Radon–Nikodym の定理と Lebesgue 分解 | 測度と積分

1 非負可測関数から定まる測度

Radon–Nikodym の定理の結論に現れる集合関数が正測度であることを最初に証明する。可算加法性は、互いに交わらない集合の指示関数の有限和を増加させ、単調収束定理を適用することによって得られる。

定義 1.1. $(X,\mathcal{F},\mu)$ を測度空間とし、 $f:X\to[0,\infty]$ を非負拡張実数値可測関数とする。 $E\in\mathcal{F}$ に対して

\int_E f\,d\mu = \int_X f\mathbf{1}_E\,d\mu

と定める。積 $f\mathbf{1}_E$ では、 $x\notin E$ かつ $f(x)=\infty$ の場合にも $0\cdot\infty=0$ とする。

命題 1.2. $(X,\mathcal{F},\mu)$ を測度空間とし、 $f:X\to[0,\infty]$ を非負拡張実数値可測関数とする。各 $E\in\mathcal{F}$ に対して

\lambda_f(E)=\int_E f\,d\mu

と定める。このとき、 $\lambda_f$ は $(X,\mathcal{F})$ 上の正測度であり、

\lambda_f\ll\mu

が成り立つ。

証明. 指示関数 $\mathbf{1}_E$ は可測であり、非負可測関数と指示関数の積も可測であるから、 $\lambda_f(E)$ はすべての $E\in\mathcal{F}$ について定義される。空集合の指示関数は定数関数 $0$ なので、

\lambda_f(\emptyset)=\int_X0\,d\mu=0

である。

$E_1,E_2,\dots\in\mathcal{F}$ が二つずつ交わらないとする。各正の整数 $m$ に対して

s_m = f\mathbf{1}_{\bigcup_{k=1}^{m}E_k} = \sum_{k=1}^{m}f\mathbf{1}_{E_k}

とおく。各 $s_m$ は非負可測関数であり、

s_m\uparrow f\mathbf{1}_{\bigcup_{k=1}^{\infty}E_k}

が点ごとに成り立つ。有限和に対する非負可測関数の積分の線形性と§E9.7 定理 1.1により、

\begin{aligned} \lambda_f\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}E_k\right) &= \int_X f\mathbf{1}_{\bigcup_{k=1}^{\infty}E_k}\,d\mu\\ &= \lim_{m\to\infty}\int_Xs_m\,d\mu\\ &= \lim_{m\to\infty}\sum_{k=1}^{m}\int_Xf\mathbf{1}_{E_k}\,d\mu\\ &= \sum_{k=1}^{\infty}\lambda_f(E_k). \end{aligned}

すべての項は非負であるため、この計算に未定義な無限量の差は現れない。したがって、 $\lambda_f$ は正測度である。

$E\in\mathcal{F}$ が $\mu(E)=0$ を満たすとする。関数 $f\mathbf{1}_E$ は $E$ の外で $0$ である。§E9.6 補題 4.1により

\lambda_f(E)=\int_Xf\mathbf{1}_E\,d\mu=0

である。ゆえに $\lambda_f\ll\mu$ が成り立つ。▨

この命題では $\lambda_f(X)=\infty$ を許した。有限測度の場合の主定理では $\lambda_f(E)\leq\nu(E)$ を候補の条件とするため、候補から定まる測度は自動的に有限測度になる。

2 有限正測度に対する定理

有限測度の場合には、 $\nu$ 以下の測度を与える非負可測関数の族を考える。

定義 2.1. $(X,\mathcal{F})$ を可測空間とし、 $\mu$ と $\nu$ をその上の有限正測度とする。非負拡張実数値可測関数の族

\mathcal{C}(\mu,\nu) = \left\{ h:X\to[0,\infty] \ \middle|\ \begin{array}{l} h\text{ は可測であり、}\\ \displaystyle\int_Eh\,d\mu\leq\nu(E) \quad(E\in\mathcal{F}) \end{array} \right\}

を、 $\mu$ と $\nu$ に対する候補族 (Radon–Nikodym candidate family) という。

候補族は二つの関数の点ごとの最大をとる操作で閉じている。この閉性により、積分値が上限へ近づく任意の列を増加列へ置き換えることができる。

補題 2.2. $(X,\mathcal{F})$ を可測空間とし、 $\mu$ と $\nu$ をその上の有限正測度とする。 $h,k\in\mathcal{C}(\mu,\nu)$ ならば、

h\vee k=\max\{h,k\}

も $\mathcal{C}(\mu,\nu)$ に属する。

証明. 非負拡張実数値可測関数 $h$ と $k$ に対して

\{h<k\} = \bigcup_{q\in\mathbb{Q}} \bigl(\{h<q\}\cap\{q<k\}\bigr)

である。右辺は可測集合の可算和なので、 $H=\{h\geq k\}$ は可測である。また、

\{h\vee k>a\}=\{h>a\}\cup\{k>a\}

であるから、 $h\vee k$ は非負拡張実数値可測関数である。

$E\in\mathcal{F}$ を任意にとる。集合 $E$ を $E\cap H$ と $E\setminus H$ に分け、非負可測関数の積分の線形性を用いると、

\begin{aligned} \int_E(h\vee k)\,d\mu &= \int_{E\cap H}h\,d\mu+\int_{E\setminus H}k\,d\mu\\ &\leq \nu(E\cap H)+\nu(E\setminus H)\\ &= \nu(E). \end{aligned}

したがって、 $h\vee k\in\mathcal{C}(\mu,\nu)$ である。▨

2.1 有限測度の場合の証明方針

候補族の積分値の上限を $a$ とする。可算選択公理を用いて、積分値が $a$ へ近づく候補関数の列を同時に選び、有限最大を順にとって増加列へ変える。単調収束定理による極限 $f$ は候補族に残り、 $\int_Xf\,d\mu=a$ を満たす。

残差を

\lambda(E)=\nu(E)-\int_Ef\,d\mu

と定める。候補条件と $\nu$ の有限性により、 $\lambda$ は有限正測度である。 $\lambda\neq0$ と仮定し、各正の整数 $n$ に対して有限符号付き測度

