圏同値と骨格 | 圏論 I | 天游ヶ丘数理学院

1 圏同値と圏同型

二つの圏が同じであることの要求には強弱の二段がある。強いほうから述べる。

定義 1.1. 関手 $F : \mathcal C \to \mathcal D$ が圏同型 (isomorphism of categories) であるとは、関手 $G : \mathcal D \to \mathcal C$ が存在して

G \circ F = \mathrm{id}_{\mathcal C}, \qquad F \circ G = \mathrm{id}_{\mathcal D}

がいずれも関手の等式として成り立つことをいう。二つの圏の間に圏同型が存在するとき、二つの圏は同型 (isomorphic categories) であるという。

圏同型は対象の一致を要求する。実際、 $G \circ F = \mathrm{id}_{\mathcal C}$ により、 $\mathcal C$ の対象 $X, Y$ について $F(X) = F(Y)$ ならば $X = G F(X) = G F(Y) = Y$ が成り立ち、また $\mathcal D$ の任意の対象 $B$ は $F \circ G = \mathrm{id}_{\mathcal D}$ により $B = F(G(B))$ と書かれる。射についても同じことが成り立つ。この要求は、同じ理論をもつ二つの圏を比べる条件としては強い。対象を同型な別の対象へ取り替えても圏の内部の議論は変わらないのに、圏同型は対象そのものの一致を要求するからである。

定義 1.2. 関手 $F : \mathcal C \to \mathcal D$ が圏同値 (equivalence of categories) であるとは、関手 $G : \mathcal D \to \mathcal C$ と、二つの自然同型

\theta : G \circ F \Longrightarrow \mathrm{id}_{\mathcal C}, \qquad \zeta : F \circ G \Longrightarrow \mathrm{id}_{\mathcal D}

が存在することをいう。この $G$ を $F$ の準逆 (quasi-inverse) という。二つの圏の間に圏同値が存在するとき、二つの圏は同値 (equivalent categories) であるといい、 $\mathcal C \simeq \mathcal D$ と書く。

定義の条件は $F$ と $G$ について対称である。したがって、 $G$ が $F$ の準逆であれば、 $G$ もまた圏同値であり、 $F$ は $G$ の準逆である。

命題 1.3. 圏同型は圏同値である。

証明. $F$ を圏同型とし、 $G$ を $G \circ F = \mathrm{id}_{\mathcal C}$ と $F \circ G = \mathrm{id}_{\mathcal D}$ を満たす関手とする。 $\theta_A = \mathrm{id}_A$ と置くと、 $G F = \mathrm{id}_{\mathcal C}$ であるから任意の射 $f : A \to A'$ について $f \circ \theta_A = f = \theta_{A'} \circ G F(f)$ が成り立ち、 $\theta$ は自然変換である。各成分は恒等射であるから同型射であり、 $\theta$ は自然同型である。 $\zeta$ についても同様である。よって $G$ は $F$