§E14.20正規線形モデルと分散分析

証明.$Z=(Y-\mu)/\sigma$とおくと$Z\sim N_n(0,I_n)$であり、$P\mu=\mu$であるから

を得る。$P$と$I_n-P$は実対称冪等行列であり、$P(I_n-P)=0$である。§E14.3 定理 3.1により$PZ$と$(I_n-P)Z$は独立であり、$I_n-P$の階数は$n-r>0$なので

が成り立つ。アフィン変換は独立性を保つため、$\widehat\mu$と$e$は独立である。さらに§E14.3 定義 2.2 (1)によりカイ二乗分布の平均は自由度に等しいから、$E[s^2]=\sigma^2$となる。▨

証明.$P_1P_0=P_0P_1=P_0$であるから、$P_1-P_0$は$\mathcal M_1\cap\mathcal M_0^\perp$への直交射影であり、階数は$r_1-r_0$である。また、

である。直交分解

により

を得る。$Y=\mu+\sigma Z$、$Z\sim N_n(0,I_n)$と書く。$H_0$のもとでは$(P_1-P_0)\mu=0$かつ$(I_n-P_1)\mu=0$なので、§E14.3 定理 3.1により

であり、二つの確率変数は独立である。§E14.3 定義 2.2 (3)から表示した F 法則が従う。§E14.3 命題 2.4により上側$\alpha$点は一意に存在し、その上側確率は$\alpha$であるから、検定のサイズは$\alpha$である。▨

証明.(1)を示す。$A=(X^\top X)^{-1}X^\top$とおくと、

である。§E11.10 定理 4.2により$A\varepsilon$は Gaussian であり、§E14.19 系 4.1により平均は零、共分散行列は$\sigma^2(X^\top X)^{-1}$である。したがって主張した正規法則を得る。

(2)を示す。$H$は$\operatorname{col}(X)$への直交射影であり、$\dim\operatorname{col}(X)=p<n$である。定理 1.2を$\mathcal M=\operatorname{col}(X)$に適用すると、$HY$と$e$は独立であり、$\lVert e\rVert^2/\sigma^2\sim\chi^2_{n-p}$を得る。$\widehat\beta=AHY$は$HY$の関数であり、$s^2$は$e$の関数であるから、$\widehat\beta$と$s^2$も独立である。

(3)を示す。(1)により

である。$X^\top X$は正定値なので$c_{jj}>0$である。(2)により$Z_j$と$(n-p)s^2/\sigma^2$は独立である。自由度が正のカイ二乗分布は零に確率を置かないため$P(s=0)=0$であり、§E14.3 定義 2.2 (2)より、零集合上で定めた値にかかわらず表示した比は$t_{n-p}$に従う。

(4)を示す。$\mathcal M_0=\operatorname{span}\{\mathbf1\}$、$\mathcal M_1=\operatorname{col}(X)$とおくと、帰無仮説は$X\beta\in\mathcal M_0$と同値である。$\mathcal M_0$と$\mathcal M_1$への直交射影はそれぞれ$Y\mapsto\overline Y\mathbf1$と$H$である。したがって定理 2.1の分子は$\operatorname{ESS}$、分母は$\operatorname{RSS}$となり、主張した F 法則を得る。▨

証明.(1)は定理 3.1 (3)と$t$分布の対称性から

を得る。前定理の証明で$P(s=0)=0$を示したので、ほとんど確実にこの不等式を$\beta_j$について解くことができ、表示した区間を得る。

(2)を示す。$x_0\ne0$ならば$X^\top X$の正定値性により$h_0=x_0^\top(X^\top X)^{-1}x_0>0$である。定理 3.1 (1)と定理 3.1 (2)により

である。第一の区間と同じ反転により正確な被覆確率$1-\alpha$を得る。$x_0=0$ならば推定対象と区間の両方が恒等的に零であるため、被覆確率は$1$である。

(3)を示す。$A=(X^\top X)^{-1}X^\top$とおくと

は平均零、分散$\sigma^2(1+h_0)$の正規変数である。$x_0^\top A\varepsilon$は$H\varepsilon$の関数であり、$s^2$は$(I_n-H)\varepsilon$の関数である。定理 1.2と$\varepsilon_0$の独立性により、表示した予測誤差と$s^2$は独立である。したがって

である。中央確率を$Y_0$について反転すると予測区間を得る。$1+h_0>h_0$であるから、$s>0$ならば予測区間の半幅は平均応答の信頼区間の半幅より大きく、$s=0$ならば両方の半幅は零である。▨

証明.$\R^N$の座標を組$(j,k)$で添字付け、$\mathcal M_1$を各群の内部で座標値が一定であるベクトル全体、$\mathcal M_0=\operatorname{span}\{\mathbf1\}$とする。$\dim\mathcal M_1=g$、$\dim\mathcal M_0=1$であり、$\mathcal M_0\subsetneq\mathcal M_1$である。$\mathcal M_1$への直交射影は各$(j,k)$座標を$\overline Y_j$に写し、$\mathcal M_0$への直交射影は各座標を$\overline Y$に写す。したがって

である。第一の等式と直交分解$Y-P_0Y=(P_1-P_0)Y+(I_N-P_1)Y$から(1)が従う。帰無仮説は平均ベクトルが$\mathcal M_0$に属することと同値なので、定理 2.1を$r_0=1$、$r_1=g$として適用すると(2)の F 法則と独立性を得る。この議論は$n_1,\ldots,n_g$が等しいことを用いない。▨