\eta_n=\lambda-\frac{1}{n}\mu

を考える。Hahn 分解の正集合 $P_n$ では $\lambda$ が $\mu/n$ 以上であるため、 $f+\mathbf{1}_{P_n}/n$ も候補になる。 $f$ の最大性から $\mu(P_n)=0$ が従い、絶対連続性から $\lambda(P_n)=0$ も従う。一方、負集合 $N_n$ では $\lambda(N_n)\leq\mu(N_n)/n$ である。有限性により $\lambda(X)=0$ が従い、残差が消える。

定理 2.3 (有限正測度に対する Radon–Nikodym の定理). 従属選択公理を仮定する。 $(X,\mathcal{F})$ を可測空間とし、 $\mu$ と $\nu$ をその上の有限正測度とする。さらに、 $\nu\ll\mu$ を仮定する。このとき、非負拡張実数値可測関数 $f:X\to[0,\infty]$ が存在して、任意の $E\in\mathcal{F}$ に対して

\nu(E)=\int_Ef\,d\mu

が成り立つ。

証明. 定数関数 $0$ は $\mathcal{C}(\mu,\nu)$ に属する。候補条件を $E=X$ へ適用すると、すべての $h\in\mathcal{C}(\mu,\nu)$ に対して

0\leq\int_Xh\,d\mu\leq\nu(X)<\infty

である。したがって、

a = \sup\left\{ \int_Xh\,d\mu\mid h\in\mathcal{C}(\mu,\nu) \right\}

は有限の非負実数である。

各正の整数 $n$ に対して、

h_n\in\mathcal{C}(\mu,\nu), \qquad \int_Xh_n\,d\mu>a-\frac{1}{n} \tag{1}

を満たす候補 $h_n$ が存在する。従属選択公理から可算選択公理が従うことは§E1.20 定理 4.6で証明されている。可算選択公理を、各 $n$ に対する候補の非空集合へ適用し、列 $(h_n)_{n\geq1}$ を同時に選ぶ。

各正の整数 $n$ に対して

g_n=h_1\vee\cdots\vee h_n

とおく。補題 2.2を有限回適用すると $g_n\in\mathcal{C}(\mu,\nu)$ である。また、

g_n\leq g_{n+1}, \qquad g_n\geq h_n

が点ごとに成り立つ。関数

f=\sup_{n\geq1}g_n

は、可測関数の増加列の点ごとの極限なので非負拡張実数値可測関数である。

$E\in\mathcal{F}$ を任意にとる。関数列 $(g_n\mathbf{1}_E)_{n\geq1}$ へ単調収束定理を適用すると、

\int_Ef\,d\mu = \lim_{n\to\infty}\int_Eg_n\,d\mu \leq\nu(E)

である。したがって、 $f\in\mathcal{C}(\mu,\nu)$ である。 $E=X$ の場合と (1) から、

a \geq \int_Xf\,d\mu = \lim_{n\to\infty}\int_Xg_n\,d\mu \geq \lim_{n\to\infty}\int_Xh_n\,d\mu =a

を得る。よって、

\int_Xf\,d\mu=a. \tag{2}

命題 1.2によって定まる有限正測度を $\lambda_f$ と書く。候補条件から $0\leq\lambda_f(E)\leq\nu(E)<\infty$ がすべての $E\in\mathcal{F}$ について成り立つ。そこで

\lambda(E)=\nu(E)-\lambda_f(E) \qquad(E\in\mathcal{F}) \tag{3}

と定める。各値は有限の非負実数である。

$\lambda$ が正測度であることを確認する。 $E_1,E_2,\dots$ が二つずつ交わらないとし、 $A_m=\bigcup_{k=1}^{m}E_k$ と $A=\bigcup_{k=1}^{\infty}E_k$ とおく。 $\nu$ と $\lambda_f$ の可算加法性、および両測度の有限性から

\nu(A_m)\longrightarrow\nu(A), \qquad \lambda_f(A_m)\longrightarrow\lambda_f(A)

が有限実数の極限として成り立つ。したがって、

\begin{aligned} \lambda(A) &=\nu(A)-\lambda_f(A)\\ &=\lim_{m\to\infty} \bigl(\nu(A_m)-\lambda_f(A_m)\bigr)\\ &=\lim_{m\to\infty}\sum_{k=1}^{m} \bigl(\nu(E_k)-\lambda_f(E_k)\bigr)\\ &=\sum_{k=1}^{\infty}\lambda(E_k). \end{aligned}

また、 $\lambda(\emptyset)=0$ である。ゆえに、 $\lambda$ は有限正測度である。

$\mu(E)=0$ ならば、 $\nu\ll\mu$ から $\nu(E)=0$ であり、命題 1.2から $\lambda_f(E)=0$ である。(3) により $\lambda(E)=0$ なので、

\lambda\ll\mu \tag{4}

が成り立つ。

各正の整数 $n$ に対して

\eta_n(E)=\lambda(E)-\frac{1}{n}\mu(E) \qquad(E\in\mathcal{F})

と定める。 $\lambda$ と $\mu/n$ は有限正測度である。互いに交わらない可測集合列 $(E_k)$ に対して

\sum_{k=1}^{\infty} \left|\lambda(E_k)-\frac{1}{n}\mu(E_k)\right| \leq \lambda(X)+\frac{1}{n}\mu(X)<\infty

であり、両測度の可算加法性から $\eta_n$ の可算加法性が従う。したがって、 $\eta_n$ は有限符号付き測度である。

§E9.14 定理 3.2を各 $\eta_n$ へ適用すると、Hahn 分解の集合は各 $n$ について空でない。従属選択公理から従う可算選択公理を用いて、Hahn 分解

X=P_n\mathbin{\sqcup}N_n \qquad(n\geq1) \tag{5}

をすべての $n$ について同時に選ぶ。 $P_n$ は $\eta_n$ の正集合であり、 $N_n$ は $\eta_n$ の負集合である。

固定した $n$ に対して

u_n=f+\frac{1}{n}\mathbf{1}_{P_n}

とおく。 $E\in\mathcal{F}$ を任意にとる。 $E\cap P_n$ は $\eta_n$ の正集合 $P_n$ の可測部分集合であるため、

0\leq\eta_n(E\cap P_n) = \lambda(E\cap P_n)-\frac{1}{n}\mu(E\cap P_n).

