§E9.10積測度

最終更新

二つの測度空間から一つの測度空間を作るとき、可測集合の最初の候補は可測集合の直積である。長方形A×BA\times Bの値はμ(A)ν(B)\mu(A)\nu(B)でなければならないが、同じ集合を長方形の有限和として表す方法は一意とは限らない。また、有限加法性だけでは Carathéodory の拡張定理を適用することができない。長方形の有限和に対する値が表示に依存せず、互いに交わらない可算和に対して加法的であることを証明する必要がある。

本記事は、有限格子による細分で表示からの独立性を証明する。次に、測度の可算劣加法性と下からの連続性だけを用いて長方形の可算被覆評価を導き、長方形環上の集合関数が前測度であることを証明する。 Carathéodory の拡張定理によって積測度を構成した後、積シグマ加法族に属するすべての集合について切り口が可測であることを集合族の閉性から証明する。

1 可測長方形と積シグマ加法族

最初に、長方形の集合族と、その集合族が生成するシグマ加法族を定める。

定義 1.1.(X,Σ)(X,\Sigma)と(Y,T)(Y,\mathcal{T})を可測空間とする。集合

A×B(A∈Σ, B∈T)A\times B \qquad(A\in\Sigma,\ B\in\mathcal{T})

を 可測長方形 (measurable rectangle) という。可測長方形全体を

S={ A×B∣A∈Σ, B∈T }\mathcal{S} =\{\,A\times B\mid A\in\Sigma,\ B\in\mathcal{T}\,\}

と書く。可測長方形が生成するX×YX\times Y上のシグマ加法族

Σ⊗T=σ(S)\Sigma\otimes\mathcal{T}=\sigma(\mathcal{S})

を 積シグマ加法族 (product sigma-algebra) という。

可測長方形の有限和を扱うために、集合環を一つ定める。

定義 1.2.(X,Σ)(X,\Sigma)と(Y,T)(Y,\mathcal{T})を可測空間とする。可測長方形の有限和として表される集合全体を

R={ ⋃i=1m(Ai×Bi) | m∈Z≥1, Ai∈Σ, Bi∈T }\mathcal{R} =\left\{\, \bigcup_{i=1}^{m}(A_i\times B_i) \ \middle|\ m\in\mathbb{Z}_{\geq 1},\ A_i\in\Sigma,\ B_i\in\mathcal{T} \,\right\}

と書く。空集合も∅×∅\emptyset\times\emptysetと表されるのでR\mathcal{R}に属する。

長方形の差は二つの互いに交わらない長方形へ分解される。この分解を反復すると、R\mathcal{R}の集合環としての閉性と非交和表示が得られる。

補題 1.3.(X,Σ)(X,\Sigma)と(Y,T)(Y,\mathcal{T})を可測空間とし、R\mathcal{R}を定義 1.2で定める。このとき、R\mathcal{R}はX×YX\times Y上の集合環である。さらに、任意のE∈RE\in\mathcal{R}は、有限個の二つずつ交わらない可測長方形P1,…,PmP_1,\dots,P_mを用いて

E=⨆i=1mPiE=\bigsqcup_{i=1}^{m}P_i

と表すことができる。

証明.A,C∈ΣA,C\in\SigmaおよびB,D∈TB,D\in\mathcal{T}に対して、

(A×B)∖(C×D)=((A∖C)×B)⊔((A∩C)×(B∖D))\begin{aligned} (A\times B)\setminus(C\times D) &=((A\setminus C)\times B)\\ &\quad\mathbin{\sqcup}((A\cap C)\times(B\setminus D)) \end{aligned}

が成り立つ。右辺の二つの集合は可測長方形であり、第一座標がそれぞれA∖CA\setminus CとA∩CA\cap Cに属するので互いに交わらない。

U=⨆i=1mPiU=\bigsqcup_{i=1}^{m}P_iが可測長方形の有限非交和であり、QQが可測長方形であるとする。各Pi∖QP_i\setminus Qを上の公式で高々二つの可測長方形へ分解すると、

U∖Q=⨆i=1m(Pi∖Q)U\setminus Q=\bigsqcup_{i=1}^{m}(P_i\setminus Q)

は可測長方形の有限非交和になる。PiP_iが二つずつ交わらないため、異なるiiから生じる長方形も互いに交わらない。

V=⨆j=1nQjV=\bigsqcup_{j=1}^{n}Q_jも可測長方形の有限非交和であるとする。UUからQ1,…,QnQ_1,\dots,Q_nを順に差し引くと、

U∖V=(((U∖Q1)∖Q2)⋯ )∖QnU\setminus V =(((U\setminus Q_1)\setminus Q_2)\cdots)\setminus Q_n

は可測長方形の有限非交和になる。また、

U∪V=U⊔(V∖U)U\cup V=U\mathbin{\sqcup}(V\setminus U)

であるから、U∪VU\cup Vも可測長方形の有限非交和になる。

任意の有限和⋃i=1mPi\bigcup_{i=1}^{m}P_iに対して、P1P_1から始めて上の和集合の操作を反復すれば、同じ集合の有限非交和表示を得る。したがって、R\mathcal{R}のすべての元が有限非交和表示をもち、R\mathcal{R}は有限和と差集合に対して閉じている。ゆえに、R\mathcal{R}は集合環である。▨

集合環は可測長方形を含み、有限和だけで構成される。したがって、生成されるシグマ加法族は変わらない。

命題 1.4.(X,Σ)(X,\Sigma)と(Y,T)(Y,\mathcal{T})を可測空間とする。S\mathcal{S}を可測長方形全体とし、R\mathcal{R}を可測長方形環とする。このとき、

