可測関数 | 測度と積分 | 天游ヶ丘数理学院

1 可測空間の間の写像

可測性の定義は、終域のシグマ加法族に属するすべての集合の逆像を検査する。

定義 1.1. $(X,\mathcal{F})$ と $(Y,\mathcal{G})$ を可測空間とし、 $f:X\to Y$ を写像とする。 $f$ が $\mathcal{F}/\mathcal{G}$ 可測 (F/G-measurable) であるとは、任意の $B\in\mathcal{G}$ に対して

f^{-1}(B)\in\mathcal{F}

が成り立つことをいう。シグマ加法族が文脈から一意に定まる場合には、単に $f$ が可測であるという。

逆像が合成と両立するため、可測写像の合成も可測である。

命題 1.2. $(X,\mathcal{F})$ 、 $(Y,\mathcal{G})$ 、 $(Z,\mathcal{H})$ を可測空間とする。 $f:X\to Y$ が $\mathcal{F}/\mathcal{G}$ 可測であり、 $g:Y\to Z$ が $\mathcal{G}/\mathcal{H}$ 可測であるならば、 $g\circ f:X\to Z$ は $\mathcal{F}/\mathcal{H}$ 可測である。

証明. 任意の $C\in\mathcal{H}$ をとる。 $g$ の可測性から $g^{-1}(C)\in\mathcal{G}$ であり、 $f$ の可測性から $f^{-1}(g^{-1}(C))\in\mathcal{F}$ である。逆像の定義により

(g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))

が成り立つ。したがって、 $g\circ f$ は $\mathcal{F}/\mathcal{H}$ 可測である。▨

命題 1.3. $(X,\mathcal F)$ と $(Y,\mathcal G)$ を可測空間とし、 $\mathcal H\subseteq\mathcal P(Y)$ が $\mathcal G=\sigma(\mathcal H)$ を満たすとする。写像 $f:X\to Y$ が可測であるための必要十分条件は、任意の $H\in\mathcal H$ に対して $f^{-1}(H)\in\mathcal F$ が成り立つことである。

証明. 必要性は $\mathcal H\subseteq\mathcal G$ と可測性の定義から従う。十分性を示す。

\mathcal D=\{B\subseteq Y\mid f^{-1}(B)\in\mathcal F\}

とおく。逆像は全体集合、補集合および可算和を保つので、 $\mathcal D$ は $Y$ 上のシグマ加法族である。仮定から $\mathcal H\subseteq\mathcal D$ であり、§E9.1 命題 2.1により $\mathcal G=\sigma(\mathcal H)\subseteq\mathcal D$ である。したがって、任意の $B\in\mathcal G$ に対して $f^{-1}(B)\in\mathcal F$ であり、 $f$ は可測である。▨

位相空間の間の連続写像は、Borel 集合族に関する可測写像を与える。

命題 1.4. $(X,\mathcal{O}_X)$ と $(Y,\mathcal{O}_Y)$ を位相空間とし、 $\mathcal{F}$ を $X$ 上のシグマ加法族で $\mathcal{B}(X)\subseteq\mathcal{F}$ を満たすものとする。写像 $f:X\to Y$ が連続であるならば、 $f:(X,\mathcal{F})\to(Y,\mathcal{B}(Y))$ は可測である。

証明. 任意の $U\in\mathcal O_Y$ に対して、連続性から $f^{-1}(U)\in\mathcal O_X\subseteq\mathcal B(X)\subseteq\mathcal F$ である。 $\mathcal B(Y)=\sigma(\mathcal O_Y)$ であるから、命題 1.3により $f$ は可測である。▨

