Riemann 積分と Lebesgue 積分 | 測度と積分

1 点における振動と不連続点集合

以下では $I=[a,b]$ とおく。区間の端点でも片側からの連続性を同じ定義で扱うため、点の近傍を $I$ との共通部分として取る。

定義 1.1. $a<b$ とし、有界関数 $f:I\to\mathbb{R}$ をとる。空でない集合 $E\subseteq I$ における $f$ の区間振動 (interval oscillation) を

\operatorname{osc}(f;E) =\sup_{y\in E}f(y)-\inf_{y\in E}f(y)

によって定める。点 $x\in I$ における $f$ の振動 (pointwise oscillation) を

\omega_f(x) =\inf_{r>0} \operatorname{osc}\bigl(f;I\cap(x-r,x+r)\bigr)

によって定める。

$\varepsilon>0$ に対して

D_\varepsilon(f) =\{x\in I\mid \omega_f(x)\geq\varepsilon\}

と書き、 $f$ の不連続点全体を $D(f)$ と書く。

点における振動が $0$ であることは、その点における連続性と同値である。この同値性により、不連続点集合を閉集合の可算和として表すことができる。

補題 1.2. $a<b$ とし、有界関数 $f:I\to\mathbb{R}$ をとる。このとき、次の性質が成り立つ。

$x\in I$ に対して、 $f$ が $x$ で $I$ に相対的に連続であることと $\omega_f(x)=0$ であることは同値である。
任意の $\varepsilon>0$ に対して、 $D_\varepsilon(f)$ は $I$ の閉集合である。とくに、 $D_\varepsilon(f)$ はコンパクトである。
不連続点集合は $D(f)=\bigcup_{m=1}^{\infty}D_{1/m}(f)$ と表される。したがって、 $D(f)$ は Borel 集合である。

証明.(1)を示す。 $f$ が $x$ で連続であると仮定する。任意の $\eta>0$ に対して、ある $r>0$ が存在し、 $y\in I$ かつ $|y-x|<r$ ならば

|f(y)-f(x)|<\frac{\eta}{2}

が成り立つ。この近傍内の任意の二点 $y,z$ に対して $|f(y)-f(z)|<\eta$ であるから、

\operatorname{osc}\bigl(f;I\cap(x-r,x+r)\bigr)\leq\eta.

$\eta>0$ は任意であるため、 $\omega_f(x)=0$ である。

反対に、 $\omega_f(x)=0$ と仮定する。任意の $\eta>0$ に対して、振動の下限の定義から、ある $r>0$ が存在して

\operatorname{osc}\bigl(f;I\cap(x-r,x+r)\bigr)<\eta

を満たす。 $y\in I$ かつ $|y-x|<r$ ならば、 $x$ と $y$ は同じ集合 $I\cap(x-r,x+r)$ に属するため、

|f(y)-f(x)| \leq\operatorname{osc}\bigl(f;I\cap(x-r,x+r)\bigr) <\eta.

したがって、 $f$ は $x$ で連続である。

(2)を示す。 $x\in I\setminus D_\varepsilon(f)$ とすると、 $\omega_f(x)<\varepsilon$ である。したがって、ある $r>0$ が存在して

\operatorname{osc}\bigl(f;I\cap(x-r,x+r)\bigr)<\varepsilon

を満たす。 $y\in I$ かつ $|y-x|<r/2$ とする。

s=\frac{r}{2}-|y-x|>0

とおけば

I\cap(y-s,y+s)\subseteq I\cap(x-r,x+r)

である。ゆえに、

\omega_f(y) \leq\operatorname{osc}\bigl(f;I\cap(y-s,y+s)\bigr) <\varepsilon.

したがって、 $I\setminus D_\varepsilon(f)$ は $I$ の相対位相で開いており、 $D_\varepsilon(f)$ は $I$ の閉集合である。 $I$ はコンパクトであるため、 $D_\varepsilon(f)$ もコンパクトである。

(3)を示す。(1)から、

D(f)=\{x\in I\mid\omega_f(x)>0\}

である。正の実数 $\omega_f(x)$ に対して $1/m\leq\omega_f(x)$ を満たす正の整数 $m$ が存在する。したがって、

\{x\in I\mid\omega_f(x)>0\} =\bigcup_{m=1}^{\infty}\{x\in I\mid\omega_f(x)\geq1/m\}.

