随伴 | 圏論 I | 天游ヶ丘数理学院

1 随伴の定義

対応を与えるのは、各対象の組ごとに定まる hom 集合の間の全単射である。全単射だけを要求すると、対象ごとに無関係な対応を寄せ集めたものも条件を満たしてしまう。射の合成と両立することを要求するのが自然性であり、随伴の内容はこの条件が担う。

定義 1.1. 関手 $F : \mathcal C \to \mathcal D$ と $G : \mathcal D \to \mathcal C$ が随伴 (adjunction) であるとは、 $\mathcal C$ の各対象 $A$ と $\mathcal D$ の各対象 $B$ について全単射

\Phi_{A,B} : \operatorname{Hom}_{\mathcal D}(F(A), B) \longrightarrow \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(A, G(B))

が与えられており、 $\mathcal C$ の任意の射 $a : A' \to A$ 、 $\mathcal D$ の任意の射 $b : B \to B'$ 、および任意の $f \in \operatorname{Hom}_{\mathcal D}(F(A), B)$ について

\Phi_{A',B'}\bigl(b \circ f \circ F(a)\bigr) = G(b) \circ \Phi_{A,B}(f) \circ a \tag{1}

が成り立つことをいう。式 (1) を $\Phi$ の自然性 (naturality) という。このとき $F$ を左随伴 (left adjoint)、 $G$ を右随伴 (right adjoint) といい、 $F \dashv G$ と書く。族 $\Phi = (\Phi_{A,B})$ を随伴の対応 (adjunction correspondence) という。

式 (1) の両辺の型を確かめておく。 $a : A' \to A$ から $F(a) : F(A') \to F(A)$ が定まるので $b \circ f \circ F(a)$ は $F(A') \to B'$ の射であり、左辺は $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(A', G(B'))$ に属する。右辺は $A' \xrightarrow{a} A \xrightarrow{\Phi_{A,B}(f)} G(B) \xrightarrow{G(b)} G(B')$ の合成であり、同じ hom 集合に属する。

式 (1) は二つの変数を同時に動かしている。実際の計算では、片方を恒等射に固定した形を使うことが多い。

命題 1.2. $F : \mathcal C \to \mathcal D$ 、 $G : \mathcal D \to \mathcal C$ を関手とし、各対象の組に全単射 $\Phi_{A,B} : \operatorname{Hom}_{\mathcal D}(F(A), B) \to \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(A, G(B))$ が与えられているとする。次の三つの条件は同値である。

式 (1) が成り立つ。
任意の $a : A' \to A$ と $f : F(A) \to B$ について $\Phi_{A',B}(f \circ F(a)) = \Phi_{A,B}(f) \circ a$ が成り立ち、かつ任意の $b : B \to B'$ と $f : F(A) \to B$ について $\Phi_{A,B'}(b \circ f) = G(b) \circ \Phi_{A,B}(f)$ が成り立つ。
任意の $a : A' \to A$ 、 $b : B \to B'$ 、 $g \in \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(A, G(B))$ について $\Phi^{-1}_{A',B'}\bigl(G(b) \circ g \circ a\bigr) = b \circ \Phi^{-1}_{A,B}(g) \circ F(a) \tag{2}$ が成り立つ。

証明.(1) $\Rightarrow$ (2)を示す。式 (1) で $b = \mathrm{id}_B$ と置くと、 $G(\mathrm{id}_B) = \mathrm{id}_{G(B)}$ であるから第一の等式を得る。式 (1) で $a = \mathrm{id}_A$ と置くと、 $F(\mathrm{id}_A) = \mathrm{id}_{F(A)}$ であるから第二の等式を得る。

(2) $\Rightarrow$ (1)を示す。 $a : A' \to A$ 、 $b : B \to B'$ 、 $f : F(A) \to B$ とする。第一の等式を $b \circ f : F(A) \to B'$ に適用し、続いて第二の等式を $f$ に適用すると

\Phi_{A',B'}\bigl(b \circ f \circ F(a)\bigr) = \Phi_{A,B'}(b \circ f) \circ a = G(b) \circ \Phi_{A,B}(f) \circ a

となる。

(1) $\Rightarrow$ (3)を示す。 $g \in \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(A, G(B))$ に対して $f = \Phi^{-1}_{A,B}(g)$ と置く。式 (1) から $\Phi_{A',B'}(b \circ f \circ F(a)) = G(b) \circ g \circ a$ である。両辺に $\Phi^{-1}_{A',B'}$ を施すと式 (2) を得る。(3) $\Rightarrow$ (1)の道筋も同じであり、 $g = \Phi_{A,B}(f)$ と置いて式 (2) の両辺に $\Phi_{A',B'}$ を施せばよい。▨