σ(R)=Σ⊗T\sigma(\mathcal{R})=\Sigma\otimes\mathcal{T}

が成り立つ。

証明.S⊆R\mathcal{S}\subseteq\mathcal{R}であるから、

Σ⊗T=σ(S)⊆σ(R)\Sigma\otimes\mathcal{T}=\sigma(\mathcal{S})\subseteq\sigma(\mathcal{R})

である。一方、σ(S)\sigma(\mathcal{S})は有限和に対して閉じているので、可測長方形の有限和からなるすべての集合を含む。したがって、

R⊆σ(S)\mathcal{R}\subseteq\sigma(\mathcal{S})

である。生成シグマ加法族の最小性からσ(R)⊆σ(S)\sigma(\mathcal{R})\subseteq\sigma(\mathcal{S})が従う。二つの包含により主張を得る。▨

2 長方形環上の集合関数

以後、[0,∞][0,\infty]における積では

0⋅∞=∞⋅0=00\cdot\infty=\infty\cdot0=0

と定める。したがって、μ(A)=0\mu(A)=0かつν(B)=∞\nu(B)=\inftyである場合にも、長方形A×BA\times Bの候補値を00とする。この規約は、空集合が∅×Y\emptyset\times YとX×∅X\times\emptysetのいずれで表されても候補値を00にする。

有限個の長方形による分割に対して、候補値が加法的であることを先に証明する。

補題 2.1.(X,Σ,μ)(X,\Sigma,\mu)と(Y,T,ν)(Y,\mathcal{T},\nu)を正測度空間とする。可測長方形P=A×BP=A\times Bが、二つずつ交わらない可測長方形P1,…,PNP_1,\dots,P_Nによって

P=⨆k=1NPkP=\bigsqcup_{k=1}^{N}P_k

と表されるならば、

μ(A)ν(B)=∑k=1Nμ(Ak)ν(Bk)\mu(A)\nu(B) =\sum_{k=1}^{N}\mu(A_k)\nu(B_k)

が成り立つ。ここでPk=Ak×BkP_k=A_k\times B_kと表し、積には0⋅∞=∞⋅0=00\cdot\infty=\infty\cdot0=0の規約を用いる。

証明.AAを、有限個の集合A∩A1,…,A∩ANA\cap A_1,\dots,A\cap A_Nが定める互いに交わらない可測集合へ細分する。具体的には、I⊆{1,…,N}I\subseteq\{1,\dots,N\}に対して

CI=A∩⋂k∈IAk∩⋂k∉I(X∖Ak)C_I =A\cap\bigcap_{k\in I}A_k \cap\bigcap_{k\notin I}(X\setminus A_k)

とおき、空でないCIC_Iだけを残す。残った集合全体をC\mathcal{C}とする。C\mathcal{C}はAAの有限可測分割である。BBについても、

DJ=B∩⋂k∈JBk∩⋂k∉J(Y∖Bk)D_J =B\cap\bigcap_{k\in J}B_k \cap\bigcap_{k\notin J}(Y\setminus B_k)

から空でない集合だけを残して、BBの有限可測分割D\mathcal{D}を得る。

各格子長方形C×DC\times D（C∈CC\in\mathcal{C}、D∈DD\in\mathcal{D}）では、点がPkP_kに属するかどうかが格子長方形全体で一定である。P1,…,PNP_1,\dots,P_NがPPを分割するので、各格子長方形はちょうど一つのPkP_kに含まれる。

測度の有限加法性から

μ(A)=∑C∈Cμ(C),ν(B)=∑D∈Dν(D)\mu(A)=\sum_{C\in\mathcal{C}}\mu(C), \qquad \nu(B)=\sum_{D\in\mathcal{D}}\nu(D)

である。したがって、

μ(A)ν(B)=∑C∈C∑D∈Dμ(C)ν(D).\mu(A)\nu(B) =\sum_{C\in\mathcal{C}}\sum_{D\in\mathcal{D}}\mu(C)\nu(D).

最後の分配法則は、拡張非負実数についても採用した規約のもとで成り立つ。実際、μ(A)=0\mu(A)=0またはν(B)=0\nu(B)=0ならば、有限分割の対応するすべての項が00である。両方が正で一方が無限大ならば、他方の有限分割には正の測度をもつ項が存在し、等式の両辺が∞\inftyになる。両方が有限ならば、通常の有限和の分配法則である。

各PkP_kに対しても、PkP_kに含まれる格子長方形について同じ等式を適用することができる。各格子長方形がちょうど一つのPkP_kに含まれるので、

∑k=1Nμ(Ak)ν(Bk)=∑C∈C∑D∈Dμ(C)ν(D)=μ(A)ν(B)\sum_{k=1}^{N}\mu(A_k)\nu(B_k) =\sum_{C\in\mathcal{C}}\sum_{D\in\mathcal{D}}\mu(C)\nu(D) =\mu(A)\nu(B)

を得る。▨

有限分割の補題を用いて、長方形環上の候補値を定める。

命題 2.2.(X,Σ,μ)(X,\Sigma,\mu)と(Y,T,ν)(Y,\mathcal{T},\nu)を正測度空間とし、R\mathcal{R}を可測長方形環とする。E∈RE\in\mathcal{R}の有限非交和表示

E=⨆i=1m(Ai×Bi)E=\bigsqcup_{i=1}^{m}(A_i\times B_i)

に対して

ρ0(E)=∑i=1mμ(Ai)ν(Bi)\rho_0(E)=\sum_{i=1}^{m}\mu(A_i)\nu(B_i)

と定める。この値は有限非交和表示に依存せず、

ρ0:R⟶[0,∞]\rho_0:\mathcal{R}\longrightarrow[0,\infty]

