§E14.16単調尤度比と最強力検定

証明.$\theta_1<\theta_2$を取り、対応する密度を$f_1,f_2$と書く。各密度の積分が1であることと Fubini の定理§E9.11 定理 3.2により

被積分関数の絶対値は$2\sup|g|\{f_2(y)f_1(x)+f_1(y)f_2(x)\}$以下であり、可積分である。$T(x)<T(y)$ならば二つの因子はともに非負であり、$T(x)>T(y)$ならばともに非正である。$T(x)=T(y)$ならば第一因子は零である。したがって積分は非負である。▨

証明.$F$を$P_{\theta_0}$の下での$T$の分布関数とし、$c=\inf\{t:F(t)\geq1-\alpha\}$と置く。分布関数の右連続性と両端極限§E11.3 命題 2.2により、$c$は有限であり、

である。$P_{\theta_0}(T=c)>0$ならば

とし、分母が零ならば$\gamma=0$とする。いずれの場合も帰無期待値は$\alpha$である。$t\mapsto\mathbf1_{\{t>c\}}+\gamma\mathbf1_{\{t=c\}}$は非減少なので、補題 1.3により、すべての$\theta\leq\theta_0$で$E_\theta\varphi^*\leq\alpha$である。

$\theta_1>\theta_0$を固定し、密度を$f_0,f_1$と書く。$A=\{\varphi^*>0\}$、$B=\{\varphi^*<1\}$と置くと、$\alpha>0$と$\alpha<1$により$P_{\theta_0}(A)>0$、$P_{\theta_0}(B)>0$である。$x\in B$と$y\in A$ならば$T(x)\leq T(y)$なので、単調尤度比の不等式から

が$P_{\theta_0}\otimes P_{\theta_0}$に関してほとんど至る所で成り立つ。したがって

である。ここで本質的上限と下限は$P_{\theta_0}$に関して取る。実際、左辺が右辺を超えれば、その間の実数$q$に対して$B\cap\{r>q\}$と$A\cap\{r<q\}$がともに正の確率をもち、積交差の不等式に反する。$r$は$P_{\theta_0}$-ほとんど確実に有限であり、$A$の確率は正なので、この二つの量の間に有限な$k\geq0$を取ることができる。

$x\in B\cap\{f_0=0\}$に対しても、$y\in A\cap\{f_0>0\}$との積交差の不等式を用いると、$f_1(x)f_0(y)\leq0$となる。 Fubini の定理と$P_{\theta_0}(A)>0$により、$f_1=0$が$B\cap\{f_0=0\}$上で$\nu$-ほとんど至る所で成り立つ。ゆえに$f_1>kf_0$では$\varphi^*=1$、$f_1<kf_0$では$\varphi^*=0$であり、§E14.15 定理 2.1の符号条件が成立する。同補題により、$E_{\theta_0}\varphi\leq\alpha$を満たす任意の検定$\varphi$に対して$E_{\theta_1}\varphi^*\geq E_{\theta_1}\varphi$である。検定$\varphi^*$は$\theta_1$に依存しないので、すべての片側対立について最強力である。複合帰無に対する水準$\alpha$の検定も$E_{\theta_0}\varphi\leq\alpha$を満たすため、結論を得る。▨

証明. 符号条件により

がほとんど至る所で成り立つ。この積は$|f_0|+\sum_j|k_j||f_j|$に支配されるため可積分である。積分して項を移すと

となる。最後の不等式は、等式制約の項が零であり、不等式制約の項の係数が非負であることによる。▨

証明.§E14.5 命題 5.7を有界関数$\varphi$と定数関数1に適用する。非正規化積分の商を微分し、$A'(\eta)=E_\eta T$を用いると、表示した微分公式を得る。必要な一次積率の絶対可積分性も同命題が与える。不偏検定については、$\eta\ne\eta_0$で$\beta_\varphi(\eta)\geq\alpha$である。$\eta_0$は$J$の内点なので、連続性から$\beta_\varphi(\eta_0)\geq\alpha$となり、水準条件から等号が成り立つ。ゆえに$\beta_\varphi$は$\eta_0$で極小値を取り、$\beta_\varphi'(\eta_0)=0$である。微分公式を用いれば第二制約を得る。▨