各集合 $D_{1/m}(f)$ は閉集合であるから、 $D(f)$ は Borel 集合である。▨

区間の端点と分割点を後の被覆評価から落とさないため、一次元 Lebesgue 測度の基本的な値を確認する。

補題 1.3. 従属選択公理を仮定する。実数 $u<v$ に対して

\lambda([u,v])=v-u

である。また、実数の有限集合は Lebesgue 外測度 $0$ をもつ。

証明.§E9.4 定理 3.4により $\lambda((u,v])=v-u$ である。任意の $\delta>0$ に対して一点集合 $\{u\}$ は半開区間 $(u-\delta,u]$ に含まれるため、§E9.4 定義 3.1から

0\leq\lambda^*(\{u\})\leq\delta

である。 $\delta>0$ は任意であるから、 $\lambda(\{u\})=0$ である。したがって、互いに交わらない和

[u,v]=\{u\}\mathbin{\sqcup}(u,v]

から $\lambda([u,v])=v-u$ を得る。有限集合の外測度が $0$ であることは、一点集合に対する結果と外測度の有限劣加法性から従う。▨

2 Lebesgue の Riemann 可積分判定条件

分割

P:\quad a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b

に対して $J_i=[x_{i-1},x_i]$ とおく。各小区間の振動を

\alpha_i=\operatorname{osc}(f;J_i)

と書けば、Darboux 上和と下和の差は各小区間の振動を長さで重み付けした和になる。

補題 2.1. $a<b$ とし、有界関数 $f:I\to\mathbb{R}$ と $I$ の分割 $P$ をとる。このとき、

U(f,P)-L(f,P) =\sum_{i=1}^{n}\alpha_i(x_i-x_{i-1})

が成り立つ。

証明. $M_i=\sup_{J_i}f$ および $m_i=\inf_{J_i}f$ とおくと、 $\alpha_i=M_i-m_i$ である。Darboux 上和と下和の定義から、

\begin{aligned} U(f,P)-L(f,P) &=\sum_{i=1}^{n}(M_i-m_i)(x_i-x_{i-1})\\ &=\sum_{i=1}^{n}\alpha_i(x_i-x_{i-1}) \end{aligned}

を得る。▨

定理 2.2 (Lebesgue の Riemann 可積分判定条件). 従属選択公理を仮定する。 $a<b$ とし、有界関数 $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ をとる。このとき、次の二条件は同値である。

$f$ は $[a,b]$ 上で Riemann 可積分である。
不連続点集合 $D(f)$ は Lebesgue 測度 $0$ をもつ。

証明.(1) $\Rightarrow$ (2)を示す。第一の条件を仮定する。 $\varepsilon>0$ を固定し、 $D_\varepsilon(f)$ の Lebesgue 外測度が $0$ であることを示す。任意の $\eta>0$ に対して、§D1.17 定理 2.4により、ある分割

P:\quad a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b

が存在して

U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon\eta

を満たす。 $J_i=[x_{i-1},x_i]$ とし、

B=\{i\in\{1,\dots,n\}\mid (x_{i-1},x_i)\cap D_\varepsilon(f)\neq\emptyset\}

とおく。

$i\in B$ ならば、ある $x\in(x_{i-1},x_i)\cap D_\varepsilon(f)$ が存在する。十分小さい $r>0$ に対して

I\cap(x-r,x+r)\subseteq J_i

であるため、

\alpha_i=\operatorname{osc}(f;J_i)\geq\omega_f(x)\geq\varepsilon.

したがって、補題 2.1から

\varepsilon\sum_{i\in B}(x_i-x_{i-1}) \leq U(f,P)-L(f,P) <\varepsilon\eta

を得る。ゆえに、

\sum_{i\in B}(x_i-x_{i-1})<\eta.

$D_\varepsilon(f)$ のうち、分割点でない点は、ある $i\in B$ に対する $J_i$ に属する。したがって、

D_\varepsilon(f) \subseteq \{x_0,\dots,x_n\}\cup\bigcup_{i\in B}J_i.

補題 1.3と外測度の有限劣加法性から、

\lambda^*(D_\varepsilon(f)) \leq\sum_{i\in B}(x_i-x_{i-1}) <\eta.

