L^p 空間 | 測度と積分 | 天游ヶ丘数理学院

1 ほとんど至る所での同一視

スカラー体を $\mathbb{K}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$ とする。測度空間 $(X,\mathcal{F},\mu)$ 上の有限値 $\mathbb{K}$ 値可測関数全体を

\mathcal{M}_{\mathbb{K}}(X) =\{\,f:X\to\mathbb{K}\mid f\text{ は可測である}\,\}

と書く。有限値という条件は、関数が正または負の無限大を値としてとらないことを意味する。

定義 1.1. $(X,\mathcal{F},\mu)$ を測度空間とし、 $f,g\in\mathcal{M}_{\mathbb{K}}(X)$ とする。関係 $\sim_\mu$ を

f\sim_\mu g \quad\Longleftrightarrow\quad \text{ある }Z\in\mathcal{F}\text{ が存在し、 } \mu(Z)=0\text{ かつ } \forall x\in X\setminus Z,\ f(x)=g(x)

によって定める。

この定義は、ほとんど至る所で成り立つ性質§E9.2 定義 3.2を二つの関数の等式へ適用したものである。

命題 1.2. 任意の測度空間 $(X,\mathcal{F},\mu)$ と $\mathbb{K}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$ に対して、定義 1.1の関係 $\sim_\mu$ は $\mathcal{M}_{\mathbb{K}}(X)$ 上の同値関係である。

証明. 反射律を示す。任意の $f\in\mathcal{M}_{\mathbb{K}}(X)$ に対して、例外集合を $Z=\emptyset$ とすれば、 $\mu(Z)=0$ であり、すべての $x\in X\setminus Z$ に対して $f(x)=f(x)$ である。したがって、 $f\sim_\mu f$ である。

対称律を示す。 $f\sim_\mu g$ とする。ある可測零集合 $Z$ が存在して、 $X\setminus Z$ 上で $f=g$ が成り立つ。等号の対称律により同じ集合上で $g=f$ が成り立つため、 $g\sim_\mu f$ である。

推移律を示す。 $f\sim_\mu g$ かつ $g\sim_\mu h$ とする。可測零集合 $Z$ と $W$ を、 $X\setminus Z$ 上で $f=g$ が成り立ち、 $X\setminus W$ 上で $g=h$ が成り立つように選ぶ。 $Z\cup W\in\mathcal{F}$ であり、測度の可算劣加法性§E9.2 命題 2.1により

\mu(Z\cup W)\leq\mu(Z)+\mu(W)=0

である。したがって、 $Z\cup W$ は可測零集合である。任意の $x\in X\setminus(Z\cup W)$ に対して $f(x)=g(x)=h(x)$ であるから、 $f\sim_\mu h$ が成り立つ。以上により、反射律、対称律、および推移律がすべて成り立つ。▨

商集合上に演算を定める前に、可測関数全体が点ごとの演算について閉じていることを確認する。実数値の場合は§E9.5 命題 3.1が閉性を与える。複素数値の場合は、§E9.5 定理 6.1と実部および虚部の公式を用いる。

命題 1.3. 任意の測度空間 $(X,\mathcal{F},\mu)$ と $\mathbb{K}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$ に対して、商集合

\mathcal{M}_{\mathbb{K}}(X)/{\sim_\mu}

上の加法とスカラー倍を

[f]+[g]=[f+g], \qquad \alpha[f]=[\alpha f] \quad \bigl(f,g\in\mathcal{M}_{\mathbb{K}}(X),\ \alpha\in\mathbb{K}\bigr)

によって定めることができる。これらの演算は代表元に依存せず、 $\mathcal{M}_{\mathbb{K}}(X)/{\sim_\mu}$ を $\mathbb{K}$ 上のベクトル空間にする。

証明. 最初に、点ごとの演算が有限値可測関数を与えることを示す。 $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ の場合には、§E9.5 命題 3.1により $f+g$ と $\alpha f$ は可測である。 $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ の場合には、

\operatorname{Re}(f+g)=\operatorname{Re}f+\operatorname{Re}g, \qquad \operatorname{Im}(f+g)=\operatorname{Im}f+\operatorname{Im}g

が成り立つ。さらに、 $\alpha=a+ib$ および $f=u+iv$ と書けば、

\operatorname{Re}(\alpha f)=au-bv, \qquad \operatorname{Im}(\alpha f)=av+bu

である。実数値可測関数の代数演算に関する閉性と§E9.5 定理 6.1により、 $f+g$ と $\alpha f$ は複素数値可測関数である。したがって、どちらのスカラー体についても、表示式の右辺は $\mathcal{M}_{\mathbb{K}}(X)$ の元である。

