一次近似とテイラー展開入門 | 微積分

1 接線による一次近似

定理 1.1. $f$ が $a$ で微分可能であるとする。 $x\ne a$ に対して

r(x)=f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)

とおくと、

\lim_{x\to a}\frac{r(x)}{x-a}=0

が成り立つ。

証明. $x\ne a$ に対して定義を展開すると、

\frac{r(x)}{x-a} =\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-f'(a)

となる。 $f$ が $a$ で微分可能であることから、右辺は $x\to a$ のとき $0$ に近づく。▨

したがって、 $x$ が $a$ に近いとき、

f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)

と近似します。右辺は点 $(a,f(a))$ における接線を表す一次式です。

2 有限次数のテイラー多項式

定義 2.1 (テイラー多項式). $n$ を $0$ 以上の整数とし、 $f$ が $a$ で $n$ 階まで微分可能であるとする。このとき

T_{n,a}(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k

で定まる $n$ 次以下の多項式を、 $a$ を中心とする $f$ の $n$ 次テイラー多項式という。ただし、 $f^{(0)}=f$ 、 $0!=1$ とする。

$T_{n,a}$ は有限個の項からなる多項式です。これに対して、

\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k

はテイラー級数と呼ばれる無限級数です。テイラー級数が収束することと、その和が $f(x)$ に等しいことは別の主張であり、有限多項式の定義からは従いません。

定理 2.2. $n$ を $0$ 以上の整数とし、 $f$ が $a$ で $n$ 階まで微分可能であるとする。 $P$ が $n$ 次以下の多項式であり、すべての整数 $k$ 、 $0\le k\le n$ に対して

P^{(k)}(a)=f^{(k)}(a)

を満たすならば、 $P=T_{n,a}$ である。

証明. $P(x)=\sum_{j=0}^n c_j(x-a)^j$ と書く。各整数 $k$ 、 $0\le k\le n$ に対して、 $P$ を $k$ 回微分して $x=a$ を代入すると、 $j\ne k$ の項はすべて $0$ になり、

P^{(k)}(a)=k!c_k

となる。仮定により $k!c_k=f^{(k)}(a)$ であるから、

c_k=\frac{f^{(k)}(a)}{k!}

である。したがって $P$ のすべての係数は定義 2.1の係数に一致し、 $P=T_{n,a}$ となる。▨

例 2.3. $f(x)=e^x$ はすべての階の導関数が $e^x$ であり、 $f^{(k)}(0)=1$ である。したがって、たとえば0を中心とする3次テイラー多項式は

T_{3,0}(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}

である。一般の有限次数 $n$ では

T_{n,0}(x)=\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}

となる。

$f(x)=\sin x$ の導関数は $\sin x,\cos x,-\sin x,-\cos x$ の順に繰り返す。したがって、0を中心とする1次、3次、5次のテイラー多項式はそれぞれ

x,\qquad x-\frac{x^3}{3!},\qquad x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}

である。

次の図は、 $\sin x$ と二つの有限多項式の値を比較したものです。図から読み取れる一致は近似の観察であり、誤差の大きさの証明ではありません。

3 中心から離れた点での挙動

例 3.1. $f(x)=1/(1+x^2)$ とし、0を中心とするテイラー多項式を考える。このとき

T_{2m,0}(x)=T_{2m+1,0}(x)=\sum_{j=0}^m(-1)^jx^{2j}

である。 $x=2$ では

T_{2m,0}(2)=\sum_{j=0}^m(-4)^j=\frac{1-(-4)^{m+1}}5

となるため、その絶対値は $m$ とともに増加する。たとえば $m=2,4,10$ の値はそれぞれ

13,\qquad205,\qquad838861

であるが、 $f(2)=1/5$ である。

証明. $Q_m(x)=\sum_{j=0}^m(-1)^jx^{2j}$ とおく。有限等比和を計算すると

(1+x^2)Q_m(x)=1+(-1)^mx^{2m+2}

である。したがって

f(x)-Q_m(x)=\frac{(-1)^{m+1}x^{2m+2}}{1+x^2}

となる。右辺は $x=0$ で $2m+1$ 階までの微分係数がすべて $0$ であるから、 $Q_m$ と $f$ は0で $2m+1$ 階までの微分係数が一致する。定理 2.2により、 $Q_m=T_{2m,0}=T_{2m+1,0}$ である。