2 unit と counit

対応 $\Phi$ の値をすべて記録しなくても、恒等射における値だけで $\Phi$ が復元される。恒等射 $\mathrm{id}_{F(A)}$ と $\mathrm{id}_{G(B)}$ における値に名前を与える。

定義 2.1. $F \dashv G$ を対応 $\Phi$ による随伴とする。 $\mathcal C$ の各対象 $A$ に対して

\eta_A = \Phi_{A, F(A)}\bigl(\mathrm{id}_{F(A)}\bigr) : A \longrightarrow G F(A)

と定め、この族を随伴のunit (unit) という。 $\mathcal D$ の各対象 $B$ に対して

\varepsilon_B = \Phi^{-1}_{G(B), B}\bigl(\mathrm{id}_{G(B)}\bigr) : F G(B) \longrightarrow B

と定め、この族を随伴のcounit (counit) という。これらが自然変換 $\eta : \mathrm{id}_{\mathcal C} \Rightarrow G F$ および $\varepsilon : F G \Rightarrow \mathrm{id}_{\mathcal D}$ を定めることは命題 2.3で証明する。

向きを取り違えないように確かめておく。 $\mathrm{id}_{F(A)} \in \operatorname{Hom}_{\mathcal D}(F(A), F(A))$ に $\Phi_{A, F(A)}$ を施した値は $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(A, GF(A))$ に属するので、 $\eta_A$ は $A$ から $GF(A)$ への射である。 $\mathrm{id}_{G(B)} \in \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(G(B), G(B))$ に $\Phi^{-1}_{G(B), B}$ を施した値は $\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(FG(B), B)$ に属するので、 $\varepsilon_B$ は $FG(B)$ から $B$ への射である。

命題 2.2. $F \dashv G$ を対応 $\Phi$ による随伴とし、 $\eta$ と $\varepsilon$ をその unit と counit とする。このとき、任意の $f \in \operatorname{Hom}_{\mathcal D}(F(A), B)$ と任意の $g \in \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(A, G(B))$ について

\Phi_{A,B}(f) = G(f) \circ \eta_A, \qquad \Phi^{-1}_{A,B}(g) = \varepsilon_B \circ F(g) \tag{3}

が成り立つ。

証明. 第一の等式を示す。命題 1.2 (2)の第二の等式を、対象の組 $(A, F(A))$ における $\mathrm{id}_{F(A)}$ と射 $f : F(A) \to B$ に適用すると

\Phi_{A,B}\bigl(f \circ \mathrm{id}_{F(A)}\bigr) = G(f) \circ \Phi_{A, F(A)}\bigl(\mathrm{id}_{F(A)}\bigr)

となる。左辺は $\Phi_{A,B}(f)$ であり、右辺は $G(f) \circ \eta_A$ である。

第二の等式を示す。命題 1.2 (3)を、対象の組 $(G(B), B)$ における $\mathrm{id}_{G(B)}$ 、射 $a = g : A \to G(B)$ 、および $b = \mathrm{id}_B$ に適用すると

\Phi^{-1}_{A,B}\bigl(G(\mathrm{id}_B) \circ \mathrm{id}_{G(B)} \circ g\bigr) = \mathrm{id}_B \circ \Phi^{-1}_{G(B), B}\bigl(\mathrm{id}_{G(B)}\bigr) \circ F(g)

となる。左辺は $\Phi^{-1}_{A,B}(g)$ であり、右辺は $\varepsilon_B \circ F(g)$ である。▨

式 (3) は、対応 $\Phi$ が unit だけからも counit だけからも復元されることを述べている。

命題 2.3. $F \dashv G$ を対応 $\Phi$ による随伴とする。unit の族 $\eta = (\eta_A)$ は自然変換 $\mathrm{id}_{\mathcal C} \Rightarrow G F$ であり、counit の族 $\varepsilon = (\varepsilon_B)$ は自然変換 $F G \Rightarrow \mathrm{id}_{\mathcal D}$ である。すなわち、任意の $a : A' \to A$ と任意の $b : B \to B'$ について

G F(a) \circ \eta_{A'} = \eta_A \circ a, \qquad b \circ \varepsilon_B = \varepsilon_{B'} \circ F G(b) \tag{4}