証明.$F$を$P$の分布関数とし、$0<v<1$に対して$Q(v)=\inf\{t:F(t)\geq v\}$と置く。§E11.3 命題 2.2により$Q(v)$は有限で非減少であり、$Q(v)\leq t$と$v\leq F(t)$は同値である。したがって一様分布に従う$V\in(0,1)$について$P(Q(V)\leq t)=F(t)$であり、§E11.3 定理 2.3により$Q(V)$の分布は$P$である。特に$Q\in L^1(0,1)$であり、$\int_0^1Q(v)\,dv=\int t\,dP(t)$である。

$m=1-\alpha$とし、$0\leq s\leq\alpha$に対して

と置く。$s_j\to s$ならば、積分区間の指示関数は端点以外で収束し、被積分関数は$|Q|$に支配される。優収束定理§E9.7 定理 3.2により$I$は連続である。また

非負の被積分関数の積分が零ならば、下側区間のほとんどすべての値と上側区間のほとんどすべての値が等しくなり、$Q$はほとんど至る所定数となる。これは$P$が一点に集中しないという仮定に反するので、不等号は厳密である。同じ理由で

中間値の定理により、ある$s\in(0,\alpha)$が$I(s)=m\int_0^1Q$を満たす。

$c_1=Q(s)$、$c_2=Q(s+m)$と置く。$s,s+m\in(0,1)$なので、両端点は有限である。$c_1<c_2$のとき、開区間$(c_1,c_2)$で$a=1$、閉区間$[c_1,c_2]$の外で$a=0$とする。$t=c_1,c_2$に原子があれば

とし、原子がなければ$a(t)=0$とする。ここで$|\cdot|$は区間の長さである。$c_1=c_2=c$のときは$Q(v)=c$が$s<v<s+m$で成り立つので、$P(\{c\})\geq m$である。この場合には$a(c)=m/P(\{c\})$、$t\ne c$で$a(t)=0$とする。

いずれの場合も、分位順位の区間$(s,s+m)$を$Q$で写した測度は$a(t)P(dt)$である。実際、$c_1<t<c_2$を満たす値の逆像はこの順位区間に含まれ、$t<c_1$または$t>c_2$の逆像は含まれない。原子$\{t\}$の逆像の長さは$F(t)-F(t-)$であり、区間との共通部分の長さが上の分子である。原子でない端点の逆像は長さ零である。よって全質量は$m$、一次積率は$I(s)=m\int t\,dP(t)$となる。▨

証明.$c_1<c_2$のとき、$L(t)=a+bt$を$(c_1,e^{\delta c_1})$と$(c_2,e^{\delta c_2})$を通る直線とする。関数$r(t)=e^{\delta t}$は$r''(t)=\delta^2e^{\delta t}>0$を満たす。そのため$r-L$は$[c_1,c_2]$上で非正であり、区間の外では非負である。後者は、$r'$が増加するため区間の外の割線の傾きが$[c_1,c_2]$の割線の傾きを同じ向きに比較することから従う。$c_1=c_2=c$の場合は、接線$L(t)=e^{\delta c}\{1+\delta(t-c)\}$を取れば$r-L\geq0$、$r(c)-L(c)=0$となる。いずれの場合も、定理 2.1を目的関数$e^{\delta t}$と制約関数$1,t$に適用することができる。一般の確率空間上では目的関数を$e^{\delta T}$、制約関数を$1,T$とする。同じ符号不等式が各標本点で成立するので、同補題が結論を与える。▨

証明.§E14.5 命題 5.7により$E_{\eta_0}|T|<\infty$である。$T$の帰無分布が一点に集中しない場合、補題 3.1の受容関数$a$に対して$\varphi^*=1-a(T)$と置くと、表示した形と二つの制約を得る。