次に、加法が代表元に依存しないことを示す。 $f\sim_\mu f'$ かつ $g\sim_\mu g'$ とする。可測零集合 $Z$ と $W$ を、それぞれの等式の例外集合として選ぶ。前命題の証明と同じ可算劣加法性により $Z\cup W$ は可測零集合であり、 $X\setminus(Z\cup W)$ 上では

f+g=f'+g'

が成り立つ。したがって、 $f+g\sim_\mu f'+g'$ である。この代表元に関する不変性は、二変数写像の商集合上への降下条件§E1.3 命題 4.4を満たすことを意味するため、 $[f]+[g]=[f+g]$ は代表元に依存しない。

スカラー倍について、 $f\sim_\mu f'$ とする。ある可測零集合 $Z$ の外で $f=f'$ が成り立つため、同じ集合の外で $\alpha f=\alpha f'$ が成り立つ。したがって、 $\alpha f\sim_\mu\alpha f'$ であり、商集合上への降下条件§E1.3 定理 4.1によりスカラー倍も代表元に依存しない。

最後に、ベクトル空間の八つの公理§D3.6 定義 1.1を確認する。 $[f],[g],[h]$ を商集合の任意の元とし、 $\alpha,\beta\in\mathbb{K}$ とする。点ごとの関数演算が満たす結合法則、交換法則、および分配法則から、

\begin{aligned} ([f]+[g])+[h]&=[(f+g)+h]=[f+(g+h)]=[f]+([g]+[h]),\\ [f]+[g]&=[f+g]=[g+f]=[g]+[f],\\ [f]+[0]&=[f+0]=[f],\\ [f]+[-f]&=[f-f]=[0],\\ \alpha([f]+[g])&=[\alpha(f+g)]=[\alpha f+\alpha g] =\alpha[f]+\alpha[g],\\ (\alpha+\beta)[f]&=[(\alpha+\beta)f]=[\alpha f+\beta f] =\alpha[f]+\beta[f],\\ (\alpha\beta)[f]&=[(\alpha\beta)f]=[\alpha(\beta f)] =\alpha(\beta[f]),\\ 1[f]&=[1f]=[f] \end{aligned}

が成り立つ。したがって、零ベクトルは $[0]$ であり、 $[f]$ の加法逆元は $[-f]$ である。八つの公理がすべて成り立つため、商集合は $\mathbb{K}$ 上のベクトル空間である。▨

2 本質的上限と $L^p$ の定義

$p=\infty$ の場合には、点ごとの上限ではなく、零集合上の値を無視した上限を用いる。

定義 2.1. $(X,\mathcal{F},\mu)$ を測度空間とし、 $f\in\mathcal{M}_{\mathbb{K}}(X)$ とする。集合

\mathcal{U}_f =\{\,M\in[0,\infty)\mid |f|\leq M \text{ が }\mu\text{ に関してほとんど至る所で成り立つ}\,\}

を用いて、

\operatorname*{ess\,sup}_{x\in X}|f(x)| =\inf\mathcal{U}_f\in[0,\infty]

と定める。ただし、 $\mathcal{U}_f=\emptyset$ の場合には $\inf\mathcal{U}_f=\infty$ と定める。この値が有限であるとき、 $f$ は本質的に有界 (essentially bounded) であるという。

本質的上限が有限である場合には、本質的上限そのものが、ほとんど至る所での上界になる。この事実は、後の端点の証明で必要となる。

補題 2.2. 任意の測度空間 $(X,\mathcal{F},\mu)$ と $f\in\mathcal{M}_{\mathbb{K}}(X)$ に対して、

A=\operatorname*{ess\,sup}_{x\in X}|f(x)|<\infty

ならば、 $|f|\leq A$ が $\mu$ に関してほとんど至る所で成り立つ。また、 $M\in[0,\infty)$ について $|f|\leq M$ がほとんど至る所で成り立つならば、 $A\leq M$ である。

証明. $A<\infty$ ならば、 $\mathcal{U}_f$ は空でない。各正の整数 $n$ に対して、下限の定義により、 $M<A+1/n$ を満たす $M\in\mathcal{U}_f$ が存在する。 $\mathcal{U}_f$ は上方に閉じているため、 $A+1/n\in\mathcal{U}_f$ である。実際、 $M\in\mathcal{U}_f$ かつ $L\geq M$ ならば、 $|f|\leq M$ が成り立つ例外集合と同じ集合の外で $|f|\leq L$ が成り立つため、 $L\in\mathcal{U}_f$ である。ここで、