2 実数値写像と拡張実数値写像

拡張実数直線を

\overline{\mathbb{R}}=[-\infty,\infty] =\mathbb{R}\cup\{-\infty,\infty\}

と書き、通常の順序を拡張した全順序を入れる。

定義 2.1. $\overline{\mathbb{R}}$ に全順序から定まる順序位相を入れる。その開集合族が生成するシグマ加法族を $\mathcal{B}(\overline{\mathbb{R}})$ と書く。 $f:X\to\overline{\mathbb{R}}$ が $\mathcal{F}/\mathcal{B}(\overline{\mathbb{R}})$ 可測であるとき、 $f$ を拡張実数値可測関数 (extended-real-valued measurable function) という。

拡張実数直線の Borel 集合族も、有限な端点をもつ左半直線から生成される。

命題 2.2. 拡張実数直線に順序位相を入れ、

\mathcal{H}_{\mathrm{ext}} =\{\,[-\infty,a]\mid a\in\mathbb{R}\,\}

とおく。このとき、

\mathcal{B}(\overline{\mathbb{R}}) =\sigma(\mathcal{H}_{\mathrm{ext}})

が成り立つ。

証明. 各 $[-\infty,a]$ は順序位相で閉集合である。したがって、

\sigma(\mathcal{H}_{\mathrm{ext}}) \subseteq\mathcal{B}(\overline{\mathbb{R}})

である。

次の集合族を考える。

\begin{aligned} \mathcal{C} ={}&\{\,(p,q)\mid p,q\in\mathbb{Q},\ p<q\,\}\\ &{}\cup\{\,[-\infty,q)\mid q\in\mathbb{Q}\,\} \cup\{\, (p,\infty]\mid p\in\mathbb{Q}\,\}. \end{aligned}

$\mathbb{Q}$ が可算であることから、 $\mathcal{C}$ は可算である。 $\mathcal{C}$ が $\overline{\mathbb{R}}$ の順序位相の基底であることを確認する。 $U$ を順序位相の開集合とし、 $x\in U\cap\mathbb{R}$ とする。順序位相の定義から、実数 $\alpha<x<\beta$ で $(\alpha,\beta)\subseteq U$ を満たすものが存在する。 $\mathbb{Q}$ の稠密性により、

\alpha<p<x<q<\beta

を満たす $p,q\in\mathbb{Q}$ が存在する。したがって、 $x\in(p,q)\subseteq U$ である。 $-\infty\in U$ ならば、ある $\beta\in\mathbb{R}$ が存在して $[-\infty,\beta)\subseteq U$ が成り立つ。 $q<\beta$ を満たす $q\in\mathbb{Q}$ を選べば、 $-\infty\in[-\infty,q)\subseteq U$ である。 $\infty\in U$ の場合には、ある $\alpha\in\mathbb{R}$ が存在して $(\alpha,\infty]\subseteq U$ が成り立つ。 $p>\alpha$ を満たす $p\in\mathbb{Q}$ を選べば、 $\infty\in(p,\infty]\subseteq U$ である。以上により、 $\mathcal{C}$ は可算基である。

任意の $q\in\mathbb{Q}$ に対して、

[-\infty,q) =\bigcup_{\substack{r\in\mathbb{Q}\\r<q}}[-\infty,r] \in\sigma(\mathcal{H}_{\mathrm{ext}})

である。任意の $p\in\mathbb{Q}$ に対して、

(p,\infty] =\overline{\mathbb{R}}\setminus[-\infty,p] \in\sigma(\mathcal{H}_{\mathrm{ext}})

である。さらに、 $p<q$ ならば、

(p,q)=[-\infty,q)\setminus[-\infty,p] \in\sigma(\mathcal{H}_{\mathrm{ext}})

である。したがって、 $\mathcal{C}\subseteq\sigma(\mathcal{H}_{\mathrm{ext}})$ である。

任意の順序位相の開集合は、可算集合族 $\mathcal{C}$ の部分族の和集合である。この和集合は高々可算個の和集合であるから、すべての開集合が $\sigma(\mathcal{H}_{\mathrm{ext}})$ に属する。開集合族が生成するシグマ加法族の最小性から、