$\eta>0$ は任意であるため、 $\lambda^*(D_\varepsilon(f))=0$ である。補題 1.2から

D(f)=\bigcup_{m=1}^{\infty}D_{1/m}(f)

である。Lebesgue 外測度の可算劣加法性により $\lambda(D(f))=0$ を得る。

(2) $\Rightarrow$ (1)を示す。第二の条件を仮定する。任意の $\eta>0$ に対して $U(f,P)-L(f,P)<\eta$ を満たす分割 $P$ を構成する。 $|f(x)|\leq M$ がすべての $x\in I$ について成り立つように $M\geq0$ をとる。 $M=0$ ならば $f=0$ であり、任意の分割について Darboux 上和と下和がともに $0$ になる。以下では $M>0$ と仮定し、

\gamma=\frac{\eta}{2(b-a)}

とおく。

補題 1.2により $D_\gamma(f)\subseteq D(f)$ であるから $\lambda(D_\gamma(f))=0$ である。§E9.4 定理 6.2により、 $D_\gamma(f)\subseteq G$ を満たす実数直線上の開集合 $G$ で

\lambda(G)<\frac{\eta}{4M}

となるものが存在する。

次の $I$ の相対開集合族をとる。

\mathcal{U} =\{G\cap I\} \cup \{V\subseteq I\mid V\neq\emptyset,\ V\text{ は }I\text{ の相対開集合であり、} \operatorname{osc}(f;V)<\gamma\}.

$x\in I\setminus G$ ならば $x\notin D_\gamma(f)$ である。したがって、ある $r>0$ に対して $V=I\cap(x-r,x+r)$ は $x\in V$ と $\operatorname{osc}(f;V)<\gamma$ を満たす。 $G\cap I\in\mathcal{U}$ であり、前段により $I\setminus G$ の各点も $\mathcal{U}$ のいずれかの元に属するため、 $\mathcal{U}$ は $I$ の開被覆である。

従属選択公理は§E1.20 定理 4.6により可算選択公理を含む。また、§E2.9 定理 3.1により、コンパクト距離空間 $I$ は点列コンパクトである。したがって、可算選択公理を仮定する§E2.9 補題 2.3を $I$ に適用することができ、開被覆 $\mathcal{U}$ は正の Lebesgue 数 $\delta$ をもつ。幅がすべて $\delta$ 未満である分割

P:\quad a=t_0<t_1<\cdots<t_N=b

をとり、 $J_i=[t_{i-1},t_i]$ とおく。各 $J_i$ は直径が $\delta$ 未満であるため、開被覆 $\mathcal{U}$ の少なくとも一つの集合に含まれる。

B=\{i\in\{1,\dots,N\}\mid J_i\subseteq G\}

とおく。 $i\notin B$ ならば $J_i$ は $G$ に含まれないため、 $J_i$ を含む $\mathcal{U}$ の元は $G\cap I$ ではない。したがって、

\operatorname{osc}(f;J_i)<\gamma \qquad(i\notin B).

一方、 $|f|\leq M$ から

\operatorname{osc}(f;J_i)\leq2M \qquad(i\in B)

である。

半開区間 $(t_{i-1},t_i]$ は $i$ について互いに交わらず、 $i\in B$ ならば $(t_{i-1},t_i]\subseteq G$ である。補題 1.3と測度の可算加法性および単調性から、

\sum_{i\in B}(t_i-t_{i-1}) =\lambda\left(\bigcup_{i\in B}(t_{i-1},t_i]\right) \leq\lambda(G).

ゆえに、補題 2.1から

\begin{aligned} U(f,P)-L(f,P) &=\sum_{i\notin B}\operatorname{osc}(f;J_i)(t_i-t_{i-1}) +\sum_{i\in B}\operatorname{osc}(f;J_i)(t_i-t_{i-1})\\ &<\gamma(b-a)+2M\lambda(G)\\ &<\frac{\eta}{2}+\frac{\eta}{2} =\eta. \end{aligned}