Z_n=\left\{x\in X\ \middle|\ |f(x)|>A+\frac{1}{n}\right\}

と定める。絶対値の可測性と半直線による可測性の判定§E9.5 命題 2.3により $Z_n\in\mathcal{F}$ である。また、 $A+1/n\in\mathcal{U}_f$ であるから、 $Z_n$ は可測零集合に含まれる。測度の単調性により $\mu(Z_n)=0$ である。可算劣加法性により

Z=\bigcup_{n=1}^{\infty}Z_n

は可測零集合である。任意の $x\in X\setminus Z$ に対して、すべての正の整数 $n$ について

|f(x)|\leq A+\frac{1}{n}

である。したがって、 $|f(x)|\leq A$ である。よって、 $|f|\leq A$ がほとんど至る所で成り立つ。

$|f|\leq M$ がほとんど至る所で成り立つならば、 $M\in\mathcal{U}_f$ である。下限の定義から $A=\inf\mathcal{U}_f\leq M$ が従う。▨

ここで、すべての指数に対する $L^p$ 空間と、後にノルムであることを証明する量を定める。

定義 2.3. $(X,\mathcal{F},\mu)$ を任意の測度空間とし、 $\mathbb{K}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$ とする。

$1\leq p<\infty$ に対して、

L^p(X,\mathcal{F},\mu;\mathbb{K}) =\left\{\,[f]\in\mathcal{M}_{\mathbb{K}}(X)/{\sim_\mu} \ \middle|\ \int_X|f|^p\,d\mu<\infty\,\right\}

と定め、

\|[f]\|_p =\left(\int_X|f|^p\,d\mu\right)^{1/p}

と定める。

$p=\infty$ に対して、

L^\infty(X,\mathcal{F},\mu;\mathbb{K}) =\left\{\,[f]\in\mathcal{M}_{\mathbb{K}}(X)/{\sim_\mu} \ \middle|\ \operatorname*{ess\,sup}_{x\in X}|f(x)|<\infty\,\right\}

と定め、

\|[f]\|_\infty =\operatorname*{ess\,sup}_{x\in X}|f(x)|

と定める。測度空間とスカラー体が文脈から一意に定まる場合には、 $L^p(\mu)$ または $L^p$ と略記する。

定義に現れる所属条件と量が同値類の代表元に依存しないことを確認する。

命題 2.4. 任意の測度空間 $(X,\mathcal{F},\mu)$ 、任意の $\mathbb{K}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$ 、および任意の $1\leq p\leq\infty$ に対して、定義 2.3の所属条件と $\|[f]\|_p$ の値は、同値類 $[f]$ の代表元に依存しない。

証明. $f\sim_\mu g$ とする。 $1\leq p<\infty$ の場合には、 $|f|^p=|g|^p$ がほとんど至る所で成り立つ。絶対値写像と $t\mapsto t^p$ は連続であるため、可測写像の合成§E9.5 命題 1.2と連続写像の可測性§E9.5 命題 1.4により、 $|f|^p$ と $|g|^p$ は非負可測関数である。ほとんど至る所で等しい非負可測関数の積分値の不変性§E9.6 定理 4.2により、

\int_X|f|^p\,d\mu=\int_X|g|^p\,d\mu

である。したがって、積分の有限性とその $p$ 乗根は代表元に依存しない。

$p=\infty$ の場合を示す。 $M\in\mathcal{U}_f$ とする。ある可測零集合 $W$ の外で $|f|\leq M$ が成り立つ。また、ある可測零集合 $Z$ の外で $f=g$ が成り立つ。 $W\cup Z$ は可測零集合であり、その外で $|g|=|f|\leq M$ が成り立つため、 $M\in\mathcal{U}_g$ である。 $f$ と $g$ を入れ替えた同じ議論により $\mathcal{U}_f=\mathcal{U}_g$ である。したがって、本質的上限の有限性と値は代表元に依存しない。▨

3 積分と $L^p$ の基本補題

ノルムの正定値性には、非負可測関数の積分が零になる場合を正確に特徴づける必要がある。

補題 3.1. $(X,\mathcal{F},\mu)$ を測度空間とし、 $u:X\to[0,\infty]$ を非負可測関数とする。このとき、

\int_Xu\,d\mu=0

であることと、 $u=0$ が $\mu$ に関してほとんど至る所で成り立つことは同値である。

証明. 最初に $\int_Xu\,d\mu=0$ とする。各正の整数 $n$ に対して、

A_n=\left\{x\in X\ \middle|\ u(x)\geq\frac{1}{n}\right\}

とおく。半直線による可測性の判定§E9.5 命題 2.3により $A_n\in\mathcal{F}$ である。点ごとに

\frac{1}{n}\mathbf{1}_{A_n}\leq u

であるから、積分の単調性§E9.6 命題 2.2と単関数の積分の定義§E9.6 定義 1.1により、

0\leq\frac{1}{n}\mu(A_n) =\int_X\frac{1}{n}\mathbf{1}_{A_n}\,d\mu \leq\int_Xu\,d\mu=0