\mathcal{B}(\overline{\mathbb{R}}) \subseteq\sigma(\mathcal{H}_{\mathrm{ext}})

を得る。二つの包含により、主張が従う。▨

半直線生成を用いると、終域のすべての Borel 集合を個別に検査する必要がなくなる。

命題 2.3. $(X,\mathcal{F})$ を可測空間とし、 $f:X\to\mathbb{R}$ または $f:X\to\overline{\mathbb{R}}$ とする。値域には対応する Borel 集合族を入れる。次の条件は互いに同値であり、いずれも $f$ が可測であることと同値である。

任意の $a\in\mathbb{R}$ に対して $\{x\in X\mid f(x)>a\}\in\mathcal{F}$ である。
任意の $a\in\mathbb{R}$ に対して $\{x\in X\mid f(x)\geq a\}\in\mathcal{F}$ である。
任意の $a\in\mathbb{R}$ に対して $\{x\in X\mid f(x)<a\}\in\mathcal{F}$ である。
任意の $a\in\mathbb{R}$ に対して $\{x\in X\mid f(x)\leq a\}\in\mathcal{F}$ である。

証明. 最初に $f:X\to\overline{\mathbb{R}}$ とする。 $f$ が可測ならば、四種類の半直線が $\mathcal{B}(\overline{\mathbb{R}})$ に属するので、(1)、(2)、(3)、および(4)が成り立つ。

(1)を仮定する。任意の $a\in\mathbb{R}$ に対して、

f^{-1}([-\infty,a]) =X\setminus\{x\in X\mid f(x)>a\}\in\mathcal{F}

である。命題 2.2と命題 1.3により、 $f$ は可測である。

四条件の間の同値性は、任意の $a\in\mathbb{R}$ に対する次の集合等式から従う。

\begin{aligned} \{f\geq a\} &=\bigcap_{n=1}^{\infty}\{f>a-1/n\},\\ \{f<a\} &=X\setminus\{f\geq a\},\\ \{f\leq a\} &=\bigcap_{n=1}^{\infty}\{f<a+1/n\},\\ \{f>a\} &=X\setminus\{f\leq a\}. \end{aligned}

ここで、例えば $\{f\geq a\}$ は $\{x\in X\mid f(x)\geq a\}$ の略記である。シグマ加法族は可算共通部分と差集合に対して閉じているため、(1) $\Rightarrow$ (2)、(2) $\Rightarrow$ (3)、(3) $\Rightarrow$ (4)、(4) $\Rightarrow$ (1)が順に従う。

$f:X\to\mathbb{R}$ の場合には、§E9.1 命題 3.3が

\mathcal{B}(\mathbb{R}) =\sigma(\{\,(-\infty,a]\mid a\in\mathbb{R}\,\})

を与える。拡張実数値の場合と同じ逆像の議論および同じ集合等式により、実数値の場合の同値性も従う。▨

可測集合の指示関数は、半直線判定を直接適用する例である。

例 2.4 (可測集合の指示関数). $(X,\mathcal{F})$ を可測空間とし、 $A\in\mathcal{F}$ とする。指示関数

\mathbf{1}_A(x) = \begin{cases} 1,&x\in A,\\ 0,&x\in X\setminus A \end{cases}

は実数値可測関数である。実際、任意の $a\in\mathbb{R}$ に対して、

\{x\in X\mid\mathbf{1}_A(x)>a\} = \begin{cases} X,&a<0,\\ A,&0\leq a<1,\\ \emptyset,&a\geq1 \end{cases}

であり、右辺の各集合は $\mathcal{F}$ に属する。

3 有限実数値可測関数の代数演算

拡張実数上では $\infty-\infty$ や $0\cdot\infty$ が定義されないため、通常の代数演算に関する次の主張は有限実数値関数に限定する。

命題 3.1. $(X,\mathcal{F})$ を可測空間とし、 $f,g:X\to\mathbb{R}$ を可測関数とする。任意の $c\in\mathbb{R}$ に対して $cf$ は可測である。また、 $f+g$ 、 $f-g$ 、 $fg$ 、 $\max\{f,g\}$ 、 $\min\{f,g\}$ 、および $|f|$ は実数値可測関数である。

