§E4.14変数変換と Jacobi 行列式

証明.$L=0$の場合、$T(N)$は高々一点からなるため Jordan 零集合である。以下では$L>0$とする。

$N$を有限個の開直方体$R_j$で覆う。各$R_j$の辺の長さを$\ell_{j,1},\ldots,\ell_{j,n}$とし、$\delta_j=\min_i\ell_{j,i}$とおく。各座標区間を長さ$\delta_j$以下の半開区間へ分けると、$R_j$は高々

個の、直径が$\sqrt n\,\delta_j$以下である互いに交わらない分割片に分かれる。分割片$C$が$N$と交わる場合には$x_C\in C\cap N$を一つ取る。式 (1) により、$T(C\cap N)$は中心$T(x_C)$、一辺$3L\sqrt n\,\delta_j$の開立方体に含まれる。従って、$T(N\cap R_j)$を覆う立方体の総体積は

以下である。

$C_{n,L}=2^n(3L\sqrt n)^n$とおく。$N$の最初の被覆の総体積を$\varepsilon/C_{n,L}$未満に取れば、$T(N)$を総体積が$\varepsilon$未満である有限個の開立方体で覆うことができる。これにより最初の主張を得る。

後半を示す。$\partial E$はコンパクトであり、$U$に含まれる。各点の近傍で$T$は Lipschitz 連続であるから、有限個の近傍を選び、それぞれと$\partial E$の共通部分へ前半を適用する。各共通部分は$\partial E$の部分集合であるから Jordan 零集合であり、Jordan 零集合の有限和に関する閉性から$T(\partial E)$は Jordan 零集合である。同相写像は相対的な閉包と内部をそれぞれ閉包と内部へ写し、$\overline E\subset U$と$T(\overline E)\subset V$のコンパクト性により、ここで現れる相対閉包は$\mathbb R^n$における閉包と一致する。$U,V$は開集合であるから相対内部も$\mathbb R^n$における内部と一致する。従って式 (2) が成り立つ。$T(E)$はコンパクト集合$T(\overline E)$に含まれるので有界であり、境界が Jordan 零集合であるから Jordan 可測である。▨

証明.$K=\emptyset$ならば条件を満たす立方体$Q$は存在せず、主張は空虚に成り立つ。以下では$K\ne\emptyset$とする。

$A_Q=D\Phi(u_Q)$、$C_Q=Q-u_Q$とおき、$C_Q$上の写像

を考える。$D\Phi$は$K$上で一様連続であり、$u\mapsto D\Phi(u)^{-1}$と$u\mapsto J(u)$は$K$上で連続である。従って

である。$D\Phi$の$K$上の連続率を$\omega_K$とし、

とおく。

$z,w\in C_Q$を結ぶ線分は$C_Q$に含まれる。平均値不等式§E4.3 定理 2.1を$e_Q$へ適用すると

を得る。$0\in C_Q$かつ$e_Q(0)=0$であるから、

である。

$q_K(\delta)\sqrt n<1/4$となるほど$\delta$が小さい場合を考える。式 (8) から$H_Q(C_Q)$は$C_Q$の閉$t_\delta$近傍に含まれる。逆の包含を得るため、$y\in C_Q$が$\operatorname{dist}(y,\partial C_Q)>t_\delta$を満たすとする。写像

は式 (8) により$C_Q$を自身へ写し、式 (7) により縮小率$q_K(\delta)<1$の縮小写像である。閉立方体$C_Q$は空でない完備距離空間であるから、Banach の不動点定理§E2.7 定理 2.2により$S_y$は不動点$z\in C_Q$をもつ。この不動点は$H_Q(z)=y$を満たす。従って

$H_Q$は$C_Q$の近傍で定義された微分同相の制限であるため、補題 1.1により$H_Q(C_Q)$は Jordan 可測である。式 (9) の左端は一辺$\delta-2t_\delta$の開立方体であり、右端は一辺$\delta+2t_\delta$の閉立方体に含まれる。$0\leq t_\delta\leq\delta/4$の範囲では、二項定理から次元だけに依存する定数$C_n$を用いて

