§A3.14定義の展開という技法

1 示すことも、使うことも、定義に戻す

定義の展開では、次の順序を用います。

結論を展開すると、何を示せば証明が終わるのかが分かります。仮定を展開すると、証明に使うことができる式や条件が分かります。両方を同じ記号で書くことにより、結論と仮定の間に残る推論を特定することができます。

2 例：計算で埋めることができる場合

結論と仮定の両方へ、この定義を適用します。

結論と二つの仮定を定義へ置き換えると、この証明は単射性を二回適用することで閉じます。

3 例：別の定理を必要とする場合

定義を展開すると、計算だけでは閉じない依存を特定することもできます。次の定理はその例です。

実数列$(a_n)_{n\ge1}$について仮定を展開すると、すべての$n\ge1$に対する不等式$a_n\le a_{n+1}$と、ある実数$M$が存在して、すべての$n\ge1$に対して$a_n\le M$が成り立つことが現れます。一方、結論を展開すると、極限の候補となる実数$\alpha$が存在し、任意の$\varepsilon>0$に対して番号$N$を選ぶことができ、$n\ge N$を満たすすべての$n$に対して$|a_n-\alpha|<\varepsilon$が成り立つという量化が現れます。仮定の不等式だけから、実数$\alpha$の存在を得ることはできません。

数列の値の集合$\{a_n\mid n\ge1\}$は空でなく、上に有界です。極限候補を得る段階では、§D1.4 定義 1.2が与える上限の存在を用います。ただし、上限が存在することだけでは収束の証明は終わりません。上限の性質から、任意の$\varepsilon>0$に対応する番号$N$を得る推論も必要です。その推論を含む完全な証明は§D1.7 定理 1.1に委ねます。

定義の展開は、局所的な計算で閉じる部分と、既存の定理や公理を必要とする部分とを分けます。定義に戻れば必ず初等的な計算だけになるとは限りません。