$x=2$ を代入した有限等比和は

Q_m(2)=\frac{1-(-4)^{m+1}}5

である。 $m$ が1増えるたびに $4^{m+1}$ は4倍になるので、 $|Q_m(2)|$ は増加して限りなく大きくなる。したがって、この点では次数を上げても $f(2)$ への近似は改善しない。▨

この例は、中心で多くの微分係数を一致させることだけでは、中心から離れた点での誤差を保証しないことを示しています。Lagrange の剰余項、誤差上界、テイラー級数が関数に一致する条件は、後続の解析学で扱います。

注意 3.2. 関数 $g$ を

g(x)= \begin{cases} e^{-1/x^2} & (x\ne0),\\ 0 & (x=0) \end{cases}

と定めると、 $g$ の0におけるすべての階の微分係数は $0$ である。一方、 $x\ne0$ では $g(x)>0$ である。したがって、0を中心とするテイラー級数は恒等的に $0$ へ収束するが、 $g$ とは一致しない。この事実の証明と、関数とテイラー級数が一致するための条件は、後続の解析学で扱う。

4 演習

問題 4.1. $f(x)=e^x$ の0を中心とする3次テイラー多項式を作り、その多項式を用いて $e^{0.1}$ の近似値を求めよ。

解答.

$f^{(k)}(0)=1$ であるから、定義 2.1により

T_{3,0}(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}

である。したがって

e^{0.1}\approx T_{3,0}(0.1) =1+0.1+\frac{0.1^2}{2}+\frac{0.1^3}{6} =1.105166\ldots

となる。この計算は有限多項式を近似に用いたものであり、誤差の上界は与えていない。▨

問題 4.2. $f(x)=\sin x$ の $a=\pi/2$ を中心とする2次テイラー多項式を作り、その多項式を用いて $\sin 1.5$ の近似値を求めよ。

解答.

$f(\pi/2)=1$ 、 $f'(\pi/2)=0$ 、 $f''(\pi/2)=-1$ であるから、

T_{2,\pi/2}(x)=1-\frac12\left(x-\frac\pi2\right)^2

である。したがって

\sin1.5\approx1-\frac12\left(1.5-\frac\pi2\right)^2=0.99749\ldots

となる。▨

閑話休題：テイラー級数と $e$ の無理性 後続のテイラーの定理によって

e=\sum_{k=0}^{\infty}\frac1{k!}

が正当化されたとする。この等式から、 $e$ が有理数でないことを示すことができる。

$e=p/q$ と書くことができると仮定する。分母と分子を同じ正の整数倍にすることにより、 $q\ge2$ としてよい。等式に $q!$ を掛け、 $k=q$ までとその後に分けると、

q!e=\sum_{k=0}^{q}\frac{q!}{k!} +\sum_{k=q+1}^{\infty}\frac{q!}{k!}

となる。左辺は $p(q-1)!$ であり整数である。右辺の有限和も、各 $k\le q$ について $q!/k!$ が整数であるため、整数である。

残りを $R$ とおくと、

R=\frac1{q+1}+\frac1{(q+1)(q+2)}+\cdots>0

である。また、第 $r$ 項の分母は $(q+1)^r$ 以上であるから、

R\le\sum_{r=1}^{\infty}\frac1{(q+1)^r}=\frac1q<1

となる。したがって、整数から整数を引いた値が $0<R<1$ を満たすことになり、両者は両立しない。ゆえに $e$ は有理数でない。

指数関数や正弦関数の数値計算では、引数を狭い範囲へ移してから有限多項式を評価する方法が用いられる。有限テイラー多項式は、そのような計算法を設計する出発点にもなる。

§C1.7一次近似とテイラー展開入門

1 接線による一次近似

2 有限次数のテイラー多項式

3 中心から離れた点での挙動

4 演習

参考文献

例題

演習

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