である。したがって、 $\mu(A_n)=0$ である。

集合

A=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n

は可測であり、可算劣加法性により $\mu(A)=0$ である。 $u(x)>0$ ならば、 $1/n\leq u(x)$ を満たす正の整数 $n$ が存在するため、 $x\in A$ である。逆に $x\in A$ ならば $u(x)>0$ である。したがって、 $A=\{u>0\}$ であり、 $X\setminus A$ 上で $u=0$ が成り立つ。

逆に、 $u=0$ がほとんど至る所で成り立つとする。定数関数 $0$ と $u$ はほとんど至る所で等しい。§E9.6 定理 4.2の非負可測関数に対する主張により、

\int_Xu\,d\mu=\int_X0\,d\mu=0

である。▨

点ごとの不等式が零集合上だけ破れる場合にも、積分の単調性を用いることができる。

補題 3.2. $(X,\mathcal{F},\mu)$ を測度空間とし、 $u,v:X\to[0,\infty]$ を非負可測関数とする。 $u\leq v$ が $\mu$ に関してほとんど至る所で成り立つならば、

\int_Xu\,d\mu\leq\int_Xv\,d\mu

が成り立つ。

証明. ある可測零集合 $Z$ が存在して、 $X\setminus Z$ 上で $u\leq v$ が成り立つ。

\widetilde{u}(x)= \begin{cases} u(x),&x\in X\setminus Z,\\ 0,&x\in Z \end{cases}

とおく。 $a<0$ に対して $\{\widetilde{u}>a\}=X$ であり、 $a\geq0$ に対して

\{\widetilde{u}>a\}=(X\setminus Z)\cap\{u>a\}

である。したがって、半直線による可測性の判定§E9.5 命題 2.3により、 $\widetilde{u}$ は非負可測関数である。 $\widetilde{u}=u$ がほとんど至る所で成り立つため、§E9.6 定理 4.2により両者の積分値は等しい。一方、 $X\setminus Z$ 上では仮定により $\widetilde{u}=u\leq v$ であり、 $Z$ 上では $\widetilde{u}=0\leq v$ である。したがって、点ごとに $\widetilde{u}\leq v$ である。§E9.6 命題 2.2を適用すると、

\int_Xu\,d\mu =\int_X\widetilde{u}\,d\mu \leq\int_Xv\,d\mu

を得る。▨

$L^p$ の和について Minkowski の不等式を証明する前に、和が $L^p$ に属することを独立に示す。そのために、次の粗いスカラー不等式を用いる。

補題 3.3. $\mathbb{K}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$ 、 $1\leq p<\infty$ 、および $a,b\in\mathbb{K}$ に対して、

|a+b|^p\leq 2^p\bigl(|a|^p+|b|^p\bigr)

が成り立つ。

証明. 三角不等式により

|a+b|\leq|a|+|b|\leq2\max\{|a|,|b|\}

である。 $p\geq1$ であるから両辺を $p$ 乗することができ、

|a+b|^p \leq2^p\max\{|a|^p,|b|^p\} \leq2^p\bigl(|a|^p+|b|^p\bigr)

を得る。▨

命題 3.4. 任意の測度空間 $(X,\mathcal{F},\mu)$ 、任意の $\mathbb{K}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$ 、および任意の $1\leq p\leq\infty$ に対して、 $L^p(X,\mathcal{F},\mu;\mathbb{K})$ は命題 1.3の商ベクトル空間の部分ベクトル空間である。特に、 $[f],[g]\in L^p$ と $\alpha\in\mathbb{K}$ ならば、 $[f+g]\in L^p$ かつ $[\alpha f]\in L^p$ である。

証明. 零関数はすべての $1\leq p\leq\infty$ に対して $L^p$ に属する。

$1\leq p<\infty$ とする。 $[f],[g]\in L^p$ ならば、補題 3.3を点ごとに適用し、積分の単調性と非負線形性§E9.6 定理 2.5を用いることにより、

\int_X|f+g|^p\,d\mu \leq2^p\left(\int_X|f|^p\,d\mu+\int_X|g|^p\,d\mu\right) <\infty