が成り立つ。

証明. 第一の等式を示す。命題 1.2 (2)の第一の等式を $f = \mathrm{id}_{F(A)}$ と $a : A' \to A$ に適用すると

\Phi_{A', F(A)}\bigl(F(a)\bigr) = \Phi_{A', F(A)}\bigl(\mathrm{id}_{F(A)} \circ F(a)\bigr) = \Phi_{A, F(A)}\bigl(\mathrm{id}_{F(A)}\bigr) \circ a = \eta_A \circ a

となる。他方、命題 2.2の第一の等式を対象の組 $(A', F(A))$ と射 $F(a) : F(A') \to F(A)$ に適用すると

\Phi_{A', F(A)}\bigl(F(a)\bigr) = G\bigl(F(a)\bigr) \circ \eta_{A'} = G F(a) \circ \eta_{A'}

となる。二つの表示を比べて第一の等式を得る。これは§E21.3 定義 1.1の自然性の条件を、恒等関手 $\mathrm{id}_{\mathcal C}$ から $GF$ への族について書いたものである。

第二の等式を示す。命題 1.2 (3)を $g = \mathrm{id}_{G(B)}$ 、 $a = \mathrm{id}_{G(B)}$ 、 $b : B \to B'$ に適用すると

\Phi^{-1}_{G(B), B'}\bigl(G(b)\bigr) = b \circ \Phi^{-1}_{G(B), B}\bigl(\mathrm{id}_{G(B)}\bigr) \circ F\bigl(\mathrm{id}_{G(B)}\bigr) = b \circ \varepsilon_B

となる。他方、命題 2.2の第二の等式を対象の組 $(G(B), B')$ と射 $G(b) : G(B) \to G(B')$ に適用すると

\Phi^{-1}_{G(B), B'}\bigl(G(b)\bigr) = \varepsilon_{B'} \circ F\bigl(G(b)\bigr) = \varepsilon_{B'} \circ F G(b)

となる。二つの表示を比べて第二の等式を得る。▨

3 三角恒等式

unit と counit は独立ではない。式 (3) を恒等射へ適用すると、両者を結ぶ二つの等式が出る。この二つを満たす自然変換の組からは、逆に随伴が復元される。

3.1 証明方針

出発点は命題 2.2の式 (3) である。第一の主張では、 $\Phi$ と $\Phi^{-1}$ の unit・counit による表示を恒等射へ適用する。 $\Phi_{A,F(A)}(\mathrm{id}_{F(A)}) = \eta_A$ の両辺に $\Phi^{-1}$ を施し、 $\Phi^{-1}$ の表示を用いれば第一の三角恒等式が出る。 $\Phi^{-1}_{G(B),B}(\mathrm{id}_{G(B)}) = \varepsilon_B$ の両辺に $\Phi$ を施し、 $\Phi$ の表示を用いれば第二の三角恒等式が出る。

第二の主張では、式 (3) の二つの表示を今度は $\Phi$ と $\Psi$ の定義として採る。中間目標は $\Psi_{A,B} \circ \Phi_{A,B} = \mathrm{id}$ と $\Phi_{A,B} \circ \Psi_{A,B} = \mathrm{id}$ の二つであり、これが言えれば $\Phi_{A,B}$ は全単射である。本質的な一手は、合成を展開して現れる $\varepsilon_B \circ F G(f)$ を、 $\varepsilon$ の自然性を射 $f : F(A) \to B$ へ適用して $f \circ \varepsilon_{F(A)}$ に置き換えることである。この置き換えによって $f$ が外へ出て、残る $\varepsilon_{F(A)} \circ F(\eta_A)$ が第一の三角恒等式で $\mathrm{id}_{F(A)}$ に消える。もう一方の合成では、 $\eta$ の自然性を射 $g : A \to G(B)$ へ適用して $G F(g) \circ \eta_A$ を $\eta_{G(B)} \circ g$ に置き換え、残る $G(\varepsilon_B) \circ \eta_{G(B)}$ を第二の三角恒等式で消す。自然性の検証も同じ置き換えで済み、最後に unit と counit を計算し直して $\eta$ と $\varepsilon$ に戻ることを確かめる。

定理 3.1. $F : \mathcal C \to \mathcal D$ と $G : \mathcal D \to \mathcal C$ を関手とする。