任意の$\eta\in J\setminus\{\eta_0\}$を取り、$\delta=\eta-\eta_0$と置く。密度比は

であるから、$E_{\eta_0}e^{\delta T}<\infty$である。二つの制約を満たす任意の検定$\varphi$に補題 3.2を適用し、正の定数$e^{-A(\eta)+A(\eta_0)}$を掛けると

を得る。定数検定$\varphi=\alpha$も二つの制約を満たすので、$E_\eta\varphi^*\geq\alpha$である。したがって$\varphi^*$は不偏である。任意の不偏競合は補題 2.3により二つの制約を満たすため、$\varphi^*$は UMPU である。

$T=t_0$が$P_{\eta_0}$-ほとんど確実に成り立つ場合、密度比は定数であり、その期待値が1であることから、すべての$\eta\in J$で$P_\eta=P_{\eta_0}$となる。水準$\alpha$の検定の検出力は全母数で$\alpha$以下であるから、定数検定$\alpha$が結論を満たす。▨

証明. 十分性により、すべての帰無母数に共通な、$S$の終域で可測な関数$g$を取り、$g(S)=E_\theta[\varphi\mid S]$と書く。$g$を$[0,1]$へ切断しても各母数の条件付き期待値の版は変わらない。類似性を仮定すると、条件付き期待値の期待値保存により、すべての$\theta\in\Theta_0$で$E_\theta[g(S)-\alpha]=0$である。$g-\alpha$は有界なので、有界完備性から$g(S)=\alpha$が各$P_\theta$-ほとんど確実に成り立つ。逆に、この条件付き等式の期待値を取れば$E_\theta\varphi=\alpha$となり、類似性を得る。▨

証明.$\bar Y=T/n$とし、$Z=\sqrt n\bar Y/\sigma$、$B=\sum_i(Y_i-\bar Y)^2/\sigma^2$と置く。§E14.3 定理 4.1により、$Z\sim N(0,1)$と$B\sim\chi^2_{n-1}$は独立である。標準正規密度の対称性から、任意の Borel 集合$D\subseteq(0,\infty)$について

となる。したがって$\varepsilon=\operatorname{sign}Z$は$Z^2$と独立であり、$\varepsilon=1,-1$を等確率で取る。$Z$と$B$の独立性も用いると、$\varepsilon$は$(Z^2,B)$と独立である。

§E14.3 補題 2.1と§E14.3 定理 1.5により、

は独立である。さらに$\varepsilon$は$(R,V)$と独立であるから、$W=\varepsilon\sqrt R$は$U=\sigma^2V$と独立である。 Gamma 密度に変数変換$u=\sigma^2v$を施すと、$U$の表示した分布を得る。 Beta 密度と$r=w^2$、$dr=2|w|\,dw$を用い、各符号の確率$1/2$を掛けると、$W$の密度は表示した$q$になる。▨

証明.$Y_i=X_i-\mu_0$とすると、標本の密度は

と書くことができる。平方完成による正規化定数は

であり、任意の$\eta\in\R$と$\tau<0$で有限である。$\tau$を固定すると一径数指数型分布族であり、帰無母数は$\eta=0$である。補題 2.3により、不偏検定は全$\tau<0$で

を満たす。第二式では$E_{0,\tau}T=0$を用いた。

帰無密度は$\exp\{\tau U-A(0,\tau)\}$であるから、因子分解定理§E14.5 定理 3.1により$U$は帰無族に対して十分である。補題 5.1により、その分布族は固定 shape$n/2$と全正 rate をもつ Gamma 族である。この Gamma 族へ、§E14.10 定理 4.1を標本サイズ1、$t(u)=u$、$h(u)=u^{n/2-1}\mathbf1_{(0,\infty)}(u)$、$J=(-\infty,0)$として適用すると、$U$の完備性を得る。特に有界完備であるため、類似性と定理 4.2から第一の条件付き等式を得る。