を得る。したがって、 $[f+g]\in L^p$ である。また、

\int_X|\alpha f|^p\,d\mu =|\alpha|^p\int_X|f|^p\,d\mu<\infty

であるため、 $[\alpha f]\in L^p$ である。

$p=\infty$ とする。 $A=\|[f]\|_\infty$ および $B=\|[g]\|_\infty$ とおく。補題 2.2により、 $|f|\leq A$ と $|g|\leq B$ がそれぞれほとんど至る所で成り立つ。二つの例外集合の和集合も可測零集合であるため、

|f+g|\leq|f|+|g|\leq A+B

がほとんど至る所で成り立つ。したがって、 $[f+g]\in L^\infty$ である。さらに、 $|\alpha f|\leq|\alpha|A$ がほとんど至る所で成り立つため、 $[\alpha f]\in L^\infty$ である。

零ベクトルを含み、加法とスカラー倍について閉じているため、各 $L^p$ は商ベクトル空間の部分ベクトル空間である。▨

三角不等式以外のノルム公理を先に確認する。

命題 3.5. 任意の測度空間 $(X,\mathcal{F},\mu)$ 、任意の $\mathbb{K}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$ 、任意の $1\leq p\leq\infty$ 、任意の $[f]\in L^p$ 、および任意の $\alpha\in\mathbb{K}$ に対して、次の三つが成り立つ。

$\|[f]\|_p\geq0$ である。
$\|[f]\|_p=0$ であることと $[f]=[0]$ であることは同値である。
$\|\alpha[f]\|_p=|\alpha|\,\|[f]\|_p$ である。

証明.(1)を示す。非負性は積分値と本質的上限の定義から従う。

(2)を示す。 $1\leq p<\infty$ とする。 $\|[f]\|_p=0$ であることは

\int_X|f|^p\,d\mu=0

であることと同値である。補題 3.1により、 $|f|^p=0$ がほとんど至る所で成り立つ。各点で $|f|^p=0$ であることと $f=0$ であることは同値であるため、 $f\sim_\mu0$ 、すなわち $[f]=[0]$ である。逆に $[f]=[0]$ ならば、命題 2.4により

\|[f]\|_p=\|[0]\|_p=0

である。

(3)を示す。有限な $p$ に対する斉次性を示す。非負可測関数の積分の斉次性§E9.6 定理 2.5により、

\begin{aligned} \|\alpha[f]\|_p &=\left(\int_X|\alpha f|^p\,d\mu\right)^{1/p}\\ &=\left(|\alpha|^p\int_X|f|^p\,d\mu\right)^{1/p}\\ &=|\alpha|\,\|[f]\|_p \end{aligned}

である。 $\alpha=0$ の場合にも両辺は $0$ である。

$p=\infty$ とする。 $\|[f]\|_\infty=0$ ならば、補題 2.2により $|f|\leq0$ がほとんど至る所で成り立つ。したがって、 $f\sim_\mu0$ であり、 $[f]=[0]$ である。逆向きは代表元からの独立性による。

\|\alpha[f]\|_\infty\leq|\alpha|A

である。一方、 $f=\alpha^{-1}(\alpha f)$ であるから、同じ評価を $\alpha f$ と $\alpha^{-1}$ へ適用すると、

A\leq|\alpha|^{-1}\|\alpha[f]\|_\infty

4 Young の不等式と Hölder の不等式

Hölder の不等式の点ごとの根拠となる Young の不等式を、微分による最小値の判定から証明する。

補題 4.1 (Young の不等式). $1<p<\infty$ とし、 $q=p/(p-1)$ とおく。このとき $1/p+1/q=1$ である。任意の $a,b\in[0,\infty)$ に対して、

ab\leq\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}

が成り立つ。等号が成り立つことと $a^{p-1}=b$ であることは同値である。

証明. $b=0$ とする。このとき $ab=0$ であり、

0\leq\frac{a^p}{p}+\frac{0^q}{q}

である。等号が成り立つことは $a=0$ と同値であり、これは $a^{p-1}=0=b$ と同値である。

以下では $b>0$ とする。 $[0,\infty)$ 上の関数

\Phi(t)=\frac{t^p}{p}-bt

を考える。 $c=b^{1/(p-1)}$ とおくと、 $c>0$ である。関数 $\Phi$ は $[0,\infty)$ 上で連続であり、 $(0,\infty)$ 上で微分可能であって、

\Phi'(t)=t^{p-1}-b

である。したがって、 $\Phi'(t)<0$ は $0<t<c$ で成り立ち、 $\Phi'(c)=0$ であり、 $\Phi'(t)>0$ は $t>c$ で成り立つ。微分係数の符号による増減判定から、 $\Phi$ は閉区間 $[0,c]$ 上で狭義単調減少である。また、任意の $R>c$ に対して、 $\Phi$ は閉区間 $[c,R]$ 上で狭義単調増加である。実際、いずれの閉区間でも $\Phi$ は連続であり、区間の内部では微分係数がそれぞれ負または正であるため、増減判定を適用することができる。したがって、 $0\leq t<c$ ならば $\Phi(t)>\Phi(c)$ であり、 $t>c$ ならば $R=t$ とした後半の増減判定により $\Phi(t)>\Phi(c)$ である。よって、 $\Phi$ は $t=c$ でただ一つの最小値をとる。

