§E11.5基本的な確率分布

証明. 冪級数$\sum_{k\geq0}q^k$は$|q|<1$で絶対収束し、その収束半径の内部では§D1.23 定理 4.3によって項別微分が成り立つ。$1/(1-q)$を一度微分して$q$を掛けると第二式を得る。第二式を微分して再び$q$を掛けると第三式を得る。▨

証明. Bernoulli 分布では、二点上の和を計算すると

である。したがって、

となる。

二項定理により二項分布の確率の総和は$(p+1-p)^n=1$である。$k\binom nk=n\binom{n-1}{k-1}$と$k(k-1)\binom nk=n(n-1)\binom{n-2}{k-2}$を用いると、$E[X]=np,\qquad E[X(X-1)]=n(n-1)p^2.$したがって$E[X^2]=n(n-1)p^2+np$であり、$E[X^2]-E[X]^2=np(1-p)$となる。端点$n=0,1$でも同じ式が直接成り立つ。▨

証明. 幾何級数により幾何分布は規格化される。補題 1.1から$E[X]=p\frac q{(1-q)^2}=\frac qp,\qquad E[X^2]=p\frac{q(1+q)}{(1-q)^3}=\frac{q(1+q)}{p^2}$であるから、分散は$q/p^2$である。

指数関数の級数により Poisson 分布の総質量は$e^{-\lambda}e^\lambda=1$である。添字をずらすと$E[X]=\lambda,\qquad E[X(X-1)]=\lambda^2.$したがって$E[X^2]=\lambda^2+\lambda$であり、分散は$\lambda$である。▨

証明.$P(X\geq r)=\sum_{k=r}^{\infty}pq^k=q^r$である。仮定により$q^m>0$であるから、条件付き確率の定義から比は$q^{m+n}/q^m=q^n$となる。▨

証明. 密度の積分はいずれも$1$である。一様分布では$x$と$x^2$を$[a,b]$上で積分すると、$E[X]=\frac{a+b}{2},\qquad E[X^2]=\frac{a^2+ab+b^2}{3}$を得る。差を取れば分散の式が従う。

指数分布では、$x^m e^{-\lambda x}\to0$$(x\to\infty)$と部分積分により、$E[X]=\int_0^\infty x\lambda e^{-\lambda x}dx=\frac1\lambda,\qquad E[X^2]=\frac2{\lambda^2}.$したがって分散は$1/\lambda^2$である。▨

証明.$u\geq0$に対して$P(X>u)=\int_u^\infty\lambda e^{-\lambda x}dx=e^{-\lambda u}$である。条件事象の確率は正であるから、条件付き確率の定義により左辺は$e^{-\lambda(s+t)}/e^{-\lambda s}=e^{-\lambda t}$となる。▨

証明. Gaussian 積分§E4.14 例 3.2と有限区間上の Riemann 積分と Lebesgue 積分の一致§E9.9 系 5.2を用いる。区間を実数全体へ増加させ、単調収束定理§E9.7 定理 1.1を適用すると、$\int_{\mathbb R}e^{-u^2/2}du=\sqrt{2\pi}$を得る。有限区間で$u=(x-\mu)/\sigma$と置換し、区間を増加させて単調収束定理を適用すると、密度の積分は$1$である。

$\phi(u)=(2\pi)^{-1/2}e^{-u^2/2}$と置く。有限区間上で積分し、単調収束定理を適用すると、

したがって$E[|X|]\leq|\mu|+\sigma\int_{\mathbb R}|u|\phi(u)du<\infty$であり、一階積率を定義することができる。奇関数$u\phi(u)$の対称区間上の積分から$E[X]=\mu$を得る。さらに、$[-R,R]$上の部分積分により

$R\phi(R)\to0$であり、左辺に単調収束定理を適用すると、$\int_{\mathbb R}u^2\phi(u)du=1$である。よって$E[(X-\mu)^2]=\sigma^2$となる。▨