を一意に定める。また、ρ0(∅)=0\rho_0(\emptyset)=0であり、ρ0\rho_0は有限加法的かつ単調である。

証明. 同じ集合EEに対して二つの有限非交和表示

E=⨆i=1mPi=⨆j=1nQjE=\bigsqcup_{i=1}^{m}P_i =\bigsqcup_{j=1}^{n}Q_j

があるとする。各iiに対して

Pi=⨆j=1n(Pi∩Qj)P_i=\bigsqcup_{j=1}^{n}(P_i\cap Q_j)

である。空の共通部分は候補値00をもち、空でない共通部分は可測長方形である。補題 2.1から

val⁡(Pi)=∑j=1nval⁡(Pi∩Qj)\operatorname{val}(P_i) =\sum_{j=1}^{n}\operatorname{val}(P_i\cap Q_j)

を得る。ここでval⁡(A×B)=μ(A)ν(B)\operatorname{val}(A\times B)=\mu(A)\nu(B)と書いた。各jjに対しても

Qj=⨆i=1m(Pi∩Qj)Q_j=\bigsqcup_{i=1}^{m}(P_i\cap Q_j)

であるから、

val⁡(Qj)=∑i=1mval⁡(Pi∩Qj)\operatorname{val}(Q_j) =\sum_{i=1}^{m}\operatorname{val}(P_i\cap Q_j)

が成り立つ。有限和の順序を交換すると、

∑i=1mval⁡(Pi)=∑i=1m∑j=1nval⁡(Pi∩Qj)=∑j=1nval⁡(Qj)\sum_{i=1}^{m}\operatorname{val}(P_i) =\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}\operatorname{val}(P_i\cap Q_j) =\sum_{j=1}^{n}\operatorname{val}(Q_j)

を得る。したがって、ρ0(E)\rho_0(E)は表示に依存しない。

空集合を∅×∅\emptyset\times\emptysetと表示すると、ρ0(∅)=μ(∅)ν(∅)=0\rho_0(\emptyset)=\mu(\emptyset)\nu(\emptyset)=0である。E,F∈RE,F\in\mathcal{R}が互いに交わらない場合、それぞれの有限非交和表示を合わせるとE∪FE\cup Fの有限非交和表示になる。定義から

ρ0(E∪F)=ρ0(E)+ρ0(F)\rho_0(E\cup F)=\rho_0(E)+\rho_0(F)

を得る。数学的帰納法により、任意の有限個の二つずつ交わらない集合に対して有限加法性が成り立つ。

E⊆FE\subseteq Fならば、補題 1.3によりF∖E∈RF\setminus E\in\mathcal{R}であり、

F=E⊔(F∖E)F=E\mathbin{\sqcup}(F\setminus E)

である。有限加法性と非負性から

ρ0(F)=ρ0(E)+ρ0(F∖E)≥ρ0(E)\rho_0(F)=\rho_0(E)+\rho_0(F\setminus E)\geq\rho_0(E)

を得る。ゆえに、ρ0\rho_0は単調である。▨

3 長方形の可算被覆評価

前測度のシグマ加法性を証明するためには、可算個の長方形による被覆費用が、被覆される長方形の候補値以上であることを示す必要がある。次の補題は、有限個の可測集合が定める分割上の和と、測度の下からの連続性だけで被覆評価を与える。

補題 3.1.(Z,A,λ)(Z,\mathcal{A},\lambda)を正測度空間とし、E∈AE\in\mathcal{A}がλ(E)<∞\lambda(E)<\inftyを満たすとする。H1,H2,⋯∈AH_1,H_2,\dots\in\mathcal{A}、b1,b2,⋯∈[0,∞]b_1,b_2,\dots\in[0,\infty]、およびc∈[0,∞)c\in[0,\infty)が、すべてのz∈Ez\in Eに対して

c≤∑n≥1z∈Hnbnc\leq\sum_{\substack{n\geq 1\\z\in H_n}}b_n

を満たすならば、

cλ(E)≤∑n=1∞bnλ(E∩Hn)c\lambda(E) \leq\sum_{n=1}^{\infty}b_n\lambda(E\cap H_n)

が成り立つ。積には0⋅∞=∞⋅0=00\cdot\infty=\infty\cdot0=0の規約を用いる。

証明. 右辺が∞\inftyならば主張は成り立つので、右辺が有限である場合を考える。c=0c=0の場合も非負性から主張が成り立つ。そこで、c>0c>0とし、0<ε<c0<\varepsilon<cを固定する。

各N≥1N\geq 1に対して

sN(z)=∑1≤n≤Nz∈Hnbn(z∈E)s_N(z)=\sum_{\substack{1\leq n\leq N\\z\in H_n}}b_n \qquad(z\in E)

とおき、

DN={ z∈E∣sN(z)>c−ε }D_N=\{\,z\in E\mid s_N(z)>c-\varepsilon\,\}

と定める。有限個の可測集合E∩H1,…,E∩HNE\cap H_1,\dots,E\cap H_NがEEを有限個の可測集合へ分割し、sNs_Nは各分割集合上で一定である。したがって、DN∈AD_N\in\mathcal{A}である。また、sN(z)s_N(z)はNNについて非減少であるから、DN⊆DN+1D_N\subseteq D_{N+1}である。仮定から各z∈Ez\in Eに対してlim⁡NsN(z)≥c\lim_Ns_N(z)\geq cであるため、あるNNが存在してsN(z)>c−εs_N(z)>c-\varepsilonとなる。ゆえに、