証明. 写像 $t\mapsto ct$ 、 $t\mapsto t^2$ および $t\mapsto|t|$ は $\R$ 上で連続である。命題 1.4と命題 1.2により、 $cf$ 、 $f^2$ および $|f|$ は可測である。

任意の $a\in\mathbb{R}$ に対して、 $\mathbb{Q}$ の稠密性から

\{f+g>a\} =\bigcup_{q\in\mathbb{Q}}\bigl(\{f>q\}\cap\{g>a-q\}\bigr)

が成り立つ。実際、 $f(x)+g(x)>a$ ならば $a-g(x)<q<f(x)$ を満たす $q\in\mathbb{Q}$ が存在する。逆に、 $f(x)>q$ かつ $g(x)>a-q$ ならば $f(x)+g(x)>a$ である。右辺は可測集合の可算和であるから、命題 2.3により $f+g$ は可測である。スカラー倍と加法に関する閉性から、 $f-g=f+(-g)$ も可測である。恒等式

fg=\frac12\bigl((f+g)^2-f^2-g^2\bigr)

と平方、加法、減法およびスカラー倍に関する閉性から、 $fg$ は可測である。

任意の $a\in\mathbb{R}$ に対して、

\begin{aligned} \{\max\{f,g\}>a\}&=\{f>a\}\cup\{g>a\},\\ \{\min\{f,g\}<a\}&=\{f<a\}\cup\{g<a\} \end{aligned}

であるから、命題 2.3により $\max\{f,g\}$ と $\min\{f,g\}$ は可測である。▨

4 可算上限・可算下限・点ごとの極限

拡張実数直線が正負の無限大を含むため、任意の拡張実数列は上限、下限、上極限、および下極限を拡張実数としてもつ。

定理 4.1. $(X,\mathcal{F})$ を可測空間とし、各正の整数 $n$ に対して $f_n:X\to\overline{\mathbb{R}}$ を可測関数とする。このとき、点ごとに定めた

\sup_{n\geq1}f_n,\qquad \inf_{n\geq1}f_n,\qquad \limsup_{n\to\infty}f_n,\qquad \liminf_{n\to\infty}f_n

は拡張実数値可測関数である。さらに、各 $x\in X$ において $\lim_{n\to\infty}f_n(x)$ が拡張実数として存在するならば、点ごとの極限

f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)

によって定まる $f:X\to\overline{\mathbb{R}}$ は可測である。

証明.

S(x)=\sup_{n\geq1}f_n(x),\qquad I(x)=\inf_{n\geq1}f_n(x)

とおく。任意の $a\in\mathbb{R}$ に対して、

\{S>a\}=\bigcup_{n=1}^{\infty}\{f_n>a\}

が成り立つ。実際、ある $n$ が存在して $f_n(x)>a$ ならば $S(x)>a$ である。逆に、すべての $n$ に対して $f_n(x)\leq a$ ならば $S(x)\leq a$ である。右辺は可測集合の可算和であるから、 $S$ は可測である。

同じく、任意の $a\in\mathbb{R}$ に対して、

\{I<a\}=\bigcup_{n=1}^{\infty}\{f_n<a\}

が成り立つ。実際、ある $n$ が存在して $f_n(x)<a$ ならば $I(x)<a$ である。逆に、すべての $n$ に対して $f_n(x)\geq a$ ならば $I(x)\geq a$ である。半直線判定から、 $I$ も可測である。

各正の整数 $m$ に対して、

S_m(x)=\sup_{n\geq m}f_n(x),\qquad I_m(x)=\inf_{n\geq m}f_n(x)

