§C3.9ピックの定理

証明.$x$座標が最小である頂点のうち、$y$座標が最小であるものを$A$とし、$A$の両隣の頂点を$B$、$C$とします。$A$の取り方から、$B$と$C$はどちらも$A$より右にあるか、$A$と同じ$x$座標で$A$より上にあります。したがって$A$における内角は$0$より大きく$180^\circ$より小さく、$A$の近くでは多角形の内部が角$BAC$の内側にあります。とくに$A$、$B$、$C$は同一直線上にありません。

場合 1：三角形$ABC$に、$A$、$B$、$C$以外の多角形の頂点が無い場合。このとき線分$BC$が求める線分です。実際、$BC$の両端以外の点と共有点を持つ辺$e$があるとします。$e$の両端は多角形の頂点であり、仮定によって三角形$ABC$の中には$A$、$B$、$C$しかありません。$e$は$A$を端点に持ちません（$A$を端点とする辺は$AB$と$AC$の二つであり、どちらも$BC$とは端点だけを共有します）。$e$が$B$を端点に持つ場合、$e$は$B$から出る線分なので、直線$BC$上に無いかぎり$BC$とは$B$だけを共有し、直線$BC$上にあれば三角形の内部へ入りません。$C$についても同様です。残るのは、$e$の両端が三角形の外にある場合です。このとき$e$は三角形の境界を二度横切ります。辺$AB$と辺$AC$は多角形の辺であり、$e$はそれらと隣り合わないので共有点を持ちません。よって$e$は線分$BC$を二度横切ることになりますが、線分が直線$BC$と二点以上を共有するのは$e$が直線$BC$上にある場合に限られ、そのときは三角形の内部へ入りません。いずれの場合も矛盾です。

場合 2：三角形$ABC$に、$A$、$B$、$C$以外の多角形の頂点がある場合。そのような頂点のうち、直線$BC$からの距離が最大であるものを$P$とします（複数あればどれでもよい）。線分$AP$が求める線分です。

$P$を通り$BC$に平行な直線を$\ell$とし、三角形$ABC$のうち、直線$BC$からの距離が$P$より真に大きい部分を$T$と書きます。$A$は三角形の頂点のうち$BC$から最も遠いので$A \in T$であり、線分$AP$上の点は$A$から$P$へ向かって$BC$からの距離が単調に減るので、$P$を除く$AP$上のすべての点は$T$に属します。$P$の取り方から、$T$には$A$以外の多角形の頂点がありません。

$AP$の両端以外の点と共有点を持つ辺$e$があるとします。その共有点は$T$の中にあります。$e$は$A$を端点に持ちません（$A$を端点とする辺は$AB$と$AC$であり、$P$はこれらの上にありません。多角形が単純であるから、頂点が他の辺の内部に乗ることはないからです）。$e$の両端は$T$に属さないので、$e$は$T$の境界を二度横切ります。$T$の境界は、辺$AB$の一部、辺$AC$の一部、および直線$\ell$の一部からなります。$e$は多角形の辺$AB$、$AC$と共有点を持たないので、二度とも$\ell$を横切ることになります。しかし線分が直線$\ell$と二点以上を共有するのは$e$が$\ell$上にある場合に限られ、そのときは$e$が$T$に入りません。矛盾です。

いずれの場合も、得られた線分は両端以外で多角形の境界と共有点を持ちません。注意 1.3により、この線分の両端以外の部分は多角形の内部か外部のいずれか一方に完全に含まれます。$A$の近くでは内部が角$BAC$の内側にあるので、含まれるのは内部です。▨

証明.$n$についての強い帰納法で示します。$n = 3$のとき、多角形自身が$1 = 3 - 2$個の三角形です。

$n \ge 4$とします。定理 5.1により、両端以外が内部にある対角線$d$があります。$d$は多角形を二つの多角形へ分け、それぞれの頂点はもとの多角形の頂点か$d$の端点なので、すべて格子点です。二つの多角形の頂点の個数を$n_1$、$n_2$とすると、$d$の両端はどちらの多角形の頂点にもなるので$n_1 + n_2 = n + 2$であり、$3 \le n_1, n_2 < n$です。帰納法の仮定により、それぞれ$n_1 - 2$個と$n_2 - 2$個の三角形へ分かれ、合わせて$(n_1 - 2) + (n_2 - 2) = n - 2$個です。▨

証明. 分ける折れ線の上にある格子点の個数を$k$とします。両端が含まれるので$k \ge 2$です。

面積については$S(P) = S(P_1) + S(P_2)$です。

内部の格子点を数えます。$P$の内部の格子点は、$P_1$の内部の格子点、$P_2$の内部の格子点、および折れ線の両端以外の格子点に分かれます。最後のものは$k - 2$個なので

です。

境界上の格子点を数えます。$B(P_1)$と$B(P_2)$は、どちらも折れ線上の$k$個の格子点を数えています。この$k$個のうち、両端の$2$個は$P$の境界上にあるので$B(P)$で一度だけ数え、残りの$k - 2$個は$P$の内部にあるので$B(P)$では数えません。それ以外の格子点は$B(P_1)$と$B(P_2)$のどちらか一方だけに現れ、$B(P)$にも現れます。よって