§D1.17 定理 2.4により、 $f$ は Riemann 可積分である。▨

3 Dirichlet 関数による比較

例 3.1 (Dirichlet 関数の Lebesgue 積分). 従属選択公理を仮定する。関数 $D:[0,1]\to\R$ を

D=\mathbf{1}_{\Q\cap[0,1]}

によって定める。この関数は Riemann 可積分ではないが、完備 Lebesgue 測度に関して可測かつ可積分であり、

\int_{[0,1]}D\,d\lambda=0

である。

証明. Riemann 非可積分性は§D1.18 例 3.1で Darboux 上和と下和を用いて証明されている。

§E1.18 定理 4.1 (2)により $\Q\cap[0,1]$ は高々可算である。一点集合は Borel 集合であり、その Lebesgue 測度は補題 1.3により $0$ である。したがって $\Q\cap[0,1]$ は一点集合の可算和として Borel 集合であり、測度の可算劣加法性§E9.2 命題 2.1により

\lambda(\Q\cap[0,1])=0

である。したがって $\Q\cap[0,1]$ は Lebesgue 可測な零集合であり、§E9.6 例 4.3から $D$ は非負可測関数で、その積分は $0$ である。とくに $\int_{[0,1]}|D|\,d\lambda=0<\infty$ であるから、 $D$ は Lebesgue 可積分である。▨

4 Riemann 可積分関数の Lebesgue 可測性

判定条件から $D(f)$ が零集合であることを得ても、 $f$ の零集合上の値が Borel 可測であるとは限らない。完備 Lebesgue 測度は、Borel 零集合の任意の部分集合を可測集合として含むため、この問題を処理することができる。

命題 4.1. 従属選択公理を仮定する。 $a<b$ とし、有界関数 $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ が Riemann 可積分であると仮定する。このとき、 $f$ は完備 Lebesgue 測度に関して可測であり、Lebesgue 可積分である。

証明.定理 2.2により、 $D=D(f)$ は Borel 零集合である。 $C=I\setminus D$ とおく。補題 1.2により、 $f$ は $C$ の各点で $I$ に相対的に連続である。したがって、制限写像

f|_C:C\longrightarrow\mathbb{R}

は連続である。

$O\subseteq\mathbb{R}$ を任意の開集合とする。 $(f|_C)^{-1}(O)$ は $C$ の相対位相で開いているため、ある $I$ の相対開集合 $U$ が存在して

(f|_C)^{-1}(O)=C\cap U

を満たす。集合 $C\cap U$ は $I$ の Borel 集合である。一方、

D\cap f^{-1}(O)\subseteq D

である。§E9.4 定理 4.2により、Borel 零集合 $D$ の任意の部分集合は Lebesgue 可測である。とくに、 $D\cap f^{-1}(O)$ は、その集合が Borel 集合であるかどうかにかかわらず Lebesgue 可測である。したがって、

f^{-1}(O) =(C\cap U)\cup(D\cap f^{-1}(O))

は Lebesgue 可測である。実数直線の Borel 集合族は開集合から生成されるため、 $f$ は可測である。

$|f|\leq M$ を満たす有限な $M\geq0$ をとる。 $|f|$ と定数関数 $M$ は非負可測関数であり、§E9.6 命題 2.2から

\int_I|f|\,d\lambda \leq\int_I M\,d\lambda =M\lambda(I) =M(b-a)<\infty.

§E9.6 定義 3.1により、 $f$ は Lebesgue 可積分である。▨

5 二つの積分値の一致

命題 5.1. 従属選択公理を仮定する。 $a<b$ とし、有界関数 $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ が Riemann 可積分であると仮定する。 $I_R$ を $f$ の Riemann 積分値とする。このとき、

\int_I f\,d\lambda=I_R

が成り立つ。

証明.命題 4.1により、 $f$ は Lebesgue 可積分である。任意の $\varepsilon>0$ に対して、§D1.17 定理 2.4により $U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon$ を満たす分割

a=t_0<t_1<\cdots<t_n=b

をとる。

J_i=[t_{i-1},t_i], \qquad m_i=\inf_{J_i}f, \qquad M_i=\sup_{J_i}f

とおく。互いに交わらない Borel 集合

E_1=[t_0,t_1], \qquad E_i=(t_{i-1},t_i] \quad(2\leq i\leq n)

は $I$ を分割する。可積分な実数値単関数

\ell=\sum_{i=1}^n m_i\mathbf{1}_{E_i}, \qquad u=\sum_{i=1}^n M_i\mathbf{1}_{E_i}

を定めると、 $\ell\leq f\leq u$ である。各 $E_i$ の測度は $t_i-t_{i-1}$ であるから、単関数の積分と正負部分による積分の定義から

\int_I\ell\,d\lambda=L(f,P), \qquad \int_Iu\,d\lambda=U(f,P)

を得る。§E9.6 命題 3.3により、

L(f,P)\leq\int_I f\,d\lambda\leq U(f,P).