とおく。前二段落を各末尾列へ適用すると、すべての $S_m$ と $I_m$ は可測である。拡張実数列の上極限と下極限の定義により、

\limsup_{n\to\infty}f_n=\inf_{m\geq1}S_m,\qquad \liminf_{n\to\infty}f_n=\sup_{m\geq1}I_m

が点ごとに成り立つ。前二段落の可算下限と可算上限に関する結論を適用すると、 $\limsup_n f_n$ と $\liminf_n f_n$ は可測である。

各点で拡張実数としての極限が存在する場合には、

f=\limsup_{n\to\infty}f_n=\liminf_{n\to\infty}f_n

が点ごとに成り立つ。したがって、 $f$ は可測である。▨

例 4.2. $[0,1]$ に通常の相対位相と Borel 集合族を入れ、各 $n\in\NN$ に対して $f_n:[0,1]\to\R$ を $f_n(x)=x^n$ と定める。各 $f_n$ は連続であるから、命題 1.4により可測である。また、

\lim_{n\to\infty}f_n(x) = \begin{cases} 0,&0\leq x<1,\\ 1,&x=1 \end{cases} =\mathbf{1}_{\{1\}}(x)

である。点ごとの極限は定理 4.1により可測である。また、 $\{1\}$ は $[0,1]$ の閉集合であるから、例 2.4からも可測性を確認することができる。一方、開区間 $(1/2,3/2)$ の逆像 $\{1\}$ は $[0,1]$ の相対位相で開集合ではない。したがって、極限関数は $1$ で連続でない。

5 単関数と増加近似

単関数は有限個の実数だけを値としてとる可測関数であり、値がすべて非負である場合を区別して非負単関数という。

定義 5.1. $(X,\mathcal{F})$ を可測空間とする。実数値可測関数 $\varphi:X\to\mathbb{R}$ の像 $\varphi(X)$ が有限集合であるとき、 $\varphi$ を単関数 (simple function) という。さらに、すべての $x\in X$ に対して $\varphi(x)\geq0$ が成り立つ単関数を非負単関数 (nonnegative simple function) という。

単関数は、可測集合の有限分割における指示関数の線形結合として表される。

命題 5.2. $(X,\mathcal{F})$ を可測空間とする。単関数 $\varphi$ の相異なる値を $c_1,\dots,c_k$ とし、 $A_i=\varphi^{-1}(\{c_i\})$ とおく。このとき、各 $A_i$ は可測であり、 $A_1,\dots,A_k$ は $X$ の互いに交わらない分割であり、

\varphi=\sum_{i=1}^{k}c_i\mathbf{1}_{A_i}

が成り立つ。

逆に、 $A_1,\dots,A_k\in\mathcal{F}$ が $X$ の互いに交わらない分割であり、 $c_1,\dots,c_k\in\mathbb{R}$ であるならば、上の式で定まる $\varphi$ は単関数である。 $c_1,\dots,c_k\geq0$ ならば、 $\varphi$ は非負単関数である。

証明. 各一元集合 $\{c_i\}$ は $\mathbb{R}$ の Borel 集合であり、 $\varphi$ は可測であるから、 $A_i\in\mathcal{F}$ である。値の逆像の定義から $A_1,\dots,A_k$ は互いに交わらず、その和集合は $X$ である。 $x\in A_i$ ならば、右辺の値は $c_i=\varphi(x)$ であるから、表示式が点ごとに成り立つ。

逆向きでは、任意の Borel 集合 $B\subseteq\mathbb{R}$ に対して、

\varphi^{-1}(B)=\bigcup_{\{i\mid c_i\in B\}}A_i

である。右辺は有限個の可測集合の和集合であるから可測である。また、 $\varphi$ の像は $\{c_1,\dots,c_k\}$ の部分集合であるから有限である。したがって、 $\varphi$ は単関数である。 $c_1,\dots,c_k\geq0$ ならば、表示式から $\varphi(x)\geq0$ がすべての $x\in X$ について成り立つので、 $\varphi$ は非負単関数である。▨

