積分では、合成の内側に選んだ関数の導関数が被積分関数に含まれているかを確かめます。定積分では、新しい変数に合わせて両端点も変えます。
部分積分では、どちらを微分すれば積分が簡単になるかを確かめます。多項式と指数関数の積では、多項式を微分側に選ぶのが基本です。
被積分関数が合成関数と内側の導関数の積なら置換積分を、二つの因子の積で一方を微分すると簡単になるなら部分積分を検討します。公式を用いた後に被積分関数が複雑になった場合は、選択を見直します。
不等式を積分するときは、積分区間の向きを確かめます。 $0$ から $x$ まで積分して大小を保つ議論では $x>0$ が必要です。

§C1.3置換積分・部分積分

1 置換積分

2 部分積分

3 積分による増加の速さの比較

4 技法を選ぶときの確認

参考文献

例題

演習

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