$F \dashv G$ が対応 $\Phi$ によって与えられ、 $\eta$ と $\varepsilon$ をその unit と counit とすると、 $\mathcal C$ の任意の対象 $A$ と $\mathcal D$ の任意の対象 $B$ について $\varepsilon_{F(A)} \circ F(\eta_A) = \mathrm{id}_{F(A)}, \qquad G(\varepsilon_B) \circ \eta_{G(B)} = \mathrm{id}_{G(B)} \tag{5}$ が成り立つ。式 (5) を三角恒等式という。
逆に、自然変換 $\eta : \mathrm{id}_{\mathcal C} \Rightarrow G F$ と $\varepsilon : F G \Rightarrow \mathrm{id}_{\mathcal D}$ が式 (5) を満たすならば、 $\Phi_{A,B}(f) = G(f) \circ \eta_A$ は $F \dashv G$ を与える対応であり、その unit は $\eta$ 、counit は $\varepsilon$ である。

したがって、hom 集合の自然な全単射による随伴の定義と、三角恒等式を満たす自然変換の組による定義は同値である。

証明.(1)を示す。命題 2.2の第二の等式を対象の組 $(A, F(A))$ と射 $\eta_A : A \to G F(A)$ に適用すると

\Phi^{-1}_{A, F(A)}(\eta_A) = \varepsilon_{F(A)} \circ F(\eta_A)

となる。unit の定義から $\Phi_{A, F(A)}(\mathrm{id}_{F(A)}) = \eta_A$ であり、 $\Phi_{A,F(A)}$ は全単射なので $\Phi^{-1}_{A, F(A)}(\eta_A) = \mathrm{id}_{F(A)}$ である。よって式 (5) の第一の等式を得る。

同様に、命題 2.2の第一の等式を対象の組 $(G(B), B)$ と射 $\varepsilon_B : F G(B) \to B$ に適用すると

\Phi_{G(B), B}(\varepsilon_B) = G(\varepsilon_B) \circ \eta_{G(B)}

となる。counit の定義から $\Phi^{-1}_{G(B), B}(\mathrm{id}_{G(B)}) = \varepsilon_B$ であり、 $\Phi_{G(B),B}$ は全単射なので $\Phi_{G(B), B}(\varepsilon_B) = \mathrm{id}_{G(B)}$ である。よって式 (5) の第二の等式を得る。

(2)を示す。 $\eta$ と $\varepsilon$ を式 (5) を満たす自然変換とし、

\Phi_{A,B} : \operatorname{Hom}_{\mathcal D}(F(A), B) \to \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(A, G(B)), \qquad \Phi_{A,B}(f) = G(f) \circ \eta_A,

\Psi_{A,B} : \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(A, G(B)) \to \operatorname{Hom}_{\mathcal D}(F(A), B), \qquad \Psi_{A,B}(g) = \varepsilon_B \circ F(g)

と定める。型は合っている。 $f : F(A) \to B$ から $G(f) : G F(A) \to G(B)$ が定まり、 $\eta_A : A \to G F(A)$ と合成して $A \to G(B)$ を得る。 $g : A \to G(B)$ から $F(g) : F(A) \to F G(B)$ が定まり、 $\varepsilon_B : F G(B) \to B$ と合成して $F(A) \to B$ を得る。

$\Psi_{A,B} \circ \Phi_{A,B} = \mathrm{id}$ を示す。 $f : F(A) \to B$ に対して

\Psi_{A,B}\bigl(\Phi_{A,B}(f)\bigr) = \varepsilon_B \circ F\bigl(G(f) \circ \eta_A\bigr) = \varepsilon_B \circ F G(f) \circ F(\eta_A)

である。 $\varepsilon$ の自然性を射 $f : F(A) \to B$ に適用すると $\varepsilon_B \circ F G(f) = f \circ \varepsilon_{F(A)}$ であるから、右辺は $f \circ \varepsilon_{F(A)} \circ F(\eta_A)$ に等しい。式 (5) の第一の等式により、これは $f \circ \mathrm{id}_{F(A)} = f$ である。

$\Phi_{A,B} \circ \Psi_{A,B} = \mathrm{id}$ を示す。 $g : A \to G(B)$ に対して

\Phi_{A,B}\bigl(\Psi_{A,B}(g)\bigr) = G\bigl(\varepsilon_B \circ F(g)\bigr) \circ \eta_A = G(\varepsilon_B) \circ G F(g) \circ \eta_A

である。 $\eta$ の自然性を射 $g : A \to G(B)$ に適用すると $G F(g) \circ \eta_A = \eta_{G(B)} \circ g$ であるから、右辺は $G(\varepsilon_B) \circ \eta_{G(B)} \circ g$ に等しい。式 (5) の第二の等式により、これは $\mathrm{id}_{G(B)} \circ g = g$ である。以上で $\Phi_{A,B}$ が全単射であることが示された。

