ディリクレの近似定理 | 初等整数論ギャラリー

1 近似の精度をどう測るか

分母を先に決めてしまえば、ある程度の精度はいつでも得ることができます。

注意 1.1 (分母を決めたときに無条件で得られる精度). 実数 $\alpha$ と正の整数 $q$ に対し、 $q\alpha$ に最も近い整数を $p$ とすると $\lvert q\alpha - p \rvert \le 1/2$ 、すなわち $\lvert \alpha - p/q \rvert \le 1/(2q)$ が成り立つ。この評価はどの実数 $\alpha$ とどの $q$ についても成り立つので、 $\alpha$ ごとの違いを何も表さない。

したがって、近似の良し悪しを見るには、誤差が $1/q$ よりも速く小さくなるかどうかを問う必要があります。本記事が扱うのは、誤差が $1/q^2$ より小さくなる近似です。 $q \ge 3$ のとき $1/q^2 < 1/(2q)$ であり、 $q$ が大きいほど二つの量の比 $q/2$ は大きくなります。

2 分母の上限を決めた形の主張

はじめに、分母の上限 $N$ を先に決めた形で述べます。この形が証明の本体であり、無限に多くの近似を取ることができることは、ここから導きます。

定理 2.1 (ディリクレの近似定理（分母の上限を決めた形）). $\alpha$ を実数、 $N$ を正の整数とする。このとき、 $1 \le q \le N$ を満たす整数 $q$ と整数 $p$ で

\lvert q\alpha - p \rvert < \frac{1}{N}

を満たすものが存在する。このとき

\left\lvert \alpha - \frac{p}{q} \right\rvert < \frac{1}{qN} \le \frac{1}{q^2}

が成り立つ。

証明の方針は、 $\alpha$ の整数倍の小数部分を $N$ 個の区間へ振り分け、同じ区間に入る二つを取ることです。取った二つの差から、目的の $q$ と $p$ を作ります。

証明. $N+1$ 個の実数

\{0 \cdot \alpha\},\ \{1 \cdot \alpha\},\ \dots,\ \{N \cdot \alpha\}

を考えます。これらはすべて区間 $[0, 1)$ に属します。区間 $[0,1)$ を

\left[0, \frac{1}{N}\right),\ \left[\frac{1}{N}, \frac{2}{N}\right),\ \dots,\ \left[\frac{N-1}{N}, 1\right)

の $N$ 個へ分けます。 $N+1$ 個の実数を $N$ 個の区間へ振り分けるので、鳩の巣原理により、同じ区間に入るものが少なくとも二つあります。それを $\{k_1 \alpha\}$ 、 $\{k_2 \alpha\}$ （ $0 \le k_1 < k_2 \le N$ ）とします。同じ区間に属するので

\bigl\lvert \{k_2 \alpha\} - \{k_1 \alpha\} \bigr\rvert < \frac{1}{N}

です。ここで

q = k_2 - k_1, \qquad p = \lfloor k_2 \alpha \rfloor - \lfloor k_1 \alpha \rfloor

とおきます。 $0 \le k_1 < k_2 \le N$ より $1 \le q \le N$ であり、 $p$ は整数です。さらに

q\alpha - p = (k_2 \alpha - \lfloor k_2\alpha \rfloor) - (k_1\alpha - \lfloor k_1\alpha\rfloor) = \{k_2\alpha\} - \{k_1\alpha\}

であるから $\lvert q\alpha - p \rvert < 1/N$ です。

両辺を $q > 0$ で割ると $\lvert \alpha - p/q \rvert < 1/(qN)$ です。 $q \le N$ より $1/(qN) \le 1/q^2$ であるから、 $\lvert \alpha - p/q \rvert < 1/q^2$ も成り立ちます。▨

3 既約分数に限って数える理由

無限に多くあるかどうかを問うときには、分数を既約分数に限る必要があります。

注意 3.1 (約分していない分数を数えると個数が意味を失う). $\alpha = a/b$ を有理数とすると、 $k$ を正の整数として $p = ka$ 、 $q = kb$ とおけば $\lvert \alpha - p/q \rvert = 0 < 1/q^2$ が成り立つ。したがって、約分していない分数まで数えると、有理数についても条件を満たす分数が無限に得られてしまう。分数としてはこれらはすべて $a/b$ の別の書き方であり、新しい近似ではない。以下、条件を満たす分数の個数は、既約分数の個数として数える。

