§C5.7競技数学：凸性による不等式

証明. 1 から 2 を導く。$a<b<c$を$I$の点とし、$t=\dfrac{c-b}{c-a}$とおく。$0<t<1$であり、$1-t=\dfrac{b-a}{c-a}$、$b=ta+(1-t)c$である。下に凸であることから

が成り立つ。両辺から$f(a)$を引くと$f(b)-f(a)\le(1-t)\bigl(f(c)-f(a)\bigr)$となり、正の数$b-a=(1-t)(c-a)$で割ると

を得る。また、両辺から$f(c)$を引くと$f(b)-f(c)\le t\bigl(f(a)-f(c)\bigr)$となり、両辺に$-1$を掛けて正の数$c-b=t(c-a)$で割ると

を得る。二つを合わせると 2 が従う。

2 から 1 を導く。$I$の二点と$0\le t\le1$を取る。二点が一致する場合と、$t=0$または$t=1$の場合は、定義の両辺が一致するので成り立つ。以下、二点が相異なり$0<t<1$であるとする。定義の式は、二点を入れ替えると同時に$t$を$1-t$へ取り替えることで移り合うので、二点のうち小さいほうを$a$、大きいほうを$c$と置いてよいものとする。$b=ta+(1-t)c$とおくと$a<b<c$であり、$b-a=(1-t)(c-a)$、$c-b=t(c-a)$である。 2 の両辺へ正の数$t(1-t)(c-a)$を掛けると

となり、整理すると$f(b)\le tf(a)+(1-t)f(c)$を得る。これが 1 である。

狭義の場合も、上の二つの計算で不等号をすべて狭義のものに置き換えれば、同じように従う。▨

証明. $f(x)=x^{n}$について。$0\le a<b$に対して、因数分解

から、弦の傾きは$S(a,b)=a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+b^{n-1}$である。$0\le a<b<c$とすると、$S(a,b)$の各項$a^{i}b^{j}$（$i+j=n-1$）と$S(b,c)$の対応する項$b^{i}c^{j}$について、$0\le a<b$から$a^{i}\le b^{i}$、$0<b<c$から$b^{j}\le c^{j}$が成り立つので$a^{i}b^{j}\le b^{i}c^{j}$である。さらに$i=0$の項は$b^{n-1}$と$c^{n-1}$であり、$0<b<c$と$n-1\ge1$から$b^{n-1}<c^{n-1}$である。よって$S(a,b)<S(b,c)$となり、定理 2.1の狭義の条件が成り立つ。

$g(x)=1/x$について。$0<a<b$に対して弦の傾きは

である。$0<a<b<c$とすると$ab<bc$なので$\dfrac{1}{ab}>\dfrac{1}{bc}$、すなわち$-\dfrac{1}{ab}<-\dfrac{1}{bc}$である。よって狭義の条件が成り立つ。▨

証明. はじめに、左辺が定義されることを確かめる。$x_{i}$の最小値を$m$、最大値を$M$とすると$m\le\sum_{i}w_{i}x_{i}\le M$であり、$m$と$M$は$I$の点で$I$は区間なので、$\sum_{i}w_{i}x_{i}$は$I$に属する。

$n$についての帰納法で示す。$n=1$のときは両辺が一致する。$n=2$のときは$w_{1}=t$とおけば下に凸であることの定義そのものであり、狭義の場合の等号の条件も定義 1.2のとおりである。

$n$個の場合に成り立つとして、$n+1$個の場合を示す。$w_{n+1}=1$のときは他の$w_{i}$がすべて$0$なので両辺が一致する。$w_{n+1}<1$とし、$s=w_{1}+\cdots+w_{n}=1-w_{n+1}>0$、$v_{i}=\dfrac{w_{i}}{s}$（$i=1,\dots,n$）とおくと、$v_{i}\ge0$で$v_{1}+\cdots+v_{n}=1$である。$y=\sum_{i=1}^{n}v_{i}x_{i}$は、上と同じ理由で$I$に属する。

であり、$s+w_{n+1}=1$なので、下に凸であることから

が成り立つ。帰納法の仮定から$f(y)\le\sum_{i=1}^{n}v_{i}f(x_{i})$であり、両辺へ正の数$s$を掛けて$w_{n+1}f(x_{n+1})$を加えると

となる。二つをつないで主張の不等式を得る。

等号を調べる。$f$が狭義に下に凸で、すべての$w_{i}$が正であるとする。$n+1$個の場合に等号が成り立つとすると、上の二つの不等式がいずれも等号でなければならない。第一の不等式は、$s>0$と$w_{n+1}>0$を重みとする二点についての評価なので、狭義に下に凸であることから$y=x_{n+1}$が従う。第二の不等式が等号であることと帰納法の仮定から$x_{1}=\cdots=x_{n}$が従い、このとき$y=x_{1}$である。よって$x_{1}=\cdots=x_{n+1}$である。逆に、すべての$x_{i}$が等しければ両辺は一致する。▨

証明.$g(x)=\dfrac1x$は$(0,\infty)$上で狭義に下に凸である（例 2.2）。$x_{1}=a$、$x_{2}=b$、$x_{3}=c$、$w_{1}=w_{2}=w_{3}=\dfrac13$として定理 3.1を適用すると