自然性を示す。 $a : A' \to A$ 、 $b : B \to B'$ 、 $f : F(A) \to B$ とすると

\Phi_{A',B'}\bigl(b \circ f \circ F(a)\bigr) = G(b) \circ G(f) \circ G F(a) \circ \eta_{A'}

である。 $\eta$ の自然性を射 $a : A' \to A$ に適用すると $G F(a) \circ \eta_{A'} = \eta_A \circ a$ であるから、右辺は $G(b) \circ G(f) \circ \eta_A \circ a = G(b) \circ \Phi_{A,B}(f) \circ a$ に等しい。これが式 (1) である。

最後に、この対応の unit と counit が $\eta$ と $\varepsilon$ に一致することを確かめる。 $\Phi_{A, F(A)}(\mathrm{id}_{F(A)}) = G(\mathrm{id}_{F(A)}) \circ \eta_A = \eta_A$ である。また $\Phi^{-1}_{G(B), B} = \Psi_{G(B), B}$ であるから $\Phi^{-1}_{G(B), B}(\mathrm{id}_{G(B)}) = \varepsilon_B \circ F(\mathrm{id}_{G(B)}) = \varepsilon_B$ である。▨

4 随伴の一意性

同じ関手に対する随伴が二つあった場合、それらがどの程度異なるかを調べる。答えは、自然同型を除いて一致するというものである。証明では米田埋め込みの充満忠実性を用いる。

命題 4.1. $\mathcal C$ と $\mathcal D$ を局所小圏とする。

$F \dashv G$ かつ $F' \dashv G$ ならば、自然同型 $F \cong F'$ が存在する。
$F \dashv G$ かつ $F \dashv G'$ ならば、自然同型 $G \cong G'$ が存在する。

証明.(1)を示す。 $\Phi$ を $F \dashv G$ の対応、 $\Phi'$ を $F' \dashv G$ の対応とし、

\Theta_{A,B} = (\Phi'_{A,B})^{-1} \circ \Phi_{A,B} : \operatorname{Hom}_{\mathcal D}(F(A), B) \longrightarrow \operatorname{Hom}_{\mathcal D}(F'(A), B)

と置く。二つの全単射の合成であるから $\Theta_{A,B}$ は全単射である。

$A$ を固定する。命題 1.2 (2)の第二の等式を $\Phi$ と $\Phi'$ の双方へ適用すると、 $b : B \to B'$ と $f : F(A) \to B$ について

\Theta_{A,B'}(b \circ f) = (\Phi'_{A,B'})^{-1}\bigl(G(b) \circ \Phi_{A,B}(f)\bigr) = b \circ \Theta_{A,B}(f) \tag{6}

が成り立つ。ここで最後の等号は命題 1.2 (3)を $\Phi'$ 、 $a = \mathrm{id}_A$ 、 $g = \Phi_{A,B}(f)$ に適用したものである。式 (6) は、族 $(\Theta_{A,B})_B$ が共変な hom 関手の間の自然変換 $\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(F(A), -) \Rightarrow \operatorname{Hom}_{\mathcal D}(F'(A), -)$ であることを述べている。

反対圏 $\mathcal D^{\mathrm{op}}$ を考えると、 $\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(X, -)$ は $\mathcal D^{\mathrm{op}}$ の対象 $X$ が定める反変 hom 関手にほかならない。 $\operatorname{Hom}_{\mathcal D^{\mathrm{op}}}(Y, X) = \operatorname{Hom}_{\mathcal D}(X, Y)$ であり $\mathcal D$ は局所小であるから、 $\mathcal D^{\mathrm{op}}$ も局所小であり§E21.6 定理 3.4の仮定を満たす。これを圏 $\mathcal D^{\mathrm{op}}$ へ適用すると、米田埋め込みは充満忠実であるから、 $\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(X, -) \Rightarrow \operatorname{Hom}_{\mathcal D}(Y, -)$ の形の自然変換は、ある射 $u : Y \to X$ によって $f \mapsto f \circ u$ と書かれ、この $u$ は一意である。したがって、 $\Theta_{A,B}(f) = f \circ \alpha_A$ を満たす射 $\alpha_A : F'(A) \to F(A)$ がただ一つ存在する。族 $(\Theta^{-1}_{A,B})_B$ も自然変換である。実際、 $b : B \to B'$ と $f' : F'(A) \to B$ について $\Theta_{A,B'}\bigl(b \circ \Theta^{-1}_{A,B}(f')\bigr) = b \circ f'$ が式 (6) から従うので、両辺に $\Theta^{-1}_{A,B'}$ を施せば $\Theta^{-1}_{A,B'}(b \circ f') = b \circ \Theta^{-1}_{A,B}(f')$ を得る。そこで同じ議論を $\Theta^{-1}$ に対して行うと、 $\Theta^{-1}_{A,B}(f') = f' \circ \beta_A$ を満たす射 $\beta_A : F(A) \to F'(A)$ がただ一つ存在する。