また$|T\varphi|\leq|T|\leq\sqrt{nU}$であり、§E14.3 命題 1.3により、これはすべての帰無母数で可積分である。§E14.5 命題 3.3により、母数によらない有限値可測関数$b$を取り、$b(U)=E_{0,\tau}[T\varphi\mid U]$と書くことができる。条件付き期待値の絶対値評価から$E_{0,\tau}|b(U)|\leq E_{0,\tau}|T\varphi|<\infty$であり、期待値保存から$E_{0,\tau}b(U)=0$である。 Gamma 族の完備性を$b$に適用すると、第二の条件付き等式を得る。▨

証明.$Y_i=X_i-\mu_0$、$T=\sum_iY_i$、$U=\sum_iY_i^2$とし、自然母数$(\eta,\tau)\in\R\times(-\infty,0)$を補題 5.2の証明のように取る。この正規族の密度表示と因子分解定理§E14.5 定理 3.1により、$(T,U)$は十分統計量である。任意の検定$\varphi$は有界であるから、§E14.5 命題 3.3により、母数によらない Borel 関数$g$で

がすべての$(\eta,\tau)$についてほとんど確実に成り立つように取ることができる。従って$E_{\eta,\tau}g(T,U)=E_{\eta,\tau}\varphi$である。以下、基準測度を$Q=P_{0,-1/2}$とする。

補題 5.1の密度を$q$と書き、$u>0$に対して

と置く。帰無では$W=T/\sqrt{nU}$と$U$が独立なので、$q_u(t)\,dt$は$T$の$U=u$における条件付き分布を与える。すなわち、任意の非負 Borel 関数$b$に対して、積分公式

が成立する。独立な$(W,U)$に Tonelli の定理§E9.11 定理 2.3を適用し、内側で$t=\sqrt{nu}\,w$と変数変換すればこの等式を得る。特に$q_u$は$(-\sqrt{nu},\sqrt{nu})$に支持をもち、原点について対称である。

$M_u(\eta)=\int e^{\eta t}q_u(t)\,dt$と置くと、$0<M_u(\eta)<\infty$である。測度変更の補題§E14.5 補題 2.2により、対立母数を含む任意の$(\eta,\tau)$で

が$P_{\eta,\tau}$の$U$の分布についてほとんど至る所で成り立つ。実際、条件付き分子と分母に共通な正因子$\exp\{(\tau+1/2)u-A(\eta,\tau)+A(0,-1/2)\}$が相殺される。分子・分母の可測性は上の反復積分公式から従い、分母は正かつ有限である。したがって条件付き族は、各$u>0$で$q_u(t)\,dt$を基準とする自然母数空間$\R$の指数型分布族である。

密度$q$の対称性と正値性から、$\int_{|w|>k}q(w)\,dw=\alpha$を満たす$k\in(0,1)$が一意に存在する。$\psi_u^*(t)=\mathbf1_{\{|t|>k\sqrt{nu}\}}$と置くと

である。ゆえに定理 3.3により、この条件付き族において$\psi_u^*$は不偏であり、各$\eta\ne0$での検出力は、二つの制約を満たすすべての関数の検出力以上である。

競合$\varphi$を水準$\alpha$の不偏検定とする。補題 5.2と塔の性質により、帰無基準測度の下で

が$Q_U$-ほとんど至る所で成り立つ。第二式には、$T\varphi$の可積分性と$T$が$(T,U)$可測であることを用いる。全$P_{\eta,\tau}$は$Q$と同値なので、その$U$の分布も$Q_U$と同値である。したがって各対立母数で、ほとんどすべての$u$について

であり、$U$について積分すれば無条件の検出力の比較を得る。また条件付き族の不偏性から、$\psi_U^*(T)$自身の対立での検出力は$\alpha$以上であり、帰無でのサイズは$\alpha$である。

最後に、$U>0$かつ$S>0$となる確率1の集合上で

である。右辺の絶対値は$|W|\in[0,1)$に関して狭義増加である。§E14.3 定理 4.3と§E14.3 命題 2.4により、その帰無での両側確率$\alpha$の閾値は$q_{t_{n-1}}(1-\alpha/2)$である。従って$\psi_U^*(T)$は、零集合上を除いて主張の$\varphi^*$に等しく、UMPU である。▨