E=⋃N=1∞DNE=\bigcup_{N=1}^{\infty}D_N

である。

有限個の集合H1,…,HNH_1,\dots,H_Nが定めるEEの分割をGN\mathcal{G}_Nとする。各G∈GNG\in\mathcal{G}_N上でsNs_Nがとる一定値をvGv_Gと書く。測度の有限加法性と有限和の分配法則から

∑n=1Nbnλ(E∩Hn)=∑G∈GNvGλ(G)≥(c−ε)λ(DN)\sum_{n=1}^{N}b_n\lambda(E\cap H_n) =\sum_{G\in\mathcal{G}_N}v_G\lambda(G) \geq(c-\varepsilon)\lambda(D_N)

を得る。右辺が有限であるという仮定のもとでは、bn=∞b_n=\inftyである項に対応するE∩HnE\cap H_nは零集合である。したがって、無限大の値をとる分割集合は零集合であり、採用した積の規約のもとで上の等式と不等式を保つ。

§E9.2 定理 4.1の下からの連続性から

lim⁡N→∞λ(DN)=λ(E)\lim_{N\to\infty}\lambda(D_N)=\lambda(E)

である。したがって、

∑n=1∞bnλ(E∩Hn)≥(c−ε)λ(E)\sum_{n=1}^{\infty}b_n\lambda(E\cap H_n) \geq(c-\varepsilon)\lambda(E)

を得る。λ(E)<∞\lambda(E)<\inftyであり、ε>0\varepsilon>0は任意であるから、ε\varepsilonを00へ近づけることによって

∑n=1∞bnλ(E∩Hn)≥cλ(E)\sum_{n=1}^{\infty}b_n\lambda(E\cap H_n) \geq c\lambda(E)

を得る。▨

重み付き被覆補題を二つの座標の測度へ順に適用するのではなく、第二座標の被覆費用を第一座標の重みとして用いる。得られる主張は、関数の積分を定義せずに証明される。

補題 3.2.(X,Σ,μ)(X,\Sigma,\mu)と(Y,T,ν)(Y,\mathcal{T},\nu)をシグマ有限な正測度空間とする。可測長方形A×BA\times Bと可測長方形列(An×Bn)n≥1(A_n\times B_n)_{n\geq 1}が

A×B⊆⋃n=1∞(An×Bn)A\times B\subseteq\bigcup_{n=1}^{\infty}(A_n\times B_n)

を満たすならば、

μ(A)ν(B)≤∑n=1∞μ(An)ν(Bn)\mu(A)\nu(B) \leq\sum_{n=1}^{\infty}\mu(A_n)\nu(B_n)

が成り立つ。積には0⋅∞=∞⋅0=00\cdot\infty=\infty\cdot0=0の規約を用いる。

証明. 最初にμ(A)<∞\mu(A)<\inftyかつν(B)<∞\nu(B)<\inftyである場合を示す。各n≥1n\geq 1に対して

bn=ν(B∩Bn)b_n=\nu(B\cap B_n)

とおく。x∈Ax\in Aを固定する。任意のy∈By\in Bに対して、被覆の仮定から(x,y)∈An×Bn(x,y)\in A_n\times B_nを満たすnnが存在する。したがって、

B⊆⋃n≥1x∈An(B∩Bn)B\subseteq \bigcup_{\substack{n\geq 1\\x\in A_n}}(B\cap B_n)

である。§E9.2 命題 2.1の可算劣加法性を測度ν\nuに適用すると、

ν(B)≤∑n≥1x∈Anν(B∩Bn)=∑n≥1x∈Anbn\nu(B)\leq \sum_{\substack{n\geq 1\\x\in A_n}}\nu(B\cap B_n) =\sum_{\substack{n\geq 1\\x\in A_n}}b_n

を得る。

補題 3.1を、測度空間(X,Σ,μ)(X,\Sigma,\mu)、有限測度集合AA、集合列(An)n≥1(A_n)_{n\geq 1}、重み列(bn)n≥1(b_n)_{n\geq 1}、およびc=ν(B)c=\nu(B)に適用すると、

μ(A)ν(B)≤∑n=1∞μ(A∩An)ν(B∩Bn)≤∑n=1∞μ(An)ν(Bn)\begin{aligned} \mu(A)\nu(B) &\leq\sum_{n=1}^{\infty}\mu(A\cap A_n)\nu(B\cap B_n)\\ &\leq\sum_{n=1}^{\infty}\mu(A_n)\nu(B_n) \end{aligned}

を得る。第二の不等式は、二つの測度の単調性と拡張非負実数の積の単調性から従う。

次に、一般の場合をシグマ有限性によって有限測度の場合へ帰着する。X=⋃p≥1XpX=\bigcup_{p\geq 1}X_p、μ(Xp)<∞\mu(X_p)<\inftyを満たす可測集合列をとり、

P1=X1,Pp=Xp∖⋃r=1p−1Xr(p≥2)P_1=X_1,\qquad P_p=X_p\setminus\bigcup_{r=1}^{p-1}X_r\quad(p\geq 2)

とおく。集合列(Pp)p≥1(P_p)_{p\geq 1}は二つずつ交わらず、XXを被覆し、μ(Pp)<∞\mu(P_p)<\inftyを満たす。測度ν\nuについても、二つずつ交わらない有限測度集合列(Qq)q≥1(Q_q)_{q\geq 1}でYYを被覆するものを得る。

各p,qp,qに対して、有限測度の場合の評価を

(A∩Pp)×(B∩Qq)(A\cap P_p)\times(B\cap Q_q)