である。$a+b+c=1$から左辺は$g\left(\dfrac13\right)=3$なので、$\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c\ge9$を得る。重みはすべて正で$g$は狭義に下に凸なので、等号は$a=b=c$の場合に限り、$a+b+c=1$と合わせて$a=b=c=\dfrac13$である。▨

証明. 各$i$について$f(x_{i})\ge f(p)+m(x_{i}-p)$が成り立つので、$i$について加えると

である。最後の等式は$\sum_{i}x_{i}=np$から従う。

等号について考える。$d_{i}=f(x_{i})-f(p)-m(x_{i}-p)$とおくと、仮定から$d_{i}\ge0$であり、上の計算は$\sum_{i}f(x_{i})-nf(p)=\sum_{i}d_{i}$を与える。$0$以上の数の和が$0$になるのは、すべての項が$0$の場合に限る。▨

証明. すべての$t>0$について

が成り立つ。よって

であり、等号は$t=1$の場合に限る。$a+b+c=3$なので、定理 4.1を$p=1$、$m=-\dfrac12$、$n=3$として適用すると

を得る。等号は$a=b=c=1$の場合に限る。▨

証明.$w_{i}$の分母の公倍数を$N$と取り、$w_{i}=\dfrac{k_{i}}{N}$（$k_{i}$は正の整数）と書く。$k_{1}+\cdots+k_{m}=N$である。$a_{i}$を$k_{i}$個ずつ並べた$N$個の正の実数へ、不等式の発展的手法 が証明した$N$変数の相加平均と相乗平均の関係を適用すると

が成り立つ。左辺は$\sum_{i}w_{i}a_{i}$であり、右辺は$\prod_{i}a_{i}^{k_{i}/N}=\prod_{i}a_{i}^{w_{i}}$である。等号は$N$個の数がすべて等しい場合に限り、それは$a_{1}=\cdots=a_{m}$と同値である。▨

証明. 第1段：$p=1$の場合。$u>0$とする。$\beta>1$なので$\dfrac1\beta$と$1-\dfrac1\beta$はいずれも正の有理数であり、和は$1$である。二つの正の実数$u^{\beta}$と$1$へ定理 5.2を適用すると

である。両辺へ正の数$\beta$を掛けて整理すると

を得る。等号は$u^{\beta}=1$、すなわち$u=1$の場合に限る。

第2段：一般の$p$。$u=\dfrac{x}{p}$とおいて第1段の不等式の両辺へ正の数$p^{\beta}$を掛けると

となり、等号は$x=p$の場合に限る。

第3段：凸性。$(0,\infty)$の相異なる二点$a,b$と$0<t<1$を取り、$x_{0}=ta+(1-t)b$、$m=\beta x_{0}^{\beta-1}$とおく。$x_{0}$は$a$と$b$の間にあるので$a\ne x_{0}$かつ$b\ne x_{0}$であり、$p=x_{0}$とした第2段の不等式は$a$と$b$に対して狭義に成り立つ。よって

である。最後の等式は$ta+(1-t)b=x_{0}$から従う。したがって$f$は狭義に下に凸である。▨

証明.$x_{i}$を固定し、指数を明示するために$M_{r}(x)$と書く。

第1段：$0<r<s$の場合。$\beta=\dfrac{s}{r}$は$1$より大きい有理数なので、定理 5.3により$x^{\beta}$は$(0,\infty)$上で狭義に下に凸である。$y_{i}=x_{i}^{r}>0$と重み$w_{i}=\dfrac1n$に対して定理 3.1を適用すると

である。両辺は正であり、$s>0$なので$\dfrac1s$乗を取っても不等号の向きは変わらない。よって$M_{r}(x)\le M_{s}(x)$である。等号は$y_{1}=\cdots=y_{n}$の場合に限り、それは$x_{1}=\cdots=x_{n}$と同値である。

第2段：$r=0<s$の場合。$a_{i}=x_{i}^{s}$、$w_{i}=\dfrac1n$として定理 5.2を適用すると

である。左辺は$\left(\prod_{i}x_{i}\right)^{s/n}=M_{0}(x)^{s}$なので、$M_{0}(x)^{s}\le M_{s}(x)^{s}$が成り立つ。両辺は正で$s>0$なので$M_{0}(x)\le M_{s}(x)$である。等号は$x_{i}^{s}$がすべて等しい場合、すなわち$x_{1}=\cdots=x_{n}$の場合に限る。

第3段：残りの場合。$y_{i}=\dfrac{1}{x_{i}}$とおくと、$0$でない有理数$\rho$について

が成り立ち、$M_{0}(y)=\dfrac{1}{M_{0}(x)}$も成り立つ。

$r<s\le0$とすると$0\le-s<-r$なので、第1段または第2段を$y$へ適用して$M_{-s}(y)\le M_{-r}(y)$、すなわち$\dfrac{1}{M_{s}(x)}\le\dfrac{1}{M_{r}(x)}$を得る。両辺は正なので$M_{r}(x)\le M_{s}(x)$である。

$r<0<s$の場合は、いま示したことから$M_{r}(x)\le M_{0}(x)$であり、第2段から$M_{0}(x)\le M_{s}(x)$なので、二つをつないで$M_{r}(x)\le M_{s}(x)$を得る。

いずれの場合も、等号は第1段または第2段の等号に帰着し、$x_{1}=\cdots=x_{n}$の場合に限る。▨