$c^{p-1}=b$ および $q=p/(p-1)$ であるから、

bc=c^p=b^q

である。したがって、

\Phi(c) =\frac{c^p}{p}-bc =-\frac{b^q}{q}

である。任意の $a\geq0$ に対する $\Phi(a)\geq\Phi(c)$ を書き換えると、

\frac{a^p}{p}-ab\geq-\frac{b^q}{q}

となり、Young の不等式を得る。最小点がただ一つであるため、等号が成り立つことは $a=c$ 、すなわち $a^{p-1}=b$ であることと同値である。▨

共役指数の端点では、 $1/\infty=0$ と定める。したがって、 $p=1$ に共役な指数は $q=\infty$ であり、 $p=\infty$ に共役な指数は $q=1$ である。

定理 4.2 (Hölder の不等式). $(X,\mathcal{F},\mu)$ を任意の測度空間とし、 $\mathbb{K}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$ とする。 $p,q\in[1,\infty]$ が

\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1

を満たすとする。ただし、 $1/\infty=0$ と定める。任意の $[f]\in L^p(X,\mathcal{F},\mu;\mathbb{K})$ と $[g]\in L^q(X,\mathcal{F},\mu;\mathbb{K})$ に対して、 $fg$ は可測かつ可積分であり、

\|[fg]\|_1\leq\|[f]\|_p\,\|[g]\|_q

が成り立つ。

証明. 最初に積 $fg$ の可測性を確認する。実数値の場合には§E9.5 命題 3.1による。複素数値の場合には、 $f=u+iv$ および $g=s+it$ と書けば、

\operatorname{Re}(fg)=us-vt, \qquad \operatorname{Im}(fg)=ut+vs

である。実数値可測関数の代数演算に関する閉性と§E9.5 定理 6.1により $fg$ は可測である。したがって、 $|fg|$ も非負可測関数である。さらに、 $f\sim_\mu f'$ かつ $g\sim_\mu g'$ ならば、二つの例外集合の和集合の外で $fg=f'g'$ が成り立つ。したがって、 $[fg]$ も代表元に依存しない。

$1<p<\infty$ とする。このとき $1<q<\infty$ である。 $\|[f]\|_p=0$ または $\|[g]\|_q=0$ ならば、命題 3.5により $f=0$ または $g=0$ がほとんど至る所で成り立つ。したがって、 $fg=0$ もほとんど至る所で成り立つ。補題 3.1を非負可測関数 $|fg|$ へ適用すると、 $\int_X|fg|\,d\mu=0$ となる。したがって、 $fg$ は可積分であり、両辺は $0$ である。

以下では $\|[f]\|_p>0$ かつ $\|[g]\|_q>0$ とする。非負可測関数

F=\frac{|f|}{\|[f]\|_p}, \qquad G=\frac{|g|}{\|[g]\|_q}

を考える。補題 4.1を点ごとに適用すると、

FG\leq\frac{F^p}{p}+\frac{G^q}{q}

である。右辺は可積分であり、積分の単調性と線形性から

\int_XFG\,d\mu \leq\frac{1}{p}\int_XF^p\,d\mu +\frac{1}{q}\int_XG^q\,d\mu =\frac{1}{p}+\frac{1}{q} =1

を得る。ここで、

\int_XF^p\,d\mu =\frac{1}{\|[f]\|_p^p}\int_X|f|^p\,d\mu=1, \qquad \int_XG^q\,d\mu =\frac{1}{\|[g]\|_q^q}\int_X|g|^q\,d\mu=1

を用いた。したがって、

\int_X|fg|\,d\mu \leq\|[f]\|_p\,\|[g]\|_q<\infty.