任意の非負拡張実数値可測関数に対して、値を二進格子上で下から近似し、値が $n$ 以上の部分では $n$ 番目の近似値を $n$ とする。

定理 5.3. $(X,\mathcal{F})$ を可測空間とし、 $f:X\to[0,\infty]$ を拡張実数値可測関数とする。このとき、非負単関数の列 $(\varphi_n)_{n\geq1}$ が存在し、任意の $x\in X$ に対して

0\leq\varphi_n(x)\leq\varphi_{n+1}(x)\leq f(x)

がすべての正の整数 $n$ について成り立つ。さらに、

\lim_{n\to\infty}\varphi_n(x)=f(x)

が任意の $x\in X$ について拡張実数の意味で成り立つ。

証明. 各正の整数 $n$ に対して、

\varphi_n(x)= \begin{cases} \dfrac{k}{2^n}, &\dfrac{k}{2^n}\leq f(x)<\dfrac{k+1}{2^n} \quad(0\leq k<n2^n),\\[6pt] n,&f(x)\geq n \end{cases}

と定める。第一の場合の整数 $k$ は一意に定まる。

$0\leq k<n2^n$ に対して、

A_{n,k} =\left\{x\in X\ \middle|\ \frac{k}{2^n}\leq f(x)<\frac{k+1}{2^n}\right\}

とおき、

A_{n,n2^n}=\{x\in X\mid f(x)\geq n\}

とおく。命題 2.3により、各 $A_{n,k}$ は可測である。

\varphi_n =\sum_{k=0}^{n2^n}\frac{k}{2^n}\mathbf{1}_{A_{n,k}}

である。例 2.4と命題 3.1により、 $\varphi_n$ は可測である。その値域は有限集合 $\{k/2^n\mid 0\leq k\leq n2^n\}$ に含まれ、各係数は非負である。したがって、 $\varphi_n$ は非負単関数である。定義から $0\leq\varphi_n(x)\leq f(x)$ が任意の $x\in X$ について成り立つ。

$t=f(x)$ とし、 $\min\{\infty,n\}=n$ と約束する。上の定義は

\varphi_n(x) =2^{-n}\left\lfloor 2^n\min\{t,n\}\right\rfloor

と書くことができる。任意の実数 $u$ に対して $\lfloor2u\rfloor\geq2\lfloor u\rfloor$ が成り立つ。 $t\leq n$ ならば、

\begin{aligned} \varphi_{n+1}(x) &=2^{-(n+1)}\lfloor2^{n+1}t\rfloor\\ &\geq2^{-(n+1)}\,2\lfloor2^nt\rfloor =\varphi_n(x). \end{aligned}

$t>n$ の場合には $\varphi_n(x)=n$ である。また、 $\min\{t,n+1\}\geq n$ であるから、

\varphi_{n+1}(x) =2^{-(n+1)} \left\lfloor2^{n+1}\min\{t,n+1\}\right\rfloor \geq n=\varphi_n(x)

である。したがって、 $(\varphi_n(x))_{n\geq1}$ は任意の $x$ について広義単調増加である。

$t<\infty$ ならば、 $n>t$ を満たすすべての正の整数 $n$ に対して

0\leq t-\varphi_n(x)<2^{-n}

が成り立つ。したがって、 $\varphi_n(x)\to t=f(x)$ である。 $t=\infty$ ならば、すべての正の整数 $n$ に対して $\varphi_n(x)=n$ であるから、 $\varphi_n(x)\to\infty=f(x)$ である。以上により、点ごとの収束が従う。▨

6 複素数値写像

複素数全体 $\mathbb{C}$ を $\mathbb{R}^2$ と同一視し、Euclid 位相から定まる Borel 集合族 $\mathcal{B}(\mathbb{C})$ を入れる。