と、その集合を被覆する長方形列

((An∩Pp)×(Bn∩Qq))n≥1\bigl((A_n\cap P_p)\times(B_n\cap Q_q)\bigr)_{n\geq 1}

へ適用する。すべてのp,qp,qについて得られる不等式を加えると、

∑p,qμ(A∩Pp)ν(B∩Qq)≤∑p,q∑nμ(An∩Pp)ν(Bn∩Qq).\begin{aligned} \sum_{p,q}\mu(A\cap P_p)\nu(B\cap Q_q) &\leq \sum_{p,q}\sum_n \mu(A_n\cap P_p)\nu(B_n\cap Q_q). \end{aligned}

非負項級数は有限部分和の上限によって定義されるので、和の順序を交換することができる。二つずつ交わらない被覆に対する測度の可算加法性から

∑pμ(A∩Pp)=μ(A),∑qν(B∩Qq)=ν(B)\sum_p\mu(A\cap P_p)=\mu(A), \qquad \sum_q\nu(B\cap Q_q)=\nu(B)

であり、各nnについても

∑pμ(An∩Pp)=μ(An),∑qν(Bn∩Qq)=ν(Bn)\sum_p\mu(A_n\cap P_p)=\mu(A_n), \qquad \sum_q\nu(B_n\cap Q_q)=\nu(B_n)

である。

拡張非負実数の非負項級数について

(∑pap)(∑qbq)=∑p,qapbq\left(\sum_pa_p\right)\left(\sum_qb_q\right) =\sum_{p,q}a_pb_q

が採用した積の規約のもとで成り立つ。いずれかの和が00ならば対応するすべての項が00である。両方の和が正で一方が∞\inftyならば、他方には正の項が存在するので両辺が∞\inftyである。両方が有限ならば、有限部分和に分配法則を適用して上限をとればよい。以上の等式と非負項級数の順序交換により、

∑p,qμ(A∩Pp)ν(B∩Qq)=μ(A)ν(B),∑p,q∑nμ(An∩Pp)ν(Bn∩Qq)=∑n∑p,qμ(An∩Pp)ν(Bn∩Qq)=∑n(∑pμ(An∩Pp))(∑qν(Bn∩Qq))=∑nμ(An)ν(Bn).\begin{aligned} \sum_{p,q}\mu(A\cap P_p)\nu(B\cap Q_q) &=\mu(A)\nu(B),\\ \sum_{p,q}\sum_n \mu(A_n\cap P_p)\nu(B_n\cap Q_q) &=\sum_n\sum_{p,q} \mu(A_n\cap P_p)\nu(B_n\cap Q_q)\\ &=\sum_n \left(\sum_p\mu(A_n\cap P_p)\right) \left(\sum_q\nu(B_n\cap Q_q)\right)\\ &=\sum_n\mu(A_n)\nu(B_n). \end{aligned}

したがって、局所化した長方形について加えた不等式は

μ(A)ν(B)≤∑n=1∞μ(An)ν(Bn)\mu(A)\nu(B) \leq\sum_{n=1}^{\infty}\mu(A_n)\nu(B_n)

に等しい。▨

4 長方形環上の前測度

長方形の被覆評価を用いると、有限加法的なρ0\rho_0のシグマ加法性を証明することができる。

4.1 証明方針

互いに交わらない長方形環の元EnE_nの和がE∈RE\in\mathcal{R}に属すると仮定する。有限加法性と単調性は、有限部分和の測度がρ0(E)\rho_0(E)以下であることを与える。反対向きの評価では、EEと各EnE_nを長方形の有限非交和へ分解する。EEの各長方形を、EnE_nの長方形との共通部分で可算被覆し、補題 3.2を適用する。共通部分をEnE_nごとにまとめると、被覆費用が∑nρ0(En)\sum_n\rho_0(E_n)に一致する。

定理 4.1.(X,Σ,μ)(X,\Sigma,\mu)と(Y,T,ν)(Y,\mathcal{T},\nu)をシグマ有限な正測度空間とする。R\mathcal{R}を可測長方形環とし、ρ0:R→[0,∞]\rho_0:\mathcal{R}\to[0,\infty]を命題 2.2によって定める。このとき、ρ0\rho_0はR\mathcal{R}上の前測度である。特に、任意の可測長方形A×BA\times Bに対して

ρ0(A×B)=μ(A)ν(B)\rho_0(A\times B)=\mu(A)\nu(B)

が成り立つ。

証明.命題 2.2によりρ0(∅)=0\rho_0(\emptyset)=0である。E1,E2,⋯∈RE_1,E_2,\dots\in\mathcal{R}が二つずつ交わらず、

E=⋃n=1∞En∈RE=\bigcup_{n=1}^{\infty}E_n\in\mathcal{R}

を満たすとする。

任意のN≥1N\geq 1に対して、有限加法性と単調性から

∑n=1Nρ0(En)=ρ0(⋃n=1NEn)≤ρ0(E)\sum_{n=1}^{N}\rho_0(E_n) =\rho_0\left(\bigcup_{n=1}^{N}E_n\right) \leq\rho_0(E)

である。有限部分和の上限をとると、

∑n=1∞ρ0(En)≤ρ0(E)\sum_{n=1}^{\infty}\rho_0(E_n)\leq\rho_0(E)

を得る。

反対向きの不等式を示す。有限非交和表示

E=⨆i=1rPi,En=⨆j=1mnQn,jE=\bigsqcup_{i=1}^{r}P_i, \qquad E_n=\bigsqcup_{j=1}^{m_n}Q_{n,j}

をとる。ここで、PiP_iとQn,jQ_{n,j}は可測長方形である。En⊆EE_n\subseteq Eであり、E=⨆iPiE=\bigsqcup_iP_iであるから、各iiに対して

Pi=⋃n=1∞⋃j=1mn(Pi∩Qn,j)P_i =\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcup_{j=1}^{m_n}(P_i\cap Q_{n,j})