と評価することができる。

式 (5) から

である。線形写像の体積公式§E4.13 定理 2.1と式 (10) により

を得る。

最後に、$L_K=\max_{u\in K}\lVert D\Phi(u)\rVert_{\mathrm{op}}$とおく。$Q$上の平均値不等式により$\Phi(Q)$は一辺$3L_K\sqrt n\,\delta$の開立方体に含まれるから、

である。従って、上の小さい$\delta$に対する値を$C_n\sqrt n\,J_Kq_K(\delta)$とし、残りの$\delta$に対する値を$(3L_K\sqrt n)^n+J_K$とする関数$\rho_K$を選ぶことができる。$q_K(\delta)\to0$であるから$\rho_K(\delta)\to0$が成り立つ。▨

証明.$E=\emptyset$の場合には両辺が零である。以下では$E\ne\emptyset$とする。

$J(u)=|\det D\Phi(u)|$とおく。$f$の定義域を$W$とする。$\overline E$はコンパクトで$U\cap\Phi^{-1}(W)$に含まれるから、ある$d>0$に対して

となるように選ぶことができる。$K$はコンパクトであり、$\Phi$は$K$の各点の近傍で Lipschitz 連続である。補題 1.1により$\Phi(E)$は Jordan 可測である。関数$f$と$F=(f\circ\Phi)J$は、それぞれ$\overline{\Phi(E)}=\Phi(\overline E)$と$\overline E$の開近傍上で連続である。従って§E4.11 系 3.5により両辺の積分は定義される。また、$f|_{\Phi(K)}$と$F|_K$は有界かつ一様連続である。

$E$を含む閉直方体$R$を固定する。§E4.11 補題 1.3により、幅$\delta_m\downarrow0$の立方格子で、$\partial E$と交わる閉格子立方体の総体積$b_m$が零へ収束するものを選ぶことができる。$\sqrt n\,\delta_m<d$としてよい。$\mathcal B_m$を$\partial E$と交わる格子立方体の族、$\mathcal I_m$を$E$と交わるが$\partial E$とは交わらない格子立方体の族とする。格子立方体どうしは境界上で重なるが、その重なりは Jordan 零集合である。$Q\in\mathcal I_m$は$\tpint{E}$に含まれ、$\overline E$と交わる全ての格子立方体は$K$に含まれる。

補題 1.2により、各$Q$から任意に選んだ$u_Q\in Q$について

が一様に成り立つ。$J$は$K$上で有界であるから、式 (13) により、十分大きい全ての$m$と対象となる全ての$Q$について

となる定数$C$が存在する。従って

$E_m=\bigcup_{Q\in\mathcal I_m}Q$とおく。異なる格子立方体の像の共通部分は、それらの境界の像に含まれる。格子立方体の境界とその像は Jordan 零集合であるから、有限加法性§E4.13 補題 1の仮定が$\{\Phi(Q):Q\in\mathcal I_m\}$に対して成り立つ。$M=\sup_{\Phi(K)}|f|$とすると、$\Phi(E)\setminus\Phi(E_m)$は境界立方体の像の和に含まれるため、式 (15)、有限加法性、および積分の絶対値評価から

$L=\max_{u\in K}\lVert D\Phi(u)\rVert_{\mathrm{op}}$とし、$f$の$\Phi(K)$上の連続率を$\omega_f$とする。各$Q\in\mathcal I_m$に代表点$u_Q\in Q$を取る。式 (13) と式 (14) により、

右辺の括弧内は零へ収束し、$\sum_{Q\in\mathcal I_m}|Q|\leq|R|$である。従って

最後に右辺の和を$E$上の積分と比較する。$F$の$K$上の連続率を$\omega_F$とすると、内部立方体では

である。$E\setminus E_m$は境界立方体の和に含まれるため、その部分の積分の絶対値は$\sup_K|F|\,b_m$以下である。有限加法性を用いて加えると

式 (16)、式 (18)、式 (19) から式 (11) を得る。▨

証明.$E=\emptyset$の場合には両辺が零である。以下では$E\ne\emptyset$とする。

補題 1.1により、$\Phi(E)$はコンパクトな Jordan 可測集合である。関数$g\circ\Phi\,|\det D\Phi|$は$E$上で連続であるから、§E4.11 補題 3.4により式 (20) の両辺は定義される。