正測度 $\lambda$ の単調性を用いると、

\frac{1}{n}\mu(E\cap P_n) \leq\lambda(E\cap P_n) \leq\lambda(E). \tag{6}

非負可測関数の積分の線形性、(3)、および (6) から

\begin{aligned} \int_Eu_n\,d\mu &= \lambda_f(E)+\frac{1}{n}\mu(E\cap P_n)\\ &\leq \lambda_f(E)+\lambda(E)\\ &=\nu(E). \end{aligned}

したがって、 $u_n\in\mathcal{C}(\mu,\nu)$ である。(2) と候補族の積分値の上限の定義から

a \geq \int_Xu_n\,d\mu = a+\frac{1}{n}\mu(P_n).

$a$ は有限であるため、

\mu(P_n)=0 \tag{7}

が成り立つ。(4) と (7) により

\lambda(P_n)=0. \tag{8}

$N_n$ は $\eta_n$ の負集合であるから、

\eta_n(N_n) = \lambda(N_n)-\frac{1}{n}\mu(N_n) \leq0. \tag{9}

(5)、(8)、(9)、および有限加法性により、

0\leq\lambda(X) = \lambda(P_n)+\lambda(N_n) \leq\frac{1}{n}\mu(N_n) \leq\frac{1}{n}\mu(X) \tag{10}

がすべての正の整数 $n$ について成り立つ。 $\mu(X)<\infty$ なので、(10) から $\lambda(X)=0$ を得る。正測度の単調性により、すべての $E\in\mathcal{F}$ について

0\leq\lambda(E)\leq\lambda(X)=0

である。したがって $\lambda$ は零測度であり、(3) から

\nu(E)=\lambda_f(E)=\int_Ef\,d\mu

がすべての $E\in\mathcal{F}$ について成り立つ。▨

3 シグマ有限な正測度への拡張

二つのシグマ有限測度を同時に有限にする可測分割を構成し、各部分へ有限測度の場合の定理を適用する。貼り合わせの積分を追跡するため、制限測度上の積分と零延長の関係を先に証明する。

補題 3.1. $(X,\mathcal{F},\mu)$ を測度空間とし、 $D\in\mathcal{F}$ とする。

\mathcal{F}|_D=\{E\cap D\mid E\in\mathcal{F}\}

を $D$ 上のトレースシグマ加法族とし、

\mu_D(B)=\mu(B) \qquad(B\in\mathcal{F}|_D)

と定める。関数 $h:D\to[0,\infty]$ が $\mathcal{F}|_D$ に関して可測であるとし、零延長

\widehat h(x) = \begin{cases} h(x),&x\in D,\\ 0,&x\in X\setminus D \end{cases}

を定める。このとき、 $\mu_D$ は $(D,\mathcal{F}|_D)$ 上の正測度であり、 $\widehat h$ は $\mathcal{F}$ に関して可測である。さらに、

\int_Dh\,d\mu_D = \int_X\widehat h\,d\mu

が $[0,\infty]$ において成り立つ。

証明. $\emptyset\in\mathcal{F}|_D$ であり、 $\mu_D(\emptyset)=0$ である。トレースシグマ加法族に含まれる二つずつ交わらない集合列は $\mathcal{F}$ にも含まれるため、 $\mu$ の可算加法性をそのまま適用すると $\mu_D$ の可算加法性が得られる。したがって、 $\mu_D$ は正測度である。

$a\geq0$ に対して

\{\widehat h>a\}=\{x\in D\mid h(x)>a\}

であり、右辺はトレースシグマ加法族の元なので $\mathcal{F}$ に属する。 $a<0$ に対して $\{\widehat h>a\}=X$ である。半直線による可測性の判定から、 $\widehat h$ は可測である。

$0\leq\varphi\leq h$ を満たす $D$ 上の非負単関数 $\varphi$ を零延長すると、 $0\leq\widehat\varphi\leq\widehat h$ を満たす $X$ 上の非負単関数が得られる。逆に、 $0\leq\psi\leq\widehat h$ を満たす $X$ 上の非負単関数 $\psi$ は $X\setminus D$ 上で $0$ であり、 $D$ への制限 $\psi|_D$ は $0\leq\psi|_D\leq h$ を満たす非負単関数である。この二つの操作は互いに逆である。

$D$ 上の非負単関数

\varphi=\sum_{i=1}^{m}c_i\mathbf{1}_{B_i}

を相異なる値による表示で書くと、その零延長では $X\setminus D$ に値 $0$ の部分を加えるだけである。非負単関数の積分の定義と $0\cdot\infty=0$ という規約から

\int_D\varphi\,d\mu_D = \sum_{i=1}^{m}c_i\mu_D(B_i) = \sum_{i=1}^{m}c_i\mu(B_i) = \int_X\widehat\varphi\,d\mu

が成り立つ。非負可測関数の積分は、その関数を下から抑えるすべての非負単関数の積分値の上限である。前段の対応によって両側で上限をとる候補と値が一致するため、

\int_Dh\,d\mu_D=\int_X\widehat h\,d\mu

を得る。▨

次の補題は、二つのシグマ有限測度に対して同じ有限測度部分を用いることができることを示す。

補題 3.2. $(X,\mathcal{F})$ を可測空間とし、 $\mu$ と $\nu$ をその上のシグマ有限な正測度とする。このとき、二つずつ交わらない可測集合の列 $(D_k)_{k\geq1}$ が存在して、

X=\bigcup_{k=1}^{\infty}D_k, \qquad \mu(D_k)<\infty, \qquad \nu(D_k)<\infty

がすべての正の整数 $k$ について成り立つ。

証明. シグマ有限性の定義により、可測集合の列 $(A_n)_{n\geq1}$ と $(B_m)_{m\geq1}$ で

X=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n = \bigcup_{m=1}^{\infty}B_m, \qquad \mu(A_n)<\infty, \qquad \nu(B_m)<\infty

を満たすものが存在する。二つの列を一つずつ固定する。

正の整数の組 $(n,m)$ を対角線順に明示的に並べ、対応する集合 $A_n\cap B_m$ を $C_1,C_2,\dots$ と書く。この番号づけには選択原理を用いない。

D_1=C_1, \qquad D_k=C_k\setminus\bigcup_{j=1}^{k-1}C_j \quad(k\geq2)

