求積 | 微積分 | 天游ヶ丘数理学院

1 回転体の体積

曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸で囲む領域を $x$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積は $V = \int_a^b \pi\,y^2\,dx = \pi\int_a^b \{f(x)\}^2\,dx$ です。区間 $[a, b]$ を分割し、各小区間に対応する薄い円盤（半径 $\approx |f(x_i)|$ 、厚さ $\Delta x_i$ ）の体積を $\pi f(x_i)^2\Delta x_i$ と近似して足し、分割を細かくした極限が上の積分になる、というのが理屈です。各 $x$ での切り口が半径 $|y|$ の円（面積 $\pi y^2$ ）で、それを $x$ 方向に積分しているわけです。 $y$ 軸まわりの回転や、2曲線に挟まれた領域の回転も、「切り口の面積を積分する」という同じ原理で立式します。

例 1.1 ( $y = x$ を回してできる円錐). $y = x\ (0 \le x \le 1)$ と $x$ 軸で囲む領域を、 $x$ 軸のまわりに1回転させます。切り口は半径 $x$ の円なので

V = \pi \int_0^1 x^2 \, dx = \pi \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{\pi}{3}

です。できる立体は底面の半径 $1$ 、高さ $1$ の円錐ですから、中学以来の公式 $\tfrac13 \pi r^2 h = \tfrac{\pi}{3}$ と一致しています。積分が既知の公式を作り直せることの確認になります。

2 曲線の長さ

$C^1$ 級の曲線 $y = f(x)$ （ $a \le x \le b$ ）の長さは $L = \int_a^b \sqrt{1 + \{f'(x)\}^2}\,dx$ で、媒介変数表示 $x = x(t),\ y = y(t)$ なら $L = \displaystyle\int \sqrt{\bigl(\tfrac{dx}{dt}\bigr)^2 + \bigl(\tfrac{dy}{dt}\bigr)^2}\,dt$ 。曲線を細かい折れ線で近似すると、各線分の長さが $\sqrt{(\Delta x_i)^2 + (\Delta y_i)^2} = \sqrt{1 + (\Delta y_i/\Delta x_i)^2}\,\Delta x_i$ で、§D1.14 定理 3.1 (平均値の定理)より $\Delta y_i/\Delta x_i = f'(\xi_i)$ だから、足し上げて極限をとると上の積分になります。微小な直角三角形の斜辺（三平方の定理）を積分する、という構造です。

閑話休題：有限の体積、無限の表面——ガブリエルのラッパ 求積の公式は、ときに直感を打ち砕く図形を生みます。 $y = \frac1x$ を $x \ge 1$ の範囲で $x$ 軸のまわりに回転させた立体は、ラッパのように無限に細く伸びていきます（ガブリエルのラッパ、トリチェリのトランペット）。その体積は $V = \pi\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx = \pi$ で有限なのに、表面積は $\int_1^\infty \frac{2\pi}{x}\sqrt{1 + \cdots}\,dx$ が調和級数のように発散します。つまり「有限のペンキで内部を満たせるのに、その内壁を塗りきることはできない」——17世紀、無限の概念がまだ整理される前にトリチェリがこれを見つけ、有限と無限が同居するこの図形は大論争を巻き起こしました。

体積・面積を求める工夫は、積分が生まれるはるか前から積み重ねられてきました。アルキメデスは「取り尽くし法」で球の体積が外接円柱の $\frac23$ であることを突き止め、この発見を誇りに思って自分の墓に球と円柱を刻ませたと伝えられます。断面積が各高さで等しければ体積も等しい、というカヴァリエリの原理も、積分の素朴な原型でした。「細かく刻んで足し、極限をとる」という求積の発想が、2000年をかけてアルキメデスからニュートン・ライプニッツの積分へと結晶していった——公式の背後には、無限とねばり強く格闘してきた人類の長い歴史があるのです。

§C1.5求積

1 回転体の体積

2 曲線の長さ

例題

演習

前提記事