この有限性は $fg$ が可積分であることを示し、同じ不等式が Hölder の不等式である。

$p=1$ かつ $q=\infty$ とする。 $B=\|[g]\|_\infty$ とおく。補題 2.2により $|g|\leq B$ がほとんど至る所で成り立つため、

|fg|\leq B|f|

もほとんど至る所で成り立つ。補題 3.2と非負可測関数の積分の斉次性により、

\int_X|fg|\,d\mu \leq B\int_X|f|\,d\mu =\|[f]\|_1\,\|[g]\|_\infty<\infty

である。したがって、積の可積分性と端点の不等式が従う。

$p=\infty$ かつ $q=1$ の場合には、前段落で $f$ と $g$ を入れ替えることにより、

\int_X|fg|\,d\mu \leq\|[f]\|_\infty\,\|[g]\|_1

を得る。以上により、すべての共役指数について主張が成り立つ。▨

5 Minkowski の不等式

有限な $p$ については、補題 3.3と命題 3.4により、Minkowski の不等式を用いる前に $f+g\in L^p$ が確立されている。したがって、以下の証明で $\|[f+g]\|_p$ や $|f+g|^{p-1}$ を用いても循環は生じない。

定理 5.1 (Minkowski の不等式). $(X,\mathcal{F},\mu)$ を任意の測度空間とし、 $\mathbb{K}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$ とする。任意の $1\leq p\leq\infty$ と任意の $[f],[g]\in L^p(X,\mathcal{F},\mu;\mathbb{K})$ に対して、

\|[f+g]\|_p\leq\|[f]\|_p+\|[g]\|_p

が成り立つ。

証明. $p=1$ とする。点ごとの三角不等式と非負可測関数の積分の単調性および加法性により、

\begin{aligned} \|[f+g]\|_1 &=\int_X|f+g|\,d\mu\\ &\leq\int_X(|f|+|g|)\,d\mu\\ &=\|[f]\|_1+\|[g]\|_1 \end{aligned}

である。

$p=\infty$ とする。 $A=\|[f]\|_\infty$ および $B=\|[g]\|_\infty$ とおく。補題 2.2により、 $|f|\leq A$ と $|g|\leq B$ がそれぞれほとんど至る所で成り立つ。二つの例外集合の和集合の外では、

|f+g|\leq|f|+|g|\leq A+B

である。したがって、補題 2.2の第二の主張により、

\|[f+g]\|_\infty\leq A+B =\|[f]\|_\infty+\|[g]\|_\infty

である。

$1<p<\infty$ とし、 $q=p/(p-1)$ とおく。命題 3.4により $h=f+g$ は $L^p$ に属する。 $\|[h]\|_p=0$ ならば、求める不等式は右辺の非負性から従う。以下では $\|[h]\|_p>0$ とする。

関数 $|h|^{p-1}$ は非負可測関数であり、 $(p-1)q=p$ であるから、

\int_X\bigl(|h|^{p-1}\bigr)^q\,d\mu =\int_X|h|^p\,d\mu <\infty.

したがって、 $|h|^{p-1}\in L^q$ であり、

\bigl\||h|^{p-1}\bigr\|_q =\left(\int_X|h|^p\,d\mu\right)^{1/q} =\|[h]\|_p^{p-1}

である。

点ごとの三角不等式から

|h|^p =|h|\,|h|^{p-1} \leq |f|\,|h|^{p-1}+|g|\,|h|^{p-1}

が成り立つ。右辺の二項は定理 4.2により可積分である。積分の単調性と加法性、および Hölder の不等式を順に用いると、

\begin{aligned} \|[h]\|_p^p &=\int_X|h|^p\,d\mu\\ &\leq\int_X|f|\,|h|^{p-1}\,d\mu +\int_X|g|\,|h|^{p-1}\,d\mu\\ &\leq \bigl(\|[f]\|_p+\|[g]\|_p\bigr) \bigl\||h|^{p-1}\bigr\|_q\\ &= \bigl(\|[f]\|_p+\|[g]\|_p\bigr)\|[h]\|_p^{p-1}. \end{aligned}

$\|[h]\|_p>0$ であるから、両辺を $\|[h]\|_p^{p-1}$ で割ることにより、

\|[f+g]\|_p \leq\|[f]\|_p+\|[g]\|_p

を得る。以上により、すべての $1\leq p\leq\infty$ について主張が成り立つ。▨

Hölder の不等式と Minkowski の不等式をまとめると、次の系を得る。

系 5.2 (Hölder–Minkowski の不等式). 任意の測度空間 $(X,\mathcal{F},\mu)$ と $\mathbb{K}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$ に対して、次が成り立つ。

$p,q\in[1,\infty]$ が $1/p+1/q=1$ を満たし、 $[f]\in L^p$ かつ $[g]\in L^q$ ならば、 $fg\in L^1$ であり、 $\|[fg]\|_1\leq\|[f]\|_p\,\|[g]\|_q$ が成り立つ。ここでも $1/\infty=0$ と定める。
$1\leq p\leq\infty$ かつ $[f],[g]\in L^p$ ならば、 $\|[f+g]\|_p\leq\|[f]\|_p+\|[g]\|_p$ が成り立つ。