と定める。各 $D_k$ は可測であり、集合列 $(D_k)$ は二つずつ交わらない。 $C_k=A_n\cap B_m$ である場合には

\mu(D_k)\leq\mu(A_n)<\infty, \qquad \nu(D_k)\leq\nu(B_m)<\infty

である。集合族 $(A_n\cap B_m)_{n,m\geq1}$ は $X$ を覆うため、 $(D_k)$ も $X$ を覆う。▨

3.1 シグマ有限な場合の証明方針

補題 3.2の分割 $(D_k)$ を固定する。各トレース可測空間 $D_k$ 上で $\mu$ と $\nu$ を制限すると有限正測度が得られる。有限測度の場合の定理が与える局所的な関数を、従属選択公理から従う可算選択公理によって同時に選ぶ。各関数を $X$ へ零延長して足し合わせ、単調収束定理を適用すると、各 $E\in\mathcal{F}$ について $\nu(E)$ が得られる。

定理 3.3 (シグマ有限な正測度に対する Radon–Nikodym の定理). 従属選択公理を仮定する。 $(X,\mathcal{F})$ を可測空間とし、 $\mu$ と $\nu$ をその上のシグマ有限な正測度とする。さらに、 $\nu\ll\mu$ を仮定する。このとき、非負拡張実数値可測関数 $f:X\to[0,\infty]$ が存在して、任意の $E\in\mathcal{F}$ に対して

\nu(E)=\int_Ef\,d\mu

が成り立つ。

証明.補題 3.2によって得られる分割 $(D_k)_{k\geq1}$ を固定する。 $D_k$ 上のトレースシグマ加法族を $\mathcal{F}|_{D_k}$ と書き、正測度

\mu_k(B)=\mu(B), \qquad \nu_k(B)=\nu(B) \qquad(B\in\mathcal{F}|_{D_k})

を定める。分割の性質から $\mu_k$ と $\nu_k$ は有限正測度である。 $B\in\mathcal{F}|_{D_k}$ が $\mu_k(B)=0$ を満たすならば、 $\mu(B)=0$ である。 $\nu\ll\mu$ により $\nu(B)=0$ なので、 $\nu_k\ll\mu_k$ が成り立つ。

定理 2.3を $(D_k,\mathcal{F}|_{D_k},\mu_k,\nu_k)$ へ適用すると、各 $k$ に対して非負拡張実数値可測関数 $f_k:D_k\to[0,\infty]$ が存在し、

\nu_k(B)=\int_Bf_k\,d\mu_k \qquad(B\in\mathcal{F}|_{D_k}) \tag{11}

が成り立つ。各 $k$ に対する関数の候補集合は空でない。§E1.20 定理 4.6により従属選択公理から可算選択公理が従うため、関数列 $(f_k)_{k\geq1}$ を同時に選ぶ。

$\widehat f_k$ を $f_k$ の $X$ への零延長とする。補題 3.1により、各 $\widehat f_k$ は非負拡張実数値可測関数である。

s_m=\sum_{k=1}^{m}\widehat f_k

とおく。各 $s_m$ は非負拡張実数値可測関数であり、 $s_m\leq s_{m+1}$ が点ごとに成り立つ。したがって、

f=\sup_{m\geq1}s_m = \sum_{k=1}^{\infty}\widehat f_k

は非負拡張実数値可測関数である。

$E\in\mathcal{F}$ を任意にとる。各 $k$ について $E\cap D_k\in\mathcal{F}|_{D_k}$ である。 $D_k$ 上の可測関数 $f_k\mathbf{1}_{E\cap D_k}$ へ補題 3.1を適用し、(11) と合わせると、

\int_E\widehat f_k\,d\mu = \int_{E\cap D_k}f_k\,d\mu_k = \nu(E\cap D_k) \tag{12}

を得る。非負可測関数の有限和に対する線形性、単調収束定理、(12)、および $\nu$ の可算加法性により、

\begin{aligned} \int_Ef\,d\mu &= \lim_{m\to\infty}\int_Es_m\,d\mu\\ &= \lim_{m\to\infty}\sum_{k=1}^{m}\int_E\widehat f_k\,d\mu\\ &= \sum_{k=1}^{\infty}\nu(E\cap D_k)\\ &= \nu(E). \end{aligned}

すべての項は非負であるため、 $\nu(E)=\infty$ の場合にも等式は $[0,\infty]$ で定義される。▨

4 密度の一意性

存在定理だけでは、同じ測度を表す二つの関数の関係は定まらない。表される測度 $\nu$ のシグマ有限性を用いると、両関数が有限値をとる領域へ局所化し、積分の等式から点ごとの大小を判定することができる。

定理 4.1. $(X,\mathcal{F},\mu)$ を測度空間とし、 $\nu$ を $(X,\mathcal{F})$ 上のシグマ有限な正測度とする。 $f,g:X\to[0,\infty]$ を非負拡張実数値可測関数とし、任意の $E\in\mathcal{F}$ に対して

\nu(E)=\int_Ef\,d\mu=\int_Eg\,d\mu \tag{13}

が成り立つと仮定する。このとき、

f=g

が $\mu$ に関してほとんど至る所で成り立つ。さらに、 $f$ と $g$ が無限大をとる点の集合はそれぞれ $\mu$ -零集合である。

証明. シグマ有限性により、可測集合の列 $(B_k)_{k\geq1}$ で

X=\bigcup_{k=1}^{\infty}B_k, \qquad \nu(B_k)<\infty \tag{14}

を満たすものを固定する。

$Z_{f,k}=B_k\cap\{f=\infty\}$ とおく。各正の整数 $m$ について

m\mathbf{1}_{Z_{f,k}} \leq f\mathbf{1}_{B_k}

が点ごとに成り立つ。積分の単調性、非負単関数の積分の定義、および (13) から

m\mu(Z_{f,k}) \leq \int_{B_k}f\,d\mu = \nu(B_k)<\infty \tag{15}

である。(15) がすべての正の整数 $m$ について成り立つため、 $\mu(Z_{f,k})=0$ である。実際、測度が正の有限値ならば左辺は $m$ とともに任意に大きくなり、測度が無限大ならば左辺は最初から無限大になる。 $g$ についても同じ議論を適用すると、