Riemann 積分値も $L(f,P)\leq I_R\leq U(f,P)$ を満たすため、

\left|\int_I f\,d\lambda-I_R\right| \leq U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon.

$\varepsilon>0$ は任意であるから、 $\int_I f\,d\lambda=I_R$ である。▨

前二命題をまとめると、既存の比較定理を完全な形で得る。

系 5.2. 従属選択公理を仮定する。 $a<b$ とし、有界関数 $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ が Riemann 可積分であると仮定する。このとき、 $f$ は完備 Lebesgue 測度に関して可測かつ可積分であり、

\int_{[a,b]} f\,d\lambda =\int_a^b f(x)\,dx

が成り立つ。

証明. Lebesgue 可測性と可積分性は命題 4.1から従う。積分値の一致は命題 5.1から従う。▨

6 条件収束する広義 Riemann 積分との違い

有限閉区間上では系 5.2が二つの積分を結び付ける。一方、半直線上の Lebesgue 可積分性は、有限区間上の積分値が極限をもつことだけではなく、絶対値の積分が有限であることを要求する。

命題 6.1. 従属選択公理を仮定する。関数

h(x)= \begin{cases} \dfrac{\sin x}{x},&x>0,\\ 1,&x=0 \end{cases} \qquad(x\in[0,\infty))

をとる。このとき、

\int_0^\infty h(x)\,dx

は広義 Riemann 積分として収束する。一方、

\int_{[0,\infty)}|h|\,d\lambda=\infty.

したがって、この広義 Riemann 積分は条件収束し、 $h$ は $[0,\infty)$ 上で Lebesgue 可積分でない。

証明.§B1.12 定理 2.1により

\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1

であるから、 $h$ は $[0,1]$ 上で連続である。したがって、§D1.17 定理 2.5と系 5.2により

\int_0^1 h(x)\,dx =\int_{[0,1]}h\,d\lambda \in\mathbb{R}

である。また、

\int_1^\infty\frac{\sin x}{x}\,dx

が広義 Riemann 積分として収束することは§D1.20 例 4.1で証明されている。 $R>1$ に対して

\int_0^R h(x)\,dx =\int_0^1h(x)\,dx+\int_1^R\frac{\sin x}{x}\,dx

であるため、 $R\to\infty$ とすると

\int_0^\infty h(x)\,dx =\int_0^1h(x)\,dx+\int_1^\infty\frac{\sin x}{x}\,dx

が収束する。

$X=[0,\infty)$ とし、各正の整数 $n$ に対して $g_n=|h|\mathbf{1}_{[0,n]}$ とおく。関数 $g_n$ は $X$ 上の非負可測関数であり、 $g_n\uparrow|h|$ が各点で成り立つ。§E9.7 定理 1.1と、連続関数 $|h|$ に対する系 5.2により、

\int_X|h|\,d\lambda =\lim_{n\to\infty}\int_Xg_n\,d\lambda =\lim_{n\to\infty}\int_0^n|h(x)|\,dx.

$\int_0^1|h(x)|\,dx$ は有限であり、§D1.20 例 4.1により $\int_1^\infty |\sin x|/x\,dx=\infty$ である。したがって、 $\int_X|h|\,d\lambda=\infty$ であり、 $h$ は Lebesgue 可積分でない。広義 Riemann 積分は収束する一方、絶対値の広義積分は発散するため、 $\int_0^\infty h(x)\,dx$ は条件収束する。▨

同じ式によって $h$ を実数直線全体へ連続に延長しても、 $[1,\infty)$ 上の絶対値の積分は変わらない。したがって、この連続延長も実数直線上で Lebesgue 可積分でない。

7 演習

問題 7.1.