です。以上を合わせると

となります。▨

証明. 格子全体は格子点だけの平行移動で保たれるので、一つの頂点が原点$O$にあるとしてよいことになります。他の二頂点を$P = (a, b)$、$Q = (c, d)$とし、$D = ad - bc$とおきます。三角形の面積は$\lvert D \rvert / 2$なので、$\lvert D \rvert = 1$を示せば足ります。三点が同一直線上に無いので$D \ne 0$です。

$O$、$P$、$P + Q$、$Q$を頂点とする平行四辺形を$\Pi$とします。写像$v \mapsto P + Q - v$は格子点を格子点へ移し、三角形$OPQ$を三角形$(P+Q)\,Q\,P$へ移すので、後者も三つの頂点以外に格子点を含みません。$\Pi$はこの二つの三角形の合併であるから、$\Pi$に含まれる格子点は四つの頂点だけです。

$P$と$Q$は一次独立なので、どの格子点$v$も実数$\alpha$、$\beta$によって$v = \alpha P + \beta Q$と書くことができます。$\alpha$、$\beta$の小数部分を$\{\alpha\}$、$\{\beta\}$と書き、$w = \{\alpha\} P + \{\beta\} Q$とおくと、$w = v - \lfloor \alpha \rfloor P - \lfloor \beta \rfloor Q$であるから$w$は格子点であり、$0 \le \{\alpha\}, \{\beta\} < 1$であるから$w$は$\Pi$に含まれます。$\Pi$の格子点は四つの頂点だけであり、そのうち$\{\alpha\}, \{\beta\} < 1$を満たすのは$O$だけなので$w = O$、すなわち$\alpha$と$\beta$は整数です。

とくに$(1, 0)$と$(0, 1)$について、整数$\alpha, \beta, \gamma, \delta$で

を満たすものがあります。第一の式を成分で書くと$\alpha a + \beta c = 1$、$\alpha b + \beta d = 0$です。前者に$d$を、後者に$c$を掛けて引くと$\alpha D = d$を得ます。同じように、前者に$b$を、後者に$a$を掛けて引くと$\beta D = -b$を得ます。第二の式からも同様に$\gamma D = -c$、$\delta D = a$を得ます。これらを$D = ad - bc$へ代入すると

であり、$D \ne 0$で割ると$1 = D(\alpha\delta - \beta\gamma)$です。$D$と$\alpha\delta - \beta\gamma$はどちらも整数なので$\lvert D \rvert = 1$です。▨

証明.$T$が含む格子点（内部と境界を合わせたもの）の個数についての強い帰納法で示します。

$T$が三つの頂点以外に格子点を含まない場合、$T$は基本三角形であり、$I(T) = 0$、$B(T) = 3$、$S(T) = 1/2$（定理 7.2）です。このとき$I(T) + B(T)/2 - 1 = 0 + 3/2 - 1 = 1/2$となって一致します。

$T = ABC$が三つの頂点以外の格子点$D$を含む場合を考えます。

$D$が辺の上（頂点でない位置）にある場合、その辺を$AB$としてよいことになります。線分$CD$は両端以外が$T$の内部にあり、両端は格子点なので、定理 6.1を適用することができます。$T$は三角形$ACD$と三角形$DBC$へ分かれ、前者は$B$を、後者は$A$を含まないので、どちらも$T$より少ない個数の格子点しか含みません。帰納法の仮定と定理 6.1から、$T$について等式が成り立ちます。

$D$が$T$の内部にある場合、$C$から$D$を経て$A$へ至る折れ線によって$T$を三角形$ACD$と四角形$ABCD$へ分けます。次に、四角形$ABCD$を対角線$BD$によって三角形$ABD$と三角形$BCD$へ分けます。三角形$ACD$は$B$を、$ABD$は$C$を、$BCD$は$A$を含まないので、いずれも$T$より少ない個数の格子点しか含みません。帰納法の仮定により三つの三角形について等式が成り立つので、定理 6.1を四角形$ABCD$へ一度、$T$へもう一度適用すると、$T$について等式が成り立ちます。▨

証明 (ピックの定理の証明).定理 5.2により、格子多角形$P$を、頂点が$P$の頂点である$N$個の格子三角形へ分けることができます。この$N$についての強い帰納法で示します。

$N = 1$のとき、$P$は三角形であり、定理 7.3が主張を与えます。

$N \ge 2$のとき、分割に用いた対角線を一つ取ると、$P$は二つの格子多角形$P_1$、$P_2$へ分かれ、もとの分割の三角形はそれぞれどちらか一方に属します。その個数を$N_1$、$N_2$とすると$N_1 + N_2 = N$であり、どちらも$1$以上$N$未満です。帰納法の仮定により$P_1$と$P_2$について等式が成り立つので、定理 6.1により$P$についても成り立ちます。▨