が成り立つ。共通部分は可測長方形である。補題 3.2をこの被覆へ適用すると、

ρ0(Pi)≤∑n=1∞∑j=1mnρ0(Pi∩Qn,j)\rho_0(P_i) \leq\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{m_n} \rho_0(P_i\cap Q_{n,j})

を得る。ここでは、PiP_iとPi∩Qn,jP_i\cap Q_{n,j}が可測長方形であるため、それぞれのρ0\rho_0による値が二つの辺の測度の積に等しいことを用いた。

iiについて加え、非負項級数の和の順序を交換すると、

ρ0(E)≤∑n=1∞∑j=1mn∑i=1rρ0(Pi∩Qn,j)\rho_0(E) \leq\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{m_n} \sum_{i=1}^{r}\rho_0(P_i\cap Q_{n,j})

となる。各Qn,jQ_{n,j}はEn⊆EE_n\subseteq Eに含まれるので、

Qn,j=⨆i=1r(Pi∩Qn,j)Q_{n,j}=\bigsqcup_{i=1}^{r}(P_i\cap Q_{n,j})

である。補題 2.1から

∑i=1rρ0(Pi∩Qn,j)=ρ0(Qn,j)\sum_{i=1}^{r}\rho_0(P_i\cap Q_{n,j}) =\rho_0(Q_{n,j})

を得る。したがって、

ρ0(E)≤∑n=1∞∑j=1mnρ0(Qn,j)=∑n=1∞ρ0(En)\rho_0(E) \leq\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{m_n}\rho_0(Q_{n,j}) =\sum_{n=1}^{\infty}\rho_0(E_n)

である。二つの不等式により

ρ0(E)=∑n=1∞ρ0(En)\rho_0(E)=\sum_{n=1}^{\infty}\rho_0(E_n)

を得る。ゆえに、ρ0\rho_0は前測度である。長方形上の値は定義から従う。▨

5 積測度の存在と一意性

長方形環は、有限前測度をもつ長方形によって全体集合を可算被覆する。したがって、 Carathéodory の拡張定理の存在と一意性の両方を適用することができる。

5.1 証明方針

シグマ有限被覆を二つの座標で選び、その直積を一つの可算列として並べる。各直積は有限の前測度をもち、X×YX\times Yを被覆する。存在については Carathéodory の拡張定理を適用する。一意性については、長方形上で指定された値が長方形環上の前測度を一意に定めることを確認した後、シグマ有限な前測度の拡張の一意性を適用する。

定理 5.1. 可算選択公理を仮定する。(X,Σ,μ)(X,\Sigma,\mu)と(Y,T,ν)(Y,\mathcal{T},\nu)をシグマ有限な正測度空間とする。このとき、Σ⊗T\Sigma\otimes\mathcal{T}上の正測度ρ\rhoが一意に存在し、任意のA∈ΣA\in\SigmaとB∈TB\in\mathcal{T}に対して

ρ(A×B)=μ(A)ν(B)\rho(A\times B)=\mu(A)\nu(B)

を満たす。積には0⋅∞=∞⋅0=00\cdot\infty=\infty\cdot0=0の規約を用いる。得られる測度ρ\rhoはシグマ有限である。

証明.X=⋃p≥1XpX=\bigcup_{p\geq 1}X_p、μ(Xp)<∞\mu(X_p)<\inftyを満たす可測集合列と、Y=⋃q≥1YqY=\bigcup_{q\geq 1}Y_q、ν(Yq)<∞\nu(Y_q)<\inftyを満たす可測集合列をとる。可測長方形Xp×YqX_p\times Y_qは可測長方形環R\mathcal{R}に属し、

X×Y=⋃p,q≥1(Xp×Yq)X\times Y=\bigcup_{p,q\geq 1}(X_p\times Y_q)

を満たす。Z≥1×Z≥1\mathbb{Z}_{\geq 1}\times\mathbb{Z}_{\geq 1}は可算であるから、二重列を一つの列として並べることができる。また、

ρ0(Xp×Yq)=μ(Xp)ν(Yq)<∞\rho_0(X_p\times Y_q)=\mu(X_p)\nu(Y_q)<\infty

である。

補題 1.3によりR\mathcal{R}は集合環であり、定理 4.1によりρ0\rho_0はR\mathcal{R}上の前測度である。さらに、上の長方形列はX×YX\times Yを可算被覆する。したがって、可算選択公理を仮定した§E9.3 定理 3.3を適用することができる。この定理により、σ(R)\sigma(\mathcal{R})上の測度ρ\rhoが存在し、R\mathcal{R}上でρ0\rho_0と一致する。命題 1.4から

σ(R)=Σ⊗T\sigma(\mathcal{R})=\Sigma\otimes\mathcal{T}

である。したがって、ρ\rhoは積シグマ加法族上に定まり、各可測長方形について

ρ(A×B)=ρ0(A×B)=μ(A)ν(B)\rho(A\times B)=\rho_0(A\times B)=\mu(A)\nu(B)

を満たす。上の有限測度長方形列がX×YX\times Yを被覆するので、ρ\rhoはシグマ有限である。

一意性を示す。η\etaをΣ⊗T\Sigma\otimes\mathcal{T}上の測度とし、すべての可測長方形について

η(A×B)=μ(A)ν(B)\eta(A\times B)=\mu(A)\nu(B)

が成り立つとする。E∈RE\in\mathcal{R}の有限非交和表示E=⨆i=1m(Ai×Bi)E=\bigsqcup_{i=1}^{m}(A_i\times B_i)に測度η\etaの有限加法性を適用すると、

η(E)=∑i=1mμ(Ai)ν(Bi)=ρ0(E)\eta(E)=\sum_{i=1}^{m}\mu(A_i)\nu(B_i)=\rho_0(E)