$f = \mathrm{id}_{F(A)}$ に対して $f = \Theta^{-1}_{A, F(A)}(\Theta_{A, F(A)}(f)) = f \circ \alpha_A \circ \beta_A$ であるから $\alpha_A \circ \beta_A = \mathrm{id}_{F(A)}$ である。同様に $f' = \mathrm{id}_{F'(A)}$ に対して $\beta_A \circ \alpha_A = \mathrm{id}_{F'(A)}$ を得る。よって $\alpha_A$ は同型射である。

$\alpha$ の自然性を示す。 $a : A' \to A$ とする。命題 1.2 (2)の第一の等式を $\Phi$ に、命題 1.2 (3)を $\Phi'$ に適用すると、 $f : F(A) \to B$ について

\Theta_{A',B}\bigl(f \circ F(a)\bigr) = (\Phi'_{A',B})^{-1}\bigl(\Phi_{A,B}(f) \circ a\bigr) = \Theta_{A,B}(f) \circ F'(a)

が成り立つ。ここで $B = F(A)$ 、 $f = \mathrm{id}_{F(A)}$ と置くと、左辺は $\Theta_{A', F(A)}(F(a)) = F(a) \circ \alpha_{A'}$ 、右辺は $\alpha_A \circ F'(a)$ である。よって $F(a) \circ \alpha_{A'} = \alpha_A \circ F'(a)$ であり、 $\alpha : F' \Rightarrow F$ は自然変換である。各成分が同型射であるから、これは自然同型である。

(2)を示す。 $\Phi$ を $F \dashv G$ の対応、 $\Phi''$ を $F \dashv G'$ の対応とし、

\Xi_{A,B} = \Phi''_{A,B} \circ (\Phi_{A,B})^{-1} : \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(A, G(B)) \longrightarrow \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(A, G'(B))

と置く。 $B$ を固定する。命題 1.2 (3)を $\Phi$ に、命題 1.2 (2)の第一の等式を $\Phi''$ に適用すると、 $a : A' \to A$ と $g : A \to G(B)$ について

\Xi_{A',B}(g \circ a) = \Phi''_{A',B}\bigl((\Phi_{A,B})^{-1}(g) \circ F(a)\bigr) = \Xi_{A,B}(g) \circ a

が成り立つ。すなわち族 $(\Xi_{A,B})_A$ は反変 hom 関手の間の自然変換 $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(-, G(B)) \Rightarrow \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(-, G'(B))$ である。§E21.6 定理 3.4の充満忠実性により、 $\Xi_{A,B}(g) = \gamma_B \circ g$ を満たす射 $\gamma_B : G(B) \to G'(B)$ がただ一つ存在する。

族 $(\Xi^{-1}_{A,B})_A$ も自然変換である。実際、 $a : A' \to A$ と $g' : A \to G'(B)$ について、上の等式を $g = \Xi^{-1}_{A,B}(g')$ に適用すると $\Xi_{A',B}\bigl(\Xi^{-1}_{A,B}(g') \circ a\bigr) = g' \circ a$ であり、両辺に $\Xi^{-1}_{A',B}$ を施すと $\Xi^{-1}_{A',B}(g' \circ a) = \Xi^{-1}_{A,B}(g') \circ a$ を得る。そこで§E21.6 定理 3.4を $\Xi^{-1}$ に対しても適用すると、 $\Xi^{-1}_{A,B}(g') = \delta_B \circ g'$ を満たす射 $\delta_B : G'(B) \to G(B)$ がただ一つ存在する。 $\gamma_B$ と $\delta_B$ は、 $g = \mathrm{id}_{G(B)}$ および $g' = \mathrm{id}_{G'(B)}$ を代入することで互いに逆であることが従う。

$\gamma$ の自然性は、 $b : B \to B'$ について命題 1.2 (2)の第二の等式を $\Phi$ と $\Phi''$ の双方へ適用して得られる等式 $\Xi_{A,B'}(G(b) \circ g) = G'(b) \circ \Xi_{A,B}(g)$ に、 $A = G(B)$ と $g = \mathrm{id}_{G(B)}$ を代入すれば $\gamma_{B'} \circ G(b) = G'(b) \circ \gamma_B$ として従う。▨