\mu(Z_{g,k})=0

を得る。したがって、

Z = \bigcup_{k=1}^{\infty}(Z_{f,k}\cup Z_{g,k}) \tag{16}

は $\mu$ -零集合であり、 $X\setminus Z$ 上で $f$ と $g$ はともに有限値をとる。

正の整数 $k,m$ に対して

A_{k,m} = B_k\cap(X\setminus Z)\cap \left\{f\geq g+\frac{1}{m}\right\}

とおく。有限値可測関数の差に関する可測性から $A_{k,m}\in\mathcal{F}$ である。 $A_{k,m}\subseteq B_k$ と (13)、(14) から

\int_{A_{k,m}}f\,d\mu = \int_{A_{k,m}}g\,d\mu = \nu(A_{k,m}) <\infty. \tag{17}

$A_{k,m}$ 上の点ごとの不等式と非負可測関数の積分の単調性および線形性から

\int_{A_{k,m}}f\,d\mu \geq \int_{A_{k,m}}g\,d\mu +\frac{1}{m}\mu(A_{k,m}). \tag{18}

(17) の共通の有限値を (18) の両辺へ代入すると、

\mu(A_{k,m})=0 \tag{19}

を得る。

$x\in X\setminus Z$ が $f(x)>g(x)$ を満たすとする。(14) から $x\in B_k$ を満たす正の整数 $k$ が存在する。 $f(x)-g(x)>0$ であるから、 $1/m\leq f(x)-g(x)$ を満たす正の整数 $m$ が存在する。したがって、

\{f>g\} \subseteq Z\cup\bigcup_{k=1}^{\infty}\bigcup_{m=1}^{\infty}A_{k,m}.

(16) と (19) により $\mu(\{f>g\})=0$ である。 $f$ と $g$ を交換した同じ議論から $\mu(\{g>f\})=0$ を得る。ゆえに $f=g$ が $\mu$ に関してほとんど至る所で成り立つ。

集合 $\{f=\infty\}$ は可測な $\mu$ -零集合である。この集合上だけで $f$ の値を $0$ へ変更した関数は、有限値をとる非負可測関数であり、 $f$ と $\mu$ に関してほとんど至る所で等しい。§E9.6 定理 4.2により、変更後の関数も (13) の $\nu$ を表す。 $g$ についても同じ修正を行うことができる。▨

定理 3.3と定理 4.1を証明した後に、密度の記法を定義することができる。

定義 4.2. 従属選択公理を仮定する。 $(X,\mathcal{F})$ を可測空間とし、 $\mu$ と $\nu$ をその上のシグマ有限な正測度とし、 $\nu\ll\mu$ とする。任意の $E\in\mathcal{F}$ に対して

\nu(E)=\int_Ef\,d\mu

を満たす非負拡張実数値可測関数 $f$ を、 $\nu$ の $\mu$ に関する Radon–Nikodym 密度 (Radon–Nikodym density) または Radon–Nikodym 微分 (Radon–Nikodym derivative) といい、

f=\frac{d\nu}{d\mu}

と書く。この記法は一つの点ごとの関数ではなく、 $\mu$ に関してほとんど至る所で等しい関数の同値類を表す。密度は $\mu$ -零集合上で値を変更し、有限値をとる非負可測関数として選ぶことができる。

密度を用いて定めた測度に関する積分は、もとの測度に関する積分へ戻すことができる。この公式を、後の Lebesgue 分解で絶対連続部分の密度を明示するために用いる。

命題 4.3. $(X,\mathcal{F},\rho)$ を測度空間とし、 $g:X\to[0,\infty]$ を非負拡張実数値可測関数とする。正測度 $\mu$ を

\mu(E)=\int_Eg\,d\rho \qquad(E\in\mathcal{F}) \tag{20}

によって定める。任意の非負拡張実数値可測関数 $h:X\to[0,\infty]$ に対して、

\int_Xh\,d\mu = \int_Xhg\,d\rho \tag{21}

が $[0,\infty]$ において成り立つ。積 $hg$ では $0\cdot\infty=0$ と定める。

証明. $E\in\mathcal{F}$ に対する指示関数では、非負単関数の積分の定義と (20) から

\int_X\mathbf{1}_E\,d\mu = \mu(E) = \int_Eg\,d\rho = \int_X\mathbf{1}_Eg\,d\rho

を得る。

非負単関数

\varphi=\sum_{i=1}^{m}c_i\mathbf{1}_{E_i}

を相異なる値による表示で書く。非負可測関数の積分の有限線形性と、指示関数について証明した等式から

\int_X\varphi\,d\mu = \sum_{i=1}^{m}c_i\mu(E_i) = \sum_{i=1}^{m}c_i\int_{E_i}g\,d\rho = \int_X\varphi g\,d\rho \tag{22}

を得る。 $c_i=0$ かつ $g=\infty$ となる点では、両辺で $0\cdot\infty=0$ を用いる。

§E9.5 定理 5.3により、 $0\leq\varphi_n\uparrow h$ を満たす非負単関数列を選ぶ。各 $\varphi_ng$ は、 $\varphi_n$ の値ごとの可測分割上で $g$ の非負定数倍に等しいため可測である。また、規約 $0\cdot\infty=0$ のもとで

\varphi_ng\uparrow hg

が点ごとに成り立つ。単調収束定理と (22) により、

\begin{aligned} \int_Xh\,d\mu &= \lim_{n\to\infty}\int_X\varphi_n\,d\mu\\ &= \lim_{n\to\infty}\int_X\varphi_ng\,d\rho\\ &= \int_Xhg\,d\rho. \end{aligned}

したがって、(21) が成り立つ。▨

5 Lebesgue 分解

二つのシグマ有限な正測度 $\nu$ と $\mu$ を加えて

\rho=\nu+\mu

とおく。 $\nu$ と $\mu$ はともに $\rho$ に関して絶対連続であるため、それぞれを $\rho$ に関する密度 $f$ と $g$ で表すことができる。集合 $\{g>0\}$ では $\mu$ が $\rho$ の零集合を検出し、集合 $\{g=0\}$ では $\mu$ が零になる。この二集合に $\nu$ を制限することにより、絶対連続部分と特異部分を構成する。

5.1 Lebesgue 分解の証明方針

最初に、 $\rho$ がシグマ有限であることを、 $\mu$ と $\nu$ に共通する有限可測分割から証明する。 Radon–Nikodym の定理を二度適用し、