$E$のコンパクト近傍$K_0\subset U$を一つ固定する。$\varepsilon>0$とする。$\partial E$を有限個の開立方体$Q_1,\ldots,Q_s$で覆い、各$\overline{Q_j}$が$K_0$に含まれ、

となるように選ぶ。$Q=\bigcup_jQ_j$、$E_0=E\setminus Q$、$E_1=E\cap\overline Q$とおく。$\partial E_0$と$\partial E_1$は$\partial E\cup\bigcup_j\partial Q_j$に含まれるため、$E_0,E_1$はコンパクトな Jordan 可測集合である。また、$E_0\subset\tpint{E}$である。

$g$の$\Phi(E)$上の絶対値、$g\circ\Phi\,|\det D\Phi|$の$E$上の絶対値、および$\max_{u\in K_0}\lVert D\Phi(u)\rVert_{\mathrm{op}}$を一つの定数$M\geq1$で抑える。補題 1.1の証明における被覆評価から、次元と$M$だけに依存する定数$C$を用いて

と評価することができる。従って

$W=\Phi(\tpint{E})$とおく。$W$は開集合であり、$g|_W$は連続である。$E_0$は$\tpint{E}$に含まれるコンパクト集合であるから、その閉包は$\tpint{E}$に含まれる。定理 2.1を$\Phi|_{\tpint{E}}:\tpint{E}\to W$、$E_0$、$g|_W$へ適用して

を得る。$E\setminus E_0\subset E_1$および$\Phi(E)\setminus\Phi(E_0)\subset\Phi(E_1)$である。式 (23) によって式 (20) の両辺と式 (24) の対応する辺との差を評価し、$\varepsilon\downarrow0$とすれば式 (20) が従う。▨

証明. 極座標写像

は$(0,\infty)\times(0,2\pi)$から正の$x$軸を除いた平面への$C^1$級微分同相であり、$|\det D\Psi(r,\theta)|=r$である。

$0<\varepsilon<R$、$0<\eta<\pi$とし、

とおく。$E_{\varepsilon,\eta}$は$(0,\infty)\times(0,2\pi)$に含まれるコンパクトな Jordan 可測集合である。系 2.2と閉直方体上の累次積分§E4.12 定理 1により、式 (25) は$E_{\varepsilon,\eta}$とその像について成り立つ。

$\varepsilon\downarrow0$、$\eta\downarrow0$とする。円板側で欠ける集合は、半径$\varepsilon$の円板と中心角$2\eta$の扇形の和に含まれ、その面積は$\pi\varepsilon^2+\eta R^2$以下である。パラメータ側で欠ける部分における$r$の積分も同じ値で評価される。$f$は閉円板上で有界であるため、両側の欠けた部分の積分は零へ収束する。従って式 (25) を得る。▨

証明.$K\subset U$をコンパクトな Jordan 可測集合とする。系 2.2により

である。$K\mapsto\Phi(K)$は、$U$に含まれるコンパクトな Jordan 可測集合の族から、$V$に含まれる同じ型の集合の族への全単射である。実際、像の性質は補題 1.1から従う。逆に、$L\subset V$がコンパクトな Jordan 可測集合ならば、$\Phi^{-1}(L)$は$U$に含まれるコンパクトな Jordan 可測集合であり、$\Phi(\Phi^{-1}(L))=L$である。従って式 (27) の左辺と右辺は同じ添字族をそれぞれ$\Phi$と$\Phi^{-1}$で書いたものである。全ての$K$について上限を取れば、非負広義重積分の定義§E4.11 定義 4.1により式 (26) を得る。▨

証明.系 4.1を$f^+$と$f^-$へ適用する。絶対収束の仮定により二つの非負広義重積分は有限である。§E4.11 定義 4.6の定義に従って二つの等式の差を取ると式 (28) を得る。同じ公式を$|f|$へ適用すると、右辺の絶対値の広義重積分も有限である。▨