§A3.2かつ・または・否定

1 定義は真理値表そのものである

三つの演算は、真理値表によって完全に定まります。

• かつ（$\land$） は、$P$と$Q$の両方が真である場合にかぎり真になります。
• または（$\lor$） は、$P$と$Q$の少なくとも一方が真であれば真になります。日常語の「どちらか一方」とは異なり、両方が真である場合も真です。数学の「または」は排他的ではありません。
• 否定（$\lnot$） は、真理値を入れ替えます。

日常語の「または」は、「コーヒーまたは紅茶をお選びください」のように、どちらか一方だけを選ぶという意味で使われることがあります。数学の「または」に、その意味はありません。両方が成り立つ場合を含めるかどうかで結論が変わる場面では、「少なくとも一方」「ちょうど一方」のように、文章で範囲を明示します。

2 ド・モルガン則を真理値表から導く

「かつ」「または」「否定」のあいだには計算規則が成り立ちます。とくに重要なものがド・モルガン則です。$\lnot(P \land Q)$と$\lnot P \lor \lnot Q$の真理値を、起こりうる4通りすべてについて計算します。

$P$	$Q$	$P \land Q$	$\lnot(P \land Q)$	$\lnot P$	$\lnot Q$	$\lnot P \lor \lnot Q$
T	T	T	F	F	F	F
T	F	F	T	F	T	T
F	T	F	T	T	F	T
F	F	F	T	T	T	T

第4列と第7列は、4行すべてで一致しています。したがって$\lnot(P \land Q)$と$\lnot P \lor \lnot Q$は、$P$と$Q$の真偽がどうであっても同じ真理値をとります。この関係を同値と呼び、$\equiv$で書きます。同じ手順で$\lnot(P \lor Q)$と$\lnot P \land \lnot Q$の表を作ると、こちらも4行すべてで一致します。

「かつ」の否定は「または」になり、「または」の否定は「かつ」になります。否定を内側へ移すと$\land$と$\lor$が入れ替わる、と読むことができます。否定を含む式を書き換えるときは、この2本の規則を繰り返し適用します。

3 論理演算はブール代数という計算である

$\land$を掛け算、$\lor$を足し算になぞらえると、数の計算と同じ形の規則が成り立ちます。

どちらも定義 1.1の真理値表から、8通りを書き出せば確かめることができます。真を$1$、偽を$0$とみなして真理値を計算する体系をブール代数と呼びます。本単元は論理を、正しく考えるための心構えとしてではなく、決まった規則に従って真理値を計算する手続きとして扱います。