\nu(E)=\int_Ef\,d\rho, \qquad \mu(E)=\int_Eg\,d\rho

を得る。 $A=\{g>0\}$ と $S=\{g=0\}$ に対して

\nu_{\mathrm a}(E)=\nu(E\cap A), \qquad \nu_{\mathrm s}(E)=\nu(E\cap S)

と定める。 $\mu(E)=0$ ならば、集合 $\{g\geq1/n\}$ 上で $\rho(E)=0$ を導くことにより $\nu_{\mathrm a}\ll\mu$ を示す。 $\mu(S)=0$ であり、 $\nu_{\mathrm s}$ は $S$ に集中するため $\nu_{\mathrm s}\perp\mu$ となる。

一意性では、二つの特異部分が集中する $\mu$ -零集合の和を除く。その補集合では両方の特異部分が零になるので、二つの絶対連続部分が一致する。特異部分の一致を導く際には、 $\nu$ が有限となる可測分割上で有限値だけを差し引く。したがって、一意性の証明にも $\infty-\infty$ は現れない。

定理 5.1 (シグマ有限な正測度の Lebesgue 分解). 従属選択公理を仮定する。 $(X,\mathcal{F})$ を可測空間とし、 $\mu$ と $\nu$ をその上のシグマ有限な正測度とする。このとき、 $(X,\mathcal{F})$ 上の正測度 $\nu_{\mathrm a}$ と $\nu_{\mathrm s}$ の組で

\nu=\nu_{\mathrm a}+\nu_{\mathrm s}, \qquad \nu_{\mathrm a}\ll\mu, \qquad \nu_{\mathrm s}\perp\mu \tag{23}

を満たすものが一意に存在する。両成分はシグマ有限である。

具体的には、 $\rho=\nu+\mu$ とし、

f=\frac{d\nu}{d\rho}, \qquad g=\frac{d\mu}{d\rho}

を選ぶ。可測集合

A=\{x\in X\mid g(x)>0\}, \qquad S=\{x\in X\mid g(x)=0\}

に対して

\nu_{\mathrm a}(E)=\nu(E\cap A), \qquad \nu_{\mathrm s}(E)=\nu(E\cap S) \qquad(E\in\mathcal{F}) \tag{24}

と定めることができる。

さらに、

h(x) = \begin{cases} \dfrac{f(x)}{g(x)},&0<g(x)<\infty,\\ 0,&g(x)=0\text{ または }g(x)=\infty \end{cases} \tag{25}

とおくと、 $h$ は非負拡張実数値可測関数であり、

\nu_{\mathrm a}(E)=\int_Eh\,d\mu \qquad(E\in\mathcal{F}) \tag{26}

が成り立つ。したがって、 $h$ は $d\nu_{\mathrm a}/d\mu$ の一つの代表である。

証明. 各 $E\in\mathcal{F}$ に対して

\rho(E)=\nu(E)+\mu(E)

と定める。 $\rho(\emptyset)=0$ である。互いに交わらない可測集合列 $(E_k)_{k\geq1}$ に対して、非負項級数の結合法則と $\nu,\mu$ の可算加法性から

\begin{aligned} \rho\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}E_k\right) &= \sum_{k=1}^{\infty}\nu(E_k)+\sum_{k=1}^{\infty}\mu(E_k)\\ &= \sum_{k=1}^{\infty}\bigl(\nu(E_k)+\mu(E_k)\bigr)\\ &= \sum_{k=1}^{\infty}\rho(E_k) \end{aligned}

を得る。したがって、 $\rho$ は正測度である。

補題 3.2により、二つずつ交わらない可測集合の列 $(D_k)_{k\geq1}$ で $X$ を覆い、 $\nu(D_k)<\infty$ かつ $\mu(D_k)<\infty$ を満たすものが存在する。各 $k$ について

\rho(D_k)=\nu(D_k)+\mu(D_k)<\infty

なので、 $\rho$ はシグマ有限である。

$\rho(E)=0$ ならば、非負拡張実数の和

0=\nu(E)+\mu(E)

から $\nu(E)=\mu(E)=0$ が従う。したがって、

\nu\ll\rho, \qquad \mu\ll\rho.

定理 3.3を二度適用し、非負拡張実数値可測関数 $f,g$ を

\nu(E)=\int_Ef\,d\rho, \qquad \mu(E)=\int_Eg\,d\rho \qquad(E\in\mathcal{F}) \tag{27}

を満たすように選ぶ。二つの関数を選ぶ操作は有限選択であり、この操作のために可算選択公理を追加して用いる必要はない。

$A=\{g>0\}$ と $S=\{g=0\}$ は可測であり、 $X=A\mathbin{\sqcup}S$ である。(24) によって $\nu_{\mathrm a}$ と $\nu_{\mathrm s}$ を定める。正測度を可測集合へ制限した集合関数は正測度である。実際、空集合の値は $0$ であり、互いに交わらない可測集合列と $A$ または $S$ との共通部分をとって $\nu$ の可算加法性を適用すればよい。任意の $E\in\mathcal{F}$ に対して

E=(E\cap A)\mathbin{\sqcup}(E\cap S)

であるから、

\nu(E)=\nu_{\mathrm a}(E)+\nu_{\mathrm s}(E). \tag{28}

$\nu_{\mathrm s}$ は $S$ に集中する。さらに、(27) と $S$ 上の等式 $g=0$ から

\mu(S)=\int_Sg\,d\rho=0.

§E9.14 定義 4.1により

\nu_{\mathrm s}\perp\mu \tag{29}

である。

$\nu_{\mathrm a}\ll\mu$ を示す。 $E\in\mathcal{F}$ が $\mu(E)=0$ を満たすとし、各正の整数 $n$ に対して

A_n=\left\{g\geq\frac{1}{n}\right\}

とおく。積分の単調性と (27) により、

0 = \mu(E\cap A_n) = \int_{E\cap A_n}g\,d\rho \geq \frac{1}{n}\rho(E\cap A_n).

したがって、 $\rho(E\cap A_n)=0$ である。 $A=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n$ なので、 $\rho$ の可算劣加法性から $\rho(E\cap A)=0$ を得る。 $\nu\leq\rho$ であるため、

\nu_{\mathrm a}(E) = \nu(E\cap A) \leq \rho(E\cap A) =0.