なお、既約であるかどうかは条件の成否を弱めません。 $p/q$ が $\lvert \alpha - p/q \rvert < 1/q^2$ を満たすとき、 $p/q$ を約分して得られる既約分数 $p'/q'$ は $q' \le q$ を満たすので

\left\lvert \alpha - \frac{p'}{q'} \right\rvert = \left\lvert \alpha - \frac{p}{q} \right\rvert < \frac{1}{q^2} \le \frac{1}{q'^2}

となり、既約分数としても同じ条件を満たします。

4 無理数の場合

定理 4.1 (無理数に対しては無限個ある). $\alpha$ を無理数とする。このとき

\left\lvert \alpha - \frac{p}{q} \right\rvert < \frac{1}{q^2}

を満たす既約分数 $p/q$ は無限に存在する。

証明. 条件を満たす既約分数が有限個しかないと仮定し、それらを $p_1/q_1, \dots, p_s/q_s$ とします。 $\alpha$ は無理数なので、どの $i$ についても $\alpha \ne p_i/q_i$ であり、 $\lvert \alpha - p_i/q_i \rvert > 0$ です。そこで

\delta = \min_{1 \le i \le s} \left\lvert \alpha - \frac{p_i}{q_i} \right\rvert

とおくと $\delta > 0$ です。

$1/N < \delta$ を満たす正の整数 $N$ を取り、定理 2.1を $\alpha$ と $N$ に適用すると、 $1 \le q \le N$ と整数 $p$ で

\left\lvert \alpha - \frac{p}{q} \right\rvert < \frac{1}{qN} \le \frac{1}{N} < \delta

かつ $\lvert \alpha - p/q \rvert < 1/q^2$ を満たすものが得られます。この $p/q$ を約分して既約分数にすると、上で見たとおり条件 $\lvert \alpha - p/q \rvert < 1/q^2$ は保たれ、 $\alpha$ との差の値も変わりません。したがってこの既約分数は条件を満たすので、 $p_1/q_1, \dots, p_s/q_s$ のいずれかと一致します。しかし、そのすべては $\alpha$ との差が $\delta$ 以上であるのに対し、得られた分数の差は $\delta$ 未満です。これは矛盾です。

よって、条件を満たす既約分数は無限に存在します。▨

5 有理数の場合

無理数であるという仮定を外すと、結論は成り立ちません。

定理 5.1 (有理数に対しては有限個しかない). $\alpha = a/b$ を既約分数（ $b \ge 1$ ）とする。このとき

\left\lvert \alpha - \frac{p}{q} \right\rvert < \frac{1}{q^2}

を満たす既約分数 $p/q$ は有限個である。

証明. 既約分数 $p/q$ が条件を満たすとします。

$p/q = a/b$ である場合、どちらも既約分数なので $q = b$ 、 $p = a$ であり、この分数は一つだけです。

$p/q \ne a/b$ である場合、 $aq - bp \ne 0$ です。 $aq - bp$ は整数なので $\lvert aq - bp \rvert \ge 1$ であり

\left\lvert \alpha - \frac{p}{q} \right\rvert = \frac{\lvert aq - bp \rvert}{bq} \ge \frac{1}{bq}

が成り立ちます。条件と合わせると $1/(bq) < 1/q^2$ 、すなわち $q < b$ です。したがって $q$ の取りうる値は $1$ から $b-1$ までの有限個です。 $q$ を一つ固定すると、条件は $p$ が長さ $2/q$ の区間 $(q\alpha - 1/q,\ q\alpha + 1/q)$ に入ることを意味するので、 $p$ の取りうる値も有限個です。

以上より、条件を満たす既約分数は有限個です。▨

例 5.2 ( $\alpha = 1/2$ の場合をすべて書き出す). $\alpha = 1/2$ とすると $b = 2$ である。定理 5.1の証明により、 $1/2$ 自身のほかは $q < 2$ 、すなわち $q = 1$ の場合に限られる。 $q = 1$ では $\lvert 1/2 - p \rvert < 1$ を満たす整数 $p$ は $0$ と $1$ である。したがって条件を満たす既約分数は

