§E16.16Peano 算術の非標準モデル

証明.$L_A(c)$理論

を考える。ここで$\operatorname{Th}(\mathbb N)$の各文は、新しい定数$c$を含まない$L_A(c)$文とみなす。

$T^*$の任意の有限部分集合$T_0$を取る。$T_0$に現れる不等式$\overline n<c$の添字は有限個なので、それらすべてより大きい標準自然数$N$を選ぶことができる。$\mathbb N$を$L_A(c)$構造へ展開し、$c$の値を$N$と解釈する。$T_0\cap\operatorname{Th}(\mathbb N)$の各文は定義により$\mathbb N$で真であり、$c$の解釈に依存しない。また、$T_0$に現れる各$\overline n<c$について$n<N$なので、その不等式もこの展開で真である。したがって$T^*$の各有限部分集合は充足可能である。

§E16.13 定理 1.1により、$T^*$を満たす$L_A(c)$構造$M^*$が存在する。$M$を$M^*$の$L_A$への還元とし、$a=c^{M^*}$とおく。$M^*\models\operatorname{Th}(\mathbb N)$なので、任意の$L_A$文$\sigma$について

逆に$\mathbb N\not\models\sigma$なら$\neg\sigma\in\operatorname{Th}(\mathbb N)$なので$M\models\neg\sigma$、したがって$M\not\models\sigma$である。よってすべての$L_A$文$\sigma$について

すなわち$M\equiv\mathbb N$である。

§E16.15 定理 3.2により$PA$の各公理$\tau$は$\mathbb N$で真である。したがって$\tau\in\operatorname{Th}(\mathbb N)$であり、$M\models\tau$である。すべての公理について同じことが成り立つので$M\models PA$である。

さらに各標準自然数$n$について$M^*\models\overline n<c$である。$\mathbb N\models\forall x\forall y\,(x<y\to x\ne y)$なので、この$L_A$文は$\operatorname{Th}(\mathbb N)$に属し、$M$で真である。したがって$\overline n^M\ne a$である。$a$はどの標準数詞の値とも異なる。

もし$f:M\to\mathbb N$が同型写像ならば、$f(a)=n$を満たす標準自然数$n\in\mathbb N$が存在する。$f$は定数$0$と関数$S$を保つため、$f(\overline n^M)=n$である。$f$の単射性から$a=\overline n^M$となり、直前の結論に反する。よって$M$は$\mathbb N$と同型ではない。▨

証明.$a$を非標準要素とする。特に$a\ne0^M$である。 (Q3) は$\operatorname{Th}(\mathbb N)$に属するので、ある$b\in M$が存在して$a=S^M(b)$となる。$b$が標準要素ならば、$b=\overline n^M$を満たす標準自然数$n\in\mathbb N$が存在し、$a=S^M(\overline n^M)=\overline{n+1}^M$となる。これは$a$の非標準性に反する。よって$b$も非標準要素である。

$\mathbb N\models\forall x\,(x<Sx)$なので、この$L_A$文は$\operatorname{Th}(\mathbb N)$に属し、$M$で真である。特に$M\models b<S^M(b)$であり、$a=S^M(b)$なので$b<a$である。任意の非標準要素$a$より小さい非標準要素$b$が存在するため、非標準部分に最小要素はない。▨