ゆえに、

\nu_{\mathrm a}\ll\mu. \tag{30}

両成分のシグマ有限性を確認する。前に固定した $(D_k)$ は $X$ を覆い、

\nu_{\mathrm a}(D_k)\leq\nu(D_k)<\infty, \qquad \nu_{\mathrm s}(D_k)\leq\nu(D_k)<\infty

を満たす。したがって、 $\nu_{\mathrm a}$ と $\nu_{\mathrm s}$ はシグマ有限である。

次に、(25) と (26) を証明する。 $a\geq0$ に対して

\{h>a\} = \{0<g<\infty\}\cap\{f>ag\}

である。非負拡張実数値可測関数の正の有限定数倍は可測であり、

\{f>ag\} = \bigcup_{q\in\mathbb{Q}} \bigl(\{f>q\}\cap\{ag<q\}\bigr)

であるから、 $\{h>a\}$ は可測である。 $a<0$ ならば $\{h>a\}=X$ である。したがって、 $h$ は非負拡張実数値可測関数である。

$\mu$ はシグマ有限であり、 $g$ は (27) によって $\mu$ を $\rho$ に関する積分として表す。定理 4.1の有限性に関する結論により、

Z_g=\{g=\infty\}

は $\rho$ -零集合である。 $X\setminus Z_g$ 上では

hg=f\mathbf{1}_A

が点ごとに成り立つ。命題 4.3を (27) の $\mu$ の表示へ適用し、§E9.6 定理 4.2を用いると、

\begin{aligned} \int_Eh\,d\mu &= \int_Ehg\,d\rho\\ &= \int_Ef\mathbf{1}_A\,d\rho\\ &= \int_{E\cap A}f\,d\rho\\ &= \nu(E\cap A) = \nu_{\mathrm a}(E) \end{aligned}

を得る。したがって、(26) が成り立つ。

最後に、一意性を証明する。正測度 $\alpha,\sigma$ が

\nu=\alpha+\sigma, \qquad \alpha\ll\mu, \qquad \sigma\perp\mu \tag{31}

を満たすと仮定する。(29) により $\nu_{\mathrm s}$ は $\mu$ と相互特異である。相互特異性の定義から、可測集合 $T_0,T_1\in\mathcal{F}$ が存在して

\nu_{\mathrm s}(X\setminus T_0)=0, \qquad \mu(T_0)=0, \qquad \sigma(X\setminus T_1)=0, \qquad \mu(T_1)=0

となる。 $T=T_0\cup T_1$ とおく。 $\mu(T)=0$ であり、 $\nu_{\mathrm s}$ と $\sigma$ はともに $T$ に集中する。

$\nu_{\mathrm a}\ll\mu$ 、 $\alpha\ll\mu$ 、および $\mu(T)=0$ から、

\nu_{\mathrm a}(E\cap T)=\alpha(E\cap T)=0 \qquad(E\in\mathcal{F}) \tag{32}

である。 $E\setminus T$ 上では二つの特異部分がともに零になるため、(28) と (31) から

\nu_{\mathrm a}(E\setminus T) = \nu(E\setminus T) = \alpha(E\setminus T)

を得る。(32) と有限加法性により

\nu_{\mathrm a}(E)=\alpha(E) \qquad(E\in\mathcal{F}) \tag{33}

である。この段階では非負測度へ零を足した等式だけを用いており、無限量の差をとっていない。

特異部分の一致では、前に固定した共通有限分割 $(D_k)$ を用いる。 $E\in\mathcal{F}$ と正の整数 $k$ を固定し、 $C=E\cap D_k$ とおく。(28) と (31) から

\nu(C) = \nu_{\mathrm a}(C)+\nu_{\mathrm s}(C) = \alpha(C)+\sigma(C).

すべての項は $\nu(D_k)<\infty$ 以下であり、(33) により $\nu_{\mathrm a}(C)=\alpha(C)$ である。有限実数の等式から共通項を差し引くと、

\nu_{\mathrm s}(E\cap D_k)=\sigma(E\cap D_k).

集合列 $(D_k)$ は二つずつ交わらず $X$ を覆うため、可算加法性から

\nu_{\mathrm s}(E) = \sum_{k=1}^{\infty}\nu_{\mathrm s}(E\cap D_k) = \sum_{k=1}^{\infty}\sigma(E\cap D_k) = \sigma(E).

(33) と合わせて $\alpha=\nu_{\mathrm a}$ かつ $\sigma=\nu_{\mathrm s}$ を得る。存在と一意性がともに示された。▨

例 5.2 (有限集合上の Lebesgue 分解). $X=\{1,2,3\}$ 、 $\mathcal{F}=\mathcal{P}(X)$ とし、

\mu=\delta_1+2\delta_2, \qquad \nu=3\delta_1+\delta_2+5\delta_3

とする。 $\mu(\{3\})=0$ である一方、 $\nu(\{3\})=5$ であるため、 $\nu\ll\mu$ は成り立たない。

正測度

\nu_{\mathrm a}=3\delta_1+\delta_2, \qquad \nu_{\mathrm s}=5\delta_3

は $\nu=\nu_{\mathrm a}+\nu_{\mathrm s}$ を満たす。 $\mu(E)=0$ ならば $E\subseteq\{3\}$ であり、 $\nu_{\mathrm a}(E)=0$ なので $\nu_{\mathrm a}\ll\mu$ である。 $\nu_{\mathrm s}$ は $\{3\}$ に集中し、 $\mu(\{3\})=0$ であるから $\nu_{\mathrm s}\perp\mu$ である。定理 5.1の一意性により、この組が Lebesgue 分解である。

関数

h(1)=3,\qquad h(2)=\frac12,\qquad h(3)=0

に対して、任意の $E\subseteq X$ について

\int_Eh\,d\mu = 3\mathbf{1}_{\{1\in E\}}+\mathbf{1}_{\{2\in E\}} = \nu_{\mathrm a}(E)