を得る。したがって、η\etaとρ\rhoはR\mathcal{R}上で同じ前測度ρ0\rho_0を拡張する。

一意性定理の仮定を確認する。集合族R\mathcal{R}は集合環であり、ρ0\rho_0は前測度である。また、R\mathcal{R}の元であるXp×YqX_p\times Y_qを一つの列として並べると、その列はX×YX\times Yを被覆し、各項のρ0\rho_0による値は有限である。さらに、ρ\rhoとη\etaはともに

σ(R)=Σ⊗T\sigma(\mathcal{R})=\Sigma\otimes\mathcal{T}

上の測度であり、R\mathcal{R}上でρ0\rho_0と一致する。したがって、§E9.3 定理 4.1を適用すると、任意のE∈Σ⊗TE\in\Sigma\otimes\mathcal{T}に対して

η(E)=ρ(E)\eta(E)=\rho(E)

を得る。ゆえに、指定された長方形値をもつ測度は一意である。▨

定義 5.2. 可算選択公理を仮定し、(X,Σ,μ)(X,\Sigma,\mu)と(Y,T,ν)(Y,\mathcal{T},\nu)をシグマ有限な正測度空間とする。定理 5.1で構成したΣ⊗T\Sigma\otimes\mathcal{T}上の一意な測度をμ⊗ν\mu\otimes\nuと書き、μ\muとν\nuの 積測度 (product measure) という。

6 切り口の可測性

積空間の集合から一方の座標を固定して得られる集合を切り口という。切り口の可測性は、積測度の値を用いず、積シグマ加法族を生成する長方形と集合演算だけから従う。

定義 6.1.E⊆X×YE\subseteq X\times Yとする。x∈Xx\in Xとy∈Yy\in Yに対して

Ex={ v∈Y∣(x,v)∈E },Ey={ u∈X∣(u,y)∈E }E_x=\{\,v\in Y\mid(x,v)\in E\,\}, \qquad E^y=\{\,u\in X\mid(u,y)\in E\,\}

と定める。集合ExE_xをxxにおける 第二座標の切り口 (second-coordinate section) といい、集合EyE^yをyyにおける 第一座標の切り口 (first-coordinate section) という。

長方形の切り口は可測である。補集合と可算和をとる操作が切り口と両立するため、生成シグマ加法族のすべての集合へ可測性を拡張することができる。

命題 6.2.(X,Σ,μ)(X,\Sigma,\mu)と(Y,T,ν)(Y,\mathcal{T},\nu)をシグマ有限な正測度空間とする。E∈Σ⊗TE\in\Sigma\otimes\mathcal{T}ならば、すべてのx∈Xx\in Xとすべてのy∈Yy\in Yに対して

Ex∈T,Ey∈ΣE_x\in\mathcal{T}, \qquad E^y\in\Sigma

が成り立つ。

証明.x∈Xx\in Xを固定し、

Cx={ E⊆X×Y∣Ex∈T }\mathcal{C}_x =\{\,E\subseteq X\times Y\mid E_x\in\mathcal{T}\,\}

とおく。(X×Y)x=Y∈T(X\times Y)_x=Y\in\mathcal{T}であるから、X×Y∈CxX\times Y\in\mathcal{C}_xである。E∈CxE\in\mathcal{C}_xならば、

((X×Y)∖E)x=Y∖Ex\bigl((X\times Y)\setminus E\bigr)_x=Y\setminus E_x

である。T\mathcal{T}は補集合に対して閉じているので、(X×Y)∖E∈Cx(X\times Y)\setminus E\in\mathcal{C}_xである。E1,E2,⋯∈CxE_1,E_2,\dots\in\mathcal{C}_xならば、

(⋃n=1∞En)x=⋃n=1∞(En)x∈T\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}E_n\right)_x =\bigcup_{n=1}^{\infty}(E_n)_x \in\mathcal{T}

である。したがって、Cx\mathcal{C}_xはX×YX\times Y上のシグマ加法族である。

A∈ΣA\in\SigmaとB∈TB\in\mathcal{T}に対して

(A×B)x={B,x∈A,∅,x∉A(A\times B)_x = \begin{cases} B,&x\in A,\\ \emptyset,&x\notin A \end{cases}

であるから、すべての可測長方形はCx\mathcal{C}_xに属する。生成シグマ加法族の最小性から

Σ⊗T⊆Cx\Sigma\otimes\mathcal{T}\subseteq\mathcal{C}_x

である。固定したxxは任意であったので、すべてのx∈Xx\in Xに対してEx∈TE_x\in\mathcal{T}が成り立つ。

次に、y∈Yy\in Yを固定し、

Dy={ E⊆X×Y∣Ey∈Σ }\mathcal{D}^y =\{\,E\subseteq X\times Y\mid E^y\in\Sigma\,\}

とおく。(X×Y)y=X∈Σ(X\times Y)^y=X\in\Sigmaである。E∈DyE\in\mathcal{D}^yならば、

((X×Y)∖E)y=X∖Ey∈Σ\bigl((X\times Y)\setminus E\bigr)^y=X\setminus E^y \in\Sigma

である。また、E1,E2,⋯∈DyE_1,E_2,\dots\in\mathcal{D}^yならば、

(⋃n=1∞En)y=⋃n=1∞(En)y∈Σ\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}E_n\right)^y =\bigcup_{n=1}^{\infty}(E_n)^y \in\Sigma

である。したがって、Dy\mathcal{D}^yはX×YX\times Y上のシグマ加法族である。

A∈ΣA\in\SigmaとB∈TB\in\mathcal{T}に対して

(A×B)y={A,y∈B,∅,y∉B(A\times B)^y = \begin{cases} A,&y\in B,\\ \emptyset,&y\notin B \end{cases}