補題 1.2の証明を用いずに、点列によって $D_\varepsilon(f)$ が閉集合であることを証明せよ。区間の端点では相対位相を用いることを明示せよ。
定理 2.2の必要条件の証明で、分割点を被覆へ加えなければならない理由を説明せよ。さらに、Darboux 和の差から $D_\varepsilon(f)$ の外測度が $0$ になる評価を再構成せよ。
定理 2.2の十分条件の証明で、零集合 $D_\gamma(f)$ 、開集合 $G$ 、振動が $\gamma$ 未満である相対開集合、および Lebesgue 数が担う役割を説明し、 $U(f,P)-L(f,P)<\eta$ を導け。この証明に $D_\gamma(f)$ のコンパクト性が必要かどうかも答えよ。
命題 4.1の証明で、完備 Lebesgue 測度が必要になる集合を特定せよ。 Borel 集合族の閉性だけでは、その集合の可測性を証明することができない理由を説明せよ。

解答.

$x_n\in D_\varepsilon(f)$ かつ $x_n\to x\in I$ とする。任意の $r>0$ に対して、ある $n$ は $|x_n-x|<r/2$ を満たす。相対開集合 $I\cap(x_n-r/2,x_n+r/2) \subseteq I\cap(x-r,x+r)$ を得る。 $\omega_f(x_n)\geq\varepsilon$ であるから、左辺における振動は $\varepsilon$ 以上である。したがって右辺における振動も $\varepsilon$ 以上である。これはすべての $r>0$ について成り立つため、 $\omega_f(x)\geq\varepsilon$ 、すなわち $x\in D_\varepsilon(f)$ である。ここではすべての近傍を $I$ との共通部分として取り、端点における収束も $I$ の相対位相で扱っている。したがって、 $D_\varepsilon(f)$ は収束列の極限を含み、 $I$ の閉集合である。
分割点 $x_i$ における振動が $\varepsilon$ 以上であっても、左右の開小区間の一方だけにおける振動が $\varepsilon$ 以上になるとは限らない。したがって、内部で $D_\varepsilon(f)$ と交わる小区間だけでは分割点を覆い切れない。主証明の集合 $B$ に対して $\varepsilon\sum_{i\in B}(x_i-x_{i-1}) \leq U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon\eta$ であるから、 $B$ に属する小区間の全長は $\eta$ 未満である。これらの小区間に有限集合 $\{x_0,\ldots,x_n\}$ を加えると $D_\varepsilon(f)$ を覆う。有限集合の外測度は $0$ であるため、 $\lambda^*(D_\varepsilon(f))<\eta$ を得る。 $\eta>0$ は任意であるから外測度は $0$ である。
$D_\gamma(f)$ が零集合であることにより、これを含み、測度が $\eta/(4M)$ 未満である開集合 $G$ を取ることができる。 $I\setminus G$ の各点は、振動が $\gamma$ 未満である相対開近傍に属する。そこで $G\cap I$ と、振動が $\gamma$ 未満であるすべての相対開集合を合わせると $I$ の開被覆になる。Lebesgue 数より細かい分割を取れば、各小区間は $G$ に含まれるか、振動が $\gamma$ 未満である被覆要素に含まれる。前者の小区間の全長は $\lambda(G)$ 以下であり、後者の全長は $b-a$ 以下であるから、 $U(f,P)-L(f,P) <2M\lambda(G)+\gamma(b-a) <\frac{\eta}{2}+\frac{\eta}{2} =\eta.$ この開被覆を直接用いる証明では、 $D_\gamma(f)$ のコンパクト性を使わない。
完備性を適用する集合は $D(f)\cap f^{-1}(O)$ である。ここで $O\subseteq\R$ は任意の開集合である。定理 2.2と補題 1.2は $D(f)$ が Borel 零集合であることを与えるが、 $f$ の $D(f)$ 上の値を制限しない。したがって $f^{-1}(O)$ の Borel 可測性も、 $D(f)\cap f^{-1}(O)$ の Borel 可測性も、この時点では得られていない。Borel 集合族の閉性は、すでに Borel 集合である集合どうしの演算にしか適用することができない。完備化の性質により、 $D(f)\cap f^{-1}(O)\subseteq D(f)$ から同集合の Lebesgue 可測性を得る。

▨

§E9.9Riemann 積分と Lebesgue 積分

1 点における振動と不連続点集合

2 Lebesgue の Riemann 可積分判定条件

3 Dirichlet 関数による比較

4 Riemann 可積分関数の Lebesgue 可測性

5 二つの積分値の一致

6 条件収束する広義 Riemann 積分との違い

7 演習

参考文献

前提記事