である。したがって、 $h$ は $d\nu_{\mathrm a}/d\mu$ の一つの代表である。

6 仮定と選択原理の役割

証明で用いた仮定の役割を分離すると、有限測度の場合とシグマ有限な場合の違いが明確になる。

注意 6.1 (各仮定と定理の使用箇所). 本記事では、各仮定と既証明の定理を次の箇所で用いた。

絶対連続性 $\nu\ll\mu$ は、有限測度の場合の残差 $\lambda=\nu-\lambda_f$ が $\lambda\ll\mu$ を満たすことを導く。最大性から $\mu(P_n)=0$ を得た後に $\lambda(P_n)=0$ を結論するため、この絶対連続性が必要である。
Hahn 分解は、残差 $\lambda$ と $\mu/n$ の大小を可測集合 $P_n,N_n$ 上で一方向に固定する。正集合 $P_n$ は候補関数を増加させる場所を与え、負集合 $N_n$ は $\lambda(N_n)\leq\mu(N_n)/n$ を与える。
単調収束定理は三度用いる。第一に、 $f$ から定まる集合関数 $\lambda_f$ の可算加法性を示す。第二に、候補関数の増加列の極限が候補族に残り、最大積分値を達成することを示す。第三に、シグマ有限な場合の局所密度を貼り合わせて全体の積分公式を得る。
有限性は、残差を未定義な差なしに定め、最大積分値を有限にし、 $\lambda(X)\leq\mu(X)/n$ から $\lambda=0$ を導く。シグマ有限性は、有限測度の場合の定理を適用する共通可測分割を与える。また、密度の一意性では、表される測度が有限となる可測被覆を与え、密度が有限値をとる領域で積分を比較することを可能にする。

注意 6.2 (選択原理の使用箇所). 本記事は従属選択公理を仮定する。従属選択公理の第一の用途は、§E9.14 定理 3.2が仮定する選択原理を満たすことである。同定理の Hahn 分解の構成自体が従属選択公理を用いる。

§E1.20 定理 4.6により、従属選択公理から可算選択公理が従う。有限測度の場合には、積分値が上限へ近づく候補関数 $h_n$ をすべての $n$ について同時に選ぶ箇所と、符号付き測度 $\lambda-\mu/n$ の Hahn 分解をすべての $n$ について同時に選ぶ箇所で可算選択公理を用いた。シグマ有限な場合には、各有限測度部分の密度 $f_k$ を同時に選ぶ箇所で可算選択公理を用いた。

二つのシグマ有限測度に共通する有限可測分割は、シグマ有限性の証人として与えられた二列を交差させ、正の整数の組を明示的に番号づけて構成した。この番号づけと非交和化には選択原理を用いない。 Lebesgue 分解で二つの密度 $f,g$ を選ぶ操作は有限選択である。密度の一意性の証明には、新たな選択原理を用いない。

7 演習

次の各問では、使用する有限性、絶対連続性、および選択原理を明記する。

問題 7.1.

命題 1.2の可算加法性を再構成せよ。互いに交わらない可測集合列 $(E_k)$ に対して用いる増加関数列を明記し、単調収束定理を適用することができる理由を述べよ。
補題 2.2の証明を再構成せよ。点ごとの最大が可測であることと、候補条件を適用する二つの可測集合が互いに交わらないことの双方を示せ。
定理 2.3の残差 $\lambda$ について、 $\lambda-\mu/n$ の Hahn 分解 $X=P_n\sqcup N_n$ から $f+\mathbf{1}_{P_n}/n$ が候補族に属することを証明せよ。その後、最大性と絶対連続性を用いて $\lambda(P_n)=0$ を導き、 $\lambda(X)\leq\mu(X)/n$ へ至る不等式をすべて書け。
定理 3.3で、局所密度 $f_k$ の零延長の和が可測であることを示せ。さらに、任意の $E\in\mathcal{F}$ について、単調収束定理と $\nu$ の可算加法性を用いて $\int_Ef\,d\mu=\nu(E)$ を導け。
定理 4.1の証明で、密度が無限大をとる集合を先に除く理由を説明せよ。可算閾値集合 $A_{k,m}$ 上の積分を比較し、 $\{f>g\}$ が零集合であることを証明せよ。
定理 5.1の存在証明で、 $\mu(E)=0$ から $\rho(E\cap\{g\geq1/n\})=0$ を導き、 $\nu_{\mathrm a}\ll\mu$ を証明せよ。一意性の証明では、特異部分を差し引く前に $\nu$ が有限となる分割へ制限する必要がある理由を述べよ。

8 まとめ

非負可測関数 $f$ は、集合 $E$ を $\int_Ef\,d\mu$ へ対応させる正測度を定める。この測度の可算加法性は単調収束定理から従い、同測度は $\mu$ に関して絶対連続である。

有限正測度 $\nu\ll\mu$ に対しては、 $\nu$ 以下の積分測度を与える候補関数の積分値を最大化した。最大関数が残す正測度 $\lambda$ へ Hahn 分解を適用すると、残差が非零であれば候補関数をさらに増加させることができる。有限性により $\lambda(X)\leq\mu(X)/n$ をすべての正の整数 $n$ について得るため、残差は零測度である。

シグマ有限な場合には、 $\mu$ と $\nu$ の双方が有限になる共通可測分割を用いた。各部分の密度を零延長し、単調収束定理によって貼り合わせると全体の密度が得られる。表される測度のシグマ有限性を用いると、二つの密度は $\mu$ に関してほとんど至る所で一致し、密度は有限値をとる代表へ修正することができる。

$\rho=\nu+\mu$ に対する二つの密度を用いると、 $g=d\mu/d\rho$ が正である部分と零である部分に $X$ を分けることができる。 $\nu$ を二部分へ制限して得られる

\nu=\nu_{\mathrm a}+\nu_{\mathrm s}

は、 $\nu_{\mathrm a}\ll\mu$ かつ $\nu_{\mathrm s}\perp\mu$ を満たす一意な Lebesgue 分解である。本記事は正測度の分解だけを扱い、符号付き測度または複素測度の分解を主張しない。

§E9.15Radon–Nikodym の定理と Lebesgue 分解

1 非負可測関数から定まる測度

2 有限正測度に対する定理

2.1 有限測度の場合の証明方針

3 シグマ有限な正測度への拡張

3.1 シグマ有限な場合の証明方針

4 密度の一意性

5 Lebesgue 分解

5.1 Lebesgue 分解の証明方針

6 仮定と選択原理の役割

7 演習

8 まとめ

参考文献

前提記事