\frac{0}{1}, \qquad \frac{1}{1}, \qquad \frac{1}{2}

の三つだけである。

6 二つの場合を合わせる

定理 6.1 (ディリクレの近似定理). 実数 $\alpha$ について、次の二つは同値である。

$\lvert \alpha - p/q \rvert < 1/q^2$ を満たす既約分数 $p/q$ が無限に存在する。
$\alpha$ は無理数である。

証明. 2 から 1 は定理 4.1です。1 から 2 は定理 5.1の対偶です。▨

7 具体的な近似を見る

例 7.1 ( $\sqrt2$ と $\pi$ に対する近似). $\sqrt2 = 1.41421356\ldots$ と $\pi = 3.14159265\ldots$ に対して、条件 $\lvert \alpha - p/q \rvert < 1/q^2$ を満たす既約分数の例を挙げると、次のようになる。値は小数第 $8$ 位までの近似値である。

$\alpha$	$p/q$	$\lvert \alpha - p/q \rvert$	$1/q^2$
$\sqrt2$	$3/2$	$0.08578644$	$0.25$
$\sqrt2$	$7/5$	$0.01421356$	$0.04$
$\sqrt2$	$17/12$	$0.00245311$	$0.00694444$
$\sqrt2$	$41/29$	$0.00042046$	$0.00118906$
$\sqrt2$	$99/70$	$0.00007215$	$0.00020408$
$\pi$	$22/7$	$0.00126449$	$0.02040816$
$\pi$	$333/106$	$0.00008322$	$0.00008900$
$\pi$	$355/113$	$0.00000027$	$0.00007831$

どの行でも、左の値が右の値より小さい。 $355/113$ では、誤差が $1/q^2$ の $1$ パーセント未満である。

8 連分数の近似分数との関係

注意 8.1 (連分数展開の近似分数との一致).例 7.1に現れた $3/2$ 、 $7/5$ 、 $17/12$ 、 $41/29$ 、 $99/70$ は $\sqrt2$ の連分数展開の近似分数であり、 $22/7$ 、 $333/106$ 、 $355/113$ は $\pi$ の連分数展開の近似分数である。一般に、次の二つが知られている。

実数 $\alpha$ の連分数展開の近似分数 $p_k/q_k$ は、 $\lvert \alpha - p_k/q_k \rvert < 1/q_k^2$ を満たす。
既約分数 $p/q$ が $\lvert \alpha - p/q \rvert < 1/(2q^2)$ を満たすならば、 $p/q$ は $\alpha$ の連分数展開の近似分数である。

本記事はこの二つを証明しない。連分数展開と近似分数そのものは連分数で扱う。二つ目の条件が $1/q^2$ ではなく $1/(2q^2)$ であることに注意する。 $\pi$ に対する $333/106$ は $1/q^2$ の条件を満たすが $1/(2q^2)$ の条件を満たさない近似分数であり、二つ目の主張の逆は成り立たない。

9 つまずいたら

定理 2.1は、 $1$ 以上 $N$ 以下のどこかに条件を満たす $q$ があることを述べるだけであり、どの $q$ であるかは示しません。 $N$ を大きくしたときに得られる $q$ が大きくなるとも限りません。
無限に多くあることは、定理 2.1を一度使うだけでは出ません。 $N$ を大きくしながら何度も使い、そのつど誤差の小さい分数が得られることを用います。この議論が働くのは、 $\alpha$ が無理数であって誤差が $0$ にならない場合だけです。
$\alpha$ が有理数のときには条件を満たす既約分数が有限個しかありません（定理 5.1）。 $\alpha = 1/2$ では例 5.2のとおり三つだけです。「無理数である」という仮定を落とすと、定理 6.1の 1 は偽になります。
数える対象を既約分数に限らないと、有理数についても無限に多くの分数が条件を満たします（注意 3.1）。既約という条件は、書き方の重複を除くために必要です。
誤差の基準を $1/q^2$ から $1/(2q)$ へ緩めると、注意 1.1により、どの実数 $\alpha$ とどの分母 $q$ についても条件を満たす $p$ が存在します。緩めた基準は無理数と有理数を区別しません。基準を $1/q^2$ に取ることが、定理 6.1を同値の主張にしています。

§C3.11ディリクレの近似定理