§C1.4区分求積法

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区分求積法とは、面積を細い長方形の集まりで近似し、長方形を無限に細くした極限として定積分を捉える考え方です。 積分の定義そのものにあたる発想で、ここでは「和の極限を積分に読み替える」計算技術として使います。

1 和を積分に化ける

区間[0,1][0, 1]をnn等分し、各小区間で関数の値を1つ選んで長方形の面積（幅1n\tfrac1n× 高さf(kn)f(\tfrac{k}{n})）を足し合わせ、n→∞n \to \inftyとすると、それが定積分になります。

ffが[0,1][0, 1]で連続なら、

lim⁡n→∞1n∑k=1nf ⁣(kn)=∫01f(x) dx\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} f\!\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 f(x)\,dx

だから、1n∑f(kn)\dfrac1n \sum f(\tfrac kn)の形をした和の極限は、対応する積分に書き換えて計算できます。直接足せない和を、積分という別の道具で処理する——これが区分求積法の使いどころです。

2 使い方の手順

lim⁡n→∞∑k=1n(⋯ )\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}(\cdots)を見たら、

  1. 1n\dfrac1nをくくり出す（長方形の幅にあたる部分を作る）。
  2. 残りを kn\dfrac{k}{n}の関数f ⁣(kn)f\!\left(\dfrac kn\right)の形にする。
  3. ∫01f(x) dx\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dxに置き換えて積分を計算する。

例：lim⁡n→∞∑k=1nnn2+k2=lim⁡n→∞1n∑k=1n11+(k/n)2=∫01dx1+x2\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{n}{n^2 + k^2} = \lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1 + (k/n)^2} = \int_0^1 \frac{dx}{1 + x^2}。

例題

条件と何を求めるかを確認してから、式と答えの対応を見比べてください。

次の極限を、区分求積法により定積分に直して求めよ。

解法の型1/n（長方形の幅）をくくり出し、残りを k/n の関数 f(k/n) にして、0 から 1 までの ∫\int f(x) dx に読み替える

  1. 例題 1

    lim⁡n→∞1n∑k=1nlog⁡(1+kn)\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \log\left(1 + \dfrac{k}{n}\right)

  2. 例題 2

    lim⁡n→∞∑k=1nkn2+k2\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{k}{n^{2}+k^{2}}

  3. 例題 3

    lim⁡n→∞1n∑k=1nek/n\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} e^{k/n}

  4. 例題 4

    lim⁡n→∞1n∑k=1nsin⁡kπn\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sin\dfrac{k\pi}{n}

  5. 例題 5

    lim⁡n→∞∑k=1nn2−k2n2\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{\sqrt{n^{2}-k^{2}}}{n^{2}}

  6. 例題 6

    lim⁡n→∞∑k=1nnn2+k2\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{n}{n^{2}+k^{2}}

  7. 例題 7

    lim⁡n→∞∑k=1n2k4n5\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{2k^{4}}{n^{5}}

  8. 例題 8

    lim⁡n→∞∑k=1n1n+k\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{n+k}

  9. 例題 9

    lim⁡n→∞∑k=1n3k2n3\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{3k^{2}}{n^{3}}

  10. 例題 10

    lim⁡n→∞∑k=1n6k2n3\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{6k^{2}}{n^{3}}

演習

問題を解いてから「解答・解説」を開けます。

次の極限を、区分求積法により定積分に直して求めよ。

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