5 例

自由群を作る関手と忘却関手の随伴を、対応 $\Phi$ 、unit、counit、三角恒等式のすべてについて確かめる。「群論入門」の「自由群・自由積と群の表示」で証明済みの普遍性を引用し、再証明はしない。

例 5.1 (自由群を作る関手と忘却関手). $U : \mathbf{Grp} \to \mathbf{Set}$ を、群にその台集合を、準同型にその写像としての姿を対応させる忘却関手とする。 $F : \mathbf{Set} \to \mathbf{Grp}$ を、集合 $X$ に自由群 $F(X)$ （§E7.9 定義 1.4）を対応させる関手とする。 $F$ が関手であることは§E21.2 命題 4.1が与えており、射 $a : X' \to X$ に対する $F(a)$ は

U\bigl(F(a)\bigr) \circ \iota_{X'} = \iota_X \circ a \tag{7}

を満たすただ一つの準同型である。ここで $\iota_X : X \to U(F(X))$ は§E7.9 定理 1.5の標準写像である。

$X$ を集合、 $H$ を群として

\Phi_{X,H} : \operatorname{Hom}_{\mathbf{Grp}}\bigl(F(X), H\bigr) \longrightarrow \operatorname{Hom}_{\mathbf{Set}}\bigl(X, U(H)\bigr), \qquad \Phi_{X,H}(\varphi) = U(\varphi) \circ \iota_X

と定める。§E7.9 定理 1.6は、任意の写像 $f : X \to U(H)$ に対して $U(\varphi) \circ \iota_X = f$ を満たす準同型 $\varphi : F(X) \to H$ がただ一つ存在することを述べている。存在が $\Phi_{X,H}$ の全射性、一意性が単射性であるから、 $\Phi_{X,H}$ は全単射である。

自然性を確かめる。 $a : X' \to X$ を写像、 $b : H \to H'$ を準同型、 $\varphi : F(X) \to H$ を準同型とすると

\Phi_{X',H'}\bigl(b \circ \varphi \circ F(a)\bigr) = U(b) \circ U(\varphi) \circ U\bigl(F(a)\bigr) \circ \iota_{X'} = U(b) \circ U(\varphi) \circ \iota_X \circ a = U(b) \circ \Phi_{X,H}(\varphi) \circ a

となる。第二の等号で式 (7) を用いた。よって $F \dashv U$ である。

unit は $\eta_X = \Phi_{X, F(X)}(\mathrm{id}_{F(X)}) = U(\mathrm{id}_{F(X)}) \circ \iota_X = \iota_X$ 、すなわち生成元としての埋め込みである。counit $\varepsilon_H : F(U(H)) \to H$ は $\Phi^{-1}_{U(H), H}(\mathrm{id}_{U(H)})$ 、すなわち $U(\varepsilon_H) \circ \iota_{U(H)} = \mathrm{id}_{U(H)}$ を満たすただ一つの準同型である。すなわち、 $H$ の各元 $h$ に対応する生成元 $\iota_{U(H)}(h)$ を $h$ 自身へ送る準同型である。

三角恒等式のうち第二の等式 $U(\varepsilon_H) \circ \eta_{U(H)} = \mathrm{id}_{U(H)}$ は、 $\eta_{U(H)} = \iota_{U(H)}$ であるから counit の定義式そのものである。第一の等式 $\varepsilon_{F(X)} \circ F(\eta_X) = \mathrm{id}_{F(X)}$ は、両辺が $F(X)$ からの準同型であり、

U\bigl(\varepsilon_{F(X)} \circ F(\eta_X)\bigr) \circ \iota_X = U\bigl(\varepsilon_{F(X)}\bigr) \circ \iota_{U(F(X))} \circ \eta_X = \eta_X = \iota_X

が成り立つことから従う。第一の等号で式 (7) を $a = \eta_X$ に適用し、第二の等号で counit の定義式を用いた。 $U(\mathrm{id}_{F(X)}) \circ \iota_X = \iota_X$ でもあるので、§E7.9 定理 1.6の一意性により二つの準同型は等しい。

同じ形の対応は一つの圏の内部にも現れる。集合の圏における冪の構成がその例である。

例 5.2 (集合の圏における積と冪). $A$ を集合として固定する。関手 $F : \mathbf{Set} \to \mathbf{Set}$ を、集合 $X$ に直積 $X \times A$ （§E1.2 定義 1.3）を、写像 $u : X \to X'$ に $u \times \mathrm{id}_A : (x, a) \mapsto (u(x), a)$ を対応させる関手とする。関手 $G : \mathbf{Set} \to \mathbf{Set}$ を、集合 $Y$ に写像の集合 $Y^A = \operatorname{Hom}_{\mathbf{Set}}(A, Y)$ を、写像 $v : Y \to Y'$ に $v \circ (-)$ を対応させる関手とする。いずれも合成と恒等射を保つ。

