不定積分とは、微分したらになる関数（の原始関数）をすべて求める操作のことです。 つまり積分の計算は、微分の逆をやることです。基本になるのは
です（は積分定数）。多項式なら項ごとにこれを当てるだけです。
1 +C を忘れない、を作業にする
を微分してもを微分してもです。つまり「微分したらになる関数」は 1 つに決まらず、定数の差だけ無数にあります。はその全体をまとめて書く記法です。理屈はこれだけなので、あとは書き終えたら、と手が覚えるまで練習してください。
検算はいつでもできます：答えを微分して被積分関数に戻るか確かめる。因数分解と同じで、検算自体が微分の練習になります。
2 定積分と面積
で計算します（はの原始関数の 1 つ。は引き算で消えるので定積分では書きません）。の区間では、この値は曲線と軸のあいだの面積に一致します。が負になる区間では符号がつくことに注意してください：面積を求めたいなら、の符号が変わる点で区間を割ります。
閑話休題：微積分より2000年早かった面積計算 放物線と直線で囲まれた面積は、いま学んだ定積分で機械的に求まります。ところがこの答え、紀元前3世紀にアルキメデスがすでに正確に出していました。彼の結果はこうです——放物線の弓形（切片）の面積は、同じ底辺と高さを持つ内接三角形のちょうど倍。方法がまた見事で、弓形にまず大きな三角形を入れ、残った隙間に小さな三角形を2つ、その隙間にさらに4つ……と埋めていくと、各世代の三角形の面積の合計が前の世代のになることを幾何で示し、
という無限等比級数の和に帰着させたのです（本人は無限を避け、「より大きくても小さくても矛盾する」という二重の背理法で仕留めています）。
つまり「細かく分けて足し尽くす」という積分の魂は、微積分の記号が生まれる 2000 年近く前に動いていました。ニュートンとライプニッツの偉大さは、面積計算そのものの発明ではなく、それが微分の逆演算で一撃になる（あなたが今使っている）と見抜いた点にあります。天才が個別撃破していた問題を、公式1本の作業に変えてしまった——「基本定理」という名前は伊達ではありません。