§C3.1ピタゴラス数の一般解

証明. 素数$p$を取り、$u$と$v$の素因数分解における$p$の指数を、それぞれ$e$と$f$とする。$uv$が平方数であるから、素因数分解の一意性により$e+f$は偶数である。$\gcd(u,v)=1$であるから、$e$と$f$の少なくとも一方は$0$である。したがって、$e$と$f$はともに偶数である。任意の素数について同じことが成り立つので、$u$と$v$の素因数分解に現れるすべての指数は偶数である。よって$u$と$v$はそれぞれ平方数である。▨

証明.$a$と$b$がともに偶数であるとすると、$2$が$\gcd(a,b)$を割り切るので、$\gcd(a,b)=1$に反する。

$a$と$b$がともに奇数であると仮定する。奇数$2k+1$の平方は$4k^2+4k+1$であるから、奇数の平方は$4$を法として$1$と合同である。したがって$c^2=a^2+b^2\equiv1+1=2\pmod 4$となる。一方、整数の平方を$4$で割った余りは$0$または$1$である。$c^2$の二つの合同関係は両立しないので、$a$と$b$がともに奇数であるという仮定を棄却する。

よって$a$と$b$の一方は偶数であり、他方は奇数である。すると$c^2=a^2+b^2$は奇数であり、$c$も奇数である。▨

証明 (この形に限ること).定理 4.1より$a$と$c$は奇数である。$b=2b'$とおく。$b^2 = c^2 - a^2 = (c-a)(c+a)$であり、$c$と$a$がともに奇数であるから$c-a$と$c+a$はともに偶数である。両辺を$4$で割ると

を得る。$c^2=a^2+b^2>a^2$かつ$a,c>0$であるから$c>a$であり、$\frac{c-a}{2}$と$\frac{c+a}{2}$はともに正の整数である。

$\frac{c-a}{2}$と$\frac{c+a}{2}$に共通の素因数$p$があると仮定する。$p$は二数の和$c$と差$a$をともに割り切るので、$\gcd(a,c)=1$に反する。したがって、この二数は互いに素である。

したがって定理 3.1により、正の整数$m,n$が存在して

となる。これらを足し引きすると$c=m^2+n^2$、$a=m^2-n^2$を得る。また$b'^2=m^2n^2$と$b'>0$から$b'=mn$、すなわち$b=2mn$を得る。

$a>0$より$m^2>n^2$であり、$m,n>0$であるから$m>n>0$である。$m$と$n$の共通の素因数は$m^2=\frac{c+a}{2}$と$n^2=\frac{c-a}{2}$の共通の素因数になるが、この二数は互いに素である。よって$\gcd(m,n)=1$である。さらに$c=m^2+n^2$は奇数であるから、$m$と$n$の偶奇は異なる。

$m^2=\frac{c+a}{2}$と$n^2=\frac{c-a}{2}$は$(a,c)$から定まり、$m,n$は正の整数であるから、$m$と$n$はそれぞれ一意に定まる。▨

証明 (この形が条件を満たすこと). 条件 1 から 3 を満たす整数$m,n$を取り、$a=m^2-n^2$、$b=2mn$、$c=m^2+n^2$と定める。条件 1 より$a,b,c>0$である。展開すると

であるから、$(a,b,c)$はピタゴラス数であり、$b=2mn$は偶数である。

条件 3 より$a=m^2-n^2$は奇数である。$a$と$b$をともに割り切る素数$p$があると仮定する。$p$は奇数であり、$p\mid b=2mn$であるから、$p$は$m$または$n$を割り切る。$p\mid m$ならば、$p\mid a=m^2-n^2$より$p\mid n^2$、したがって$p\mid n$となり、$\gcd(m,n)=1$に反する。$p\mid n$の場合も同様に$p\mid m$となり、$\gcd(m,n)=1$に反する。よって$a$と$b$に共通の素因数は無く、$\gcd(a,b)=1$である。▨