§A3.1命題と真偽、真理値表

1 真理値表は、起こりうる場合をすべて並べる

複合的な命題の真偽を確かめる道具として、次の表を使います。

部品が$n$個であれば、真偽の組み合わせは$2^n$通りなので、表の行は$2^n$行になります。この表を埋めれば、起こりうる場合をもれなく調べたことになります。

たとえば、命題$P$の否定「$P$でない」（記号では$\lnot P$）の真理値表は次のとおりです。

$P$	$\lnot P$
T	F
F	T

$P$が真であれば$\lnot P$は偽であり、$P$が偽であれば$\lnot P$は真です。否定は、真理値を入れ替える操作であると言うことができます。

2 「ならば」の真偽を定める規約

「ならば」で結んだ文の真偽は、次のように定めます。前件が偽である場合の扱いが要点です。

第2行だけが偽であり、残る3行はいずれも真です。とくに、前件$P$が偽である第3行と第4行では、後件$Q$の真偽にかかわらず$P \Rightarrow Q$を真と定めます。

この定め方は約束であって、証明することができる事実ではありません。ただし、$P \Rightarrow Q$が何を主張しているのかを考えると、この約束を選ぶ理由が分かります。$P \Rightarrow Q$は、「$P$が真であるのに$Q$が偽である」という場合が起こらないことを主張しています。前件が偽である場合には、この主張が破られる余地がそもそもありません。破られていない以上、その場合は真としておく、というのがこの規約です。

この規約が必要になる場面を、具体例で確かめます。

前件が偽である場合を真と定める規約は、こうした一般的な主張を扱うために必要です。

日常語の「ならば」は、前件と後件のあいだに因果関係や関連があることを含んで使われます。数学の条件文は、上の表が定める真理値だけを意味し、前件と後件に関連があることを要求しません。たとえば「$1 = 2$ならば地球は平らである」は、前件が偽なので、この規約のもとでは真の命題です。

3 表で考える理由

論理の問題を、正しそうだという直感によって判断すると、誤った結論に至ることがあります。真理値表は、起こりうる場合をもれなく機械的に調べるための道具です。複雑な命題であっても、部品に分解して表を埋めれば、真偽は必ず定まります。場合を尽くせば真偽の判定が計算になる、という点が、次の記事以降で扱う論理演算、条件と集合の対応、量化子の土台になります。