であるから、すべての可測長方形はDy\mathcal{D}^yに属する。生成シグマ加法族の最小性から

Σ⊗T⊆Dy\Sigma\otimes\mathcal{T}\subseteq\mathcal{D}^y

である。固定したyyは任意であったので、すべてのy∈Yy\in Yに対してEy∈ΣE^y\in\Sigmaが成り立つ。▨

7 有限空間での検算

有限集合では、積測度の値を一点長方形の有限和として直接計算することができる。

例 7.1 (有限原子測度の積).X={1,2}X=\{1,2\}、Y={0,1,2}Y=\{0,1,2\}とし、Σ=P(X)\Sigma=\mathcal{P}(X)、T=P(Y)\mathcal{T}=\mathcal{P}(Y)とする。一点の測度を

μ({1})=2,μ({2})=1\mu(\{1\})=2,\qquad \mu(\{2\})=1

および

ν({0})=1,ν({1})=3,ν({2})=2\nu(\{0\})=1,\qquad \nu(\{1\})=3,\qquad \nu(\{2\})=2

によって定め、任意の部分集合の測度を、その集合に属する点の測度の和とする。μ\muとν\nuは有限な正測度である。

集合

E={(1,0),(1,1),(2,1)}E=\{(1,0),(1,1),(2,1)\}

は一点長方形の非交和であるから、

(μ⊗ν)(E)=μ({1})ν({0})+μ({1})ν({1})+μ({2})ν({1})=2⋅1+2⋅3+1⋅3=11\begin{aligned} (\mu\otimes\nu)(E) &=\mu(\{1\})\nu(\{0\}) +\mu(\{1\})\nu(\{1\}) +\mu(\{2\})\nu(\{1\})\\ &=2\cdot1+2\cdot3+1\cdot3\\ &=11 \end{aligned}

である。

第二座標の切り口は

E1={0,1},E2={1}E_1=\{0,1\}, \qquad E_2=\{1\}

であり、第一座標の切り口は

E0={1},E1={1,2},E2=∅E^0=\{1\}, \qquad E^1=\{1,2\}, \qquad E^2=\emptyset

である。各切り口は対応するべき集合の元であるため可測である。

8 適用範囲と次の記事

積測度の構成と切り口の可測性では、関数の積分を用いていない。長方形の可算被覆評価は、有限可測分割上の非負和、測度の可算劣加法性、および下からの連続性だけから導いた。

注意 8.1 (積測度の記事が証明する境界). 本記事が証明した結果は、シグマ有限な二つの正測度に対する積測度の存在と一意性、および積可測集合のすべての切り口の可測性である。本記事は、切り口の測度を一方の変数について積分する公式、非負可測関数の反復積分、絶対可積分関数の積分順序の交換、およびシグマ有限でない測度に対する独立した積測度論を扱わない。

次の記事「Fubini–Tonelli の定理」は、本記事で構成した積測度と切り口の可測性を前提として、非負可測関数に対する Tonelli の定理と絶対可積分関数に対する Fubini の定理を証明する。

9 演習

問題 9.1.

  1. 補題 2.1の有限格子で、各格子長方形がちょうど一つの分割長方形に含まれる理由を、第一座標と第二座標の各分割集合上で所属関係が一定であることから証明する。
  2. 補題 3.1で、集合列(DN)N≥1(D_N)_{N\geq 1}が増加し、その和集合がEEに一致することを証明する。また、λ(E)<∞\lambda(E)<\inftyをε↓0\varepsilon\downarrow0の箇所でどのように用いたかを述べる。
  3. 定理 4.1の反対向きの不等式で、固定したQn,jQ_{n,j}に対してQn,j=⨆i(Pi∩Qn,j)Q_{n,j}=\bigsqcup_i(P_i\cap Q_{n,j})が成り立つ理由を、En⊆EE_n\subseteq Eから証明する。
  4. 命題 6.2の証明について、切り口をとる操作が全体集合、全体集合における差集合、および可算和を保つ等式をそれぞれ書き、Cx\mathcal{C}_xがシグマ加法族であることを定義から再構成する。
  5. 定理 5.1の一意性で用いた有限前測度の可算被覆を明記し、§E9.3 定理 4.1の各仮定がどの対象によって満たされるかを対応させる。

10 まとめ

可測長方形の有限和は集合環をなし、有限格子による細分は

ρ0(A×B)=μ(A)ν(B)\rho_0(A\times B)=\mu(A)\nu(B)

という規則を長方形環上の well-defined な有限加法的集合関数へ拡張する。重み付き可算被覆補題は、測度の下からの連続性を用いて長方形の被覆費用を評価する。この評価により、ρ0\rho_0のシグマ加法性が得られ、ρ0\rho_0は前測度になる。

Carathéodory の拡張定理はρ0\rho_0をΣ⊗T\Sigma\otimes\mathcal{T}上の測度μ⊗ν\mu\otimes\nuへ拡張する。シグマ有限被覆の直積は有限前測度の可算被覆を与えるため、指定された長方形値をもつ拡張は一意であり、積測度もシグマ有限である。積可測集合の切り口の可測性は、長方形を含み、全体集合における差集合と可算和に対して閉じる集合族の議論から従う。関数の反復積分と積分順序の交換は、次の記事で扱う。

参考文献

  1. Donald L. Cohn, Measure Theory, 2nd ed., Birkhäuser Advanced Texts Basler Lehrbücher, Birkhäuser, 2013.
  2. Gerald B. Folland, Real Analysis, 2nd ed., Wiley, 1999.

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