定理 6.1. $(X,\mathcal{F})$ を可測空間とし、 $f:X\to\mathbb{C}$ を写像とする。次の二条件は同値である。

$f:(X,\mathcal{F})\to(\mathbb{C},\mathcal{B}(\mathbb{C}))$ は可測である。
$\operatorname{Re}f:X\to\mathbb{R}$ と $\operatorname{Im}f:X\to\mathbb{R}$ は可測である。

証明.(1) $\Rightarrow$ (2)を示す。(1)を仮定する。座標写像

\operatorname{Re}:\mathbb{C}\to\mathbb{R}, \qquad \operatorname{Im}:\mathbb{C}\to\mathbb{R}

は Euclid 位相について連続である。命題 1.4により、両座標写像は Borel 集合族に関して可測である。命題 1.2を $f$ と各座標写像に適用すると、 $\operatorname{Re}f$ と $\operatorname{Im}f$ は可測である。

(2) $\Rightarrow$ (1)を示す。(2)を仮定する。有理数 $a<b$ および $c<d$ に対する開長方形

R(a,b;c,d) =\{\,z\in\mathbb{C}\mid a<\operatorname{Re}z<b,\ c<\operatorname{Im}z<d\,\}

全体の集合族を $\mathcal{R}_{\mathbb{Q}}$ とする。 $\mathbb{Q}^4$ が可算であるから、 $\mathcal{R}_{\mathbb{Q}}$ は可算である。

$U\subseteq\mathbb{C}$ を開集合とし、 $z=x+iy\in U$ とする。ある $\varepsilon>0$ が存在して、中心 $z$ 、半径 $\varepsilon$ の開円板が $U$ に含まれる。 $\mathbb{Q}$ の稠密性により、

x-\frac{\varepsilon}{\sqrt{2}}<a<x<b<x+\frac{\varepsilon}{\sqrt{2}}, \qquad y-\frac{\varepsilon}{\sqrt{2}}<c<y<d<y+\frac{\varepsilon}{\sqrt{2}}

を満たす有理数 $a,b,c,d$ が存在する。このとき、 $z\in R(a,b;c,d)$ であり、 $R(a,b;c,d)$ は上の開円板に含まれる。したがって、 $\mathcal{R}_{\mathbb{Q}}$ は $\mathbb{C}$ の Euclid 位相の可算基である。

各 $R(a,b;c,d)\in\mathcal{R}_{\mathbb{Q}}$ に対して、

f^{-1}(R(a,b;c,d)) =\{a<\operatorname{Re}f<b\}\cap\{c<\operatorname{Im}f<d\} \in\mathcal{F}

である。ここで、右辺の可測性には(2)と実数の開区間が Borel 集合であることを用いた。

任意の開集合 $U\subseteq\mathbb{C}$ は、 $U$ に含まれる $\mathcal R_{\Q}$ の元全体の和集合である。 $\mathcal R_{\Q}$ は可算であり、その各元は開集合であるから、

\mathcal B(\C)=\sigma(\mathcal R_{\Q})

である。命題 1.3により、 $f$ は可測である。▨

7 演習

問題 7.1. $X=\{0,1\}$ 、 $\mathcal{F}=\{\emptyset,X\}$ 、 $\mathcal{G}=\mathcal{P}(X)$ とする。同じ恒等写像について、

\operatorname{id}_X:(X,\mathcal{F})\to(X,\mathcal{G})

は可測でなく、

\operatorname{id}_X:(X,\mathcal{G})\to(X,\mathcal{F})

は可測であることを示せ。

解答.

第一の恒等写像について、 $\{0\}\in\mathcal{G}$ であるが、

\operatorname{id}_X^{-1}(\{0\})=\{0\}\notin\mathcal{F}

であるから、この写像は可測でない。第二の恒等写像の終域の可測集合は $\emptyset$ と $X$ だけであり、それぞれの逆像は $\emptyset$ と $X$ である。どちらも $\mathcal{G}$ に属するので、第二の恒等写像は可測である。▨

§E9.5可測関数