\Phi_{X,Y} : \operatorname{Hom}_{\mathbf{Set}}(X \times A, Y) \longrightarrow \operatorname{Hom}_{\mathbf{Set}}\bigl(X, Y^A\bigr), \qquad \Phi_{X,Y}(f)(x)(a) = f(x, a)

と定める。 $\Phi_{X,Y}$ の逆写像は $g \mapsto \bigl((x, a) \mapsto g(x)(a)\bigr)$ であるから $\Phi_{X,Y}$ は全単射である。自然性は、 $a' : X' \to X$ 、 $b : Y \to Y'$ 、 $f : X \times A \to Y$ に対して

\Phi_{X',Y'}\bigl(b \circ f \circ (a' \times \mathrm{id}_A)\bigr)(x')(a) = b\bigl(f(a'(x'), a)\bigr) = \Bigl(G(b) \circ \Phi_{X,Y}(f) \circ a'\Bigr)(x')(a)

が任意の $x' \in X'$ と $a \in A$ について成り立つことから従う。よって $F \dashv G$ である。

unit は $\eta_X : X \to (X \times A)^A$ 、 $\eta_X(x)(a) = (x, a)$ であり、counit は $\varepsilon_Y : Y^A \times A \to Y$ 、 $\varepsilon_Y(g, a) = g(a)$ 、すなわち値を取る写像である。三角恒等式の第一の等式は、 $(x, a) \in X \times A$ に対して $\varepsilon_{X \times A}\bigl(\eta_X(x), a\bigr) = \eta_X(x)(a) = (x, a)$ となることから従う。第二の等式は、 $g \in Y^A$ と $a \in A$ に対して $\bigl(G(\varepsilon_Y) \circ \eta_{Y^A}\bigr)(g)(a) = \varepsilon_Y(g, a) = g(a)$ となることから従う。

6 演習

問題 6.1.

定義 1.1の式 (1) で、 $a : A' \to A$ を $a : A \to A'$ に置き換えた式を書き下し、左辺と右辺のそれぞれについて、どの合成が定義されないかを指摘せよ。
命題 2.2の二つの等式を、命題 1.2のどの条件をどの対象の組と射に適用したかを明示しながら再現せよ。
定理 3.1 (2)の証明で、 $\varepsilon$ の自然性と $\eta$ の自然性をそれぞれどの箇所で用いたかを特定し、一方を外すと証明のどの等号が得られなくなるかを述べよ。
$F \dashv G$ とし、すべての $B$ について counit $\varepsilon_B$ が同型射であると仮定する。式 (3) と式 (4) を用いて、このとき $G$ が忠実であること、すなわち $b, b' : B \to B'$ について $G(b) = G(b')$ ならば $b = b'$ であることを証明せよ。
命題 4.1 (1)の証明で§E21.6 定理 3.4を適用した箇所を特定し、その適用が $\mathcal D$ の局所小性をどこで使っているかを述べよ。
例 5.2において、 $A$ がちょうど一つの元からなる集合である場合に、 $F$ 、 $G$ 、 $\Phi_{X,Y}$ 、unit、counit がそれぞれ何になるかを具体的に書け。

7 扱った範囲と次の記事

本記事では、hom 集合の間の自然な全単射として随伴を定義し、unit と counit が自然変換であること、三角恒等式が成り立つこと、三角恒等式を満たす自然変換の組が随伴を定めること、および左随伴と右随伴がそれぞれ自然同型を除いて一意であることを証明した。例としては、自由群を作る関手と忘却関手の随伴、および集合の圏における積と冪の随伴を扱った。

次の記事「右随伴と極限」では、右随伴が存在する極限を保ち、左随伴が存在する余極限を保つことを、 hom 集合の計算によって証明する。続く「圏同値と骨格」では、随伴の特別な場合として、二つの圏が同じ構造をもつという関係を扱う。自由と忘却、離散と忘却、テンソル積と hom をはじめとする随伴の一覧と検証は「随伴の例」が扱う。

与えられた関手が左随伴または右随伴をもつかどうかを判定する条件は、本記事では扱っていない。極限の保存は必要条件であり、十分条件を与えるには solution set condition を課す随伴関手定理が要る。この定理は「圏論 II」が扱う。モナドと Eilenberg–Moore 圏、および Kan 拡張も同じ単元が扱う。

§E21.8随伴