証明.(1)を示す。第一の主張は定理 4.2であり、(2)を示す。第二の主張は定理 5.1である。両定理は端点を含むすべての指数について証明済みである。▨

6 ノルム線形空間としての結論

定理 6.1. 任意の測度空間 $(X,\mathcal{F},\mu)$ 、任意の $\mathbb{K}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$ 、および任意の $1\leq p\leq\infty$ に対して、

\bigl(L^p(X,\mathcal{F},\mu;\mathbb{K}),\|\cdot\|_p\bigr)

は $\mathbb{K}$ 上のノルム線形空間である。

証明.命題 3.4により $L^p$ は命題 1.3の商ベクトル空間の部分ベクトル空間である。命題 2.4により $\|\cdot\|_p$ は $L^p$ 上の写像として定まる。命題 3.5により、非負性、零ベクトルの判定、および斉次性が成り立つ。定理 5.1により三角不等式が成り立つ。したがって、 $\|\cdot\|_p$ は $L^p$ 上のノルムである。▨

次の有限測度空間では、同値類をとる理由と、すべての指数に対するノルムを直接計算することができる。

例 6.2 (Dirac 測度上の $L^p$ ). $X=\{0,1,2\}$ 、 $\mathcal{F}=\mathcal{P}(X)$ とし、 $\mu=\delta_2$ を点 $2$ における Dirac 測度とする。任意の関数 $f:X\to\mathbb{K}$ は可測である。

二つの関数 $f,g:X\to\mathbb{K}$ について、 $f\sim_\mu g$ であることと $f(2)=g(2)$ であることは同値である。実際、集合 $\{0,1\}$ は可測零集合であり、点 $2$ を含む可測集合の測度は $1$ である。したがって、各同値類は点 $2$ での値だけによって決まる。

$1\leq p<\infty$ に対して、

\|[f]\|_p =\left(\int_X|f|^p\,d\delta_2\right)^{1/p} =|f(2)|

である。また、 $|f|\leq M$ がほとんど至る所で成り立つことは $|f(2)|\leq M$ と同値であるため、

\|[f]\|_\infty=|f(2)|

である。したがって、すべての $1\leq p\leq\infty$ について、写像

[f]\longmapsto f(2)

は $L^p(X,\delta_2;\mathbb{K})$ と $\mathbb{K}$ の間のノルムを保つ線形全単射である。この写像の線形性は同値類上の演算の定義から従い、全射性は各 $c\in\mathbb{K}$ に対する定数関数 $f(x)=c$ から従う。単射性は、 $f(2)=g(2)$ ならば $[f]=[g]$ であることから従う。

7 演習

問題 7.1.

命題 1.2の推移律を再構成し、二つの例外集合の和集合が零集合であるために用いた測度の性質を明記せよ。続いて、同じ和集合を用いて $[f]+[g]$ が代表元に依存しないことを証明せよ。
補題 2.2で、各 $n$ に対する超過集合 $\{|f|>\|[f]\|_\infty+1/n\}$ を一つの零集合へまとめる必要がある理由を説明せよ。各 $n$ に対する主張だけでは $|f|\leq\|[f]\|_\infty$ を直接導くことができない理由も述べよ。
補題 4.1の等号条件を用いて、正のノルムをもつ関数に対する定理 4.2の正規化された証明で等号が成り立つための点ごとの条件を書け。また、いずれかのノルムが零である場合を正規化の前に分ける必要がある理由を述べよ。
定理 5.1の $1<p<\infty$ の証明で、 $h=f+g$ が $L^p$ に属することをどの結果が先に保証しているかを答えよ。その結果が Minkowski の不等式を用いずに証明されていることを、用いたスカラー不等式まで遡って確認せよ。

8 扱わない内容

本記事は、 $L^p$ 空間の完備性、単関数・連続関数・滑らかな関数の稠密性、 $p=2$ の場合の内積、 $L^p$ 双対性、および一般のノルム空間や作用素の理論を扱わない。本記事で得た結論は、任意の測度空間上で $L^p$ がノルム線形空間になることまでである。

§E9.12L^p 空間

1 ほとんど至る所での同一視

2 本質的上限と $L^p$ の定義

3 積分と $L^p$ の基本補題

4 Young の不等式と Hölder の不等式

5 Minkowski の不等式

6 ノルム線形空間としての結論

7 演習

8 扱わない内容

参考文献

前提記事

§E9.12L^p 空間

1 ほとんど至る所での同一視

2 本質的上限とLpL^pLpの定義

3 積分とLpL^pLpの基本補題

4 Young の不等式と Hölder の不等式

5 Minkowski の不等式

6 ノルム線形空間としての結論

7 演習

8 扱わない内容

参考文献

前提記事

2 本質的上限と $L^p$ の定義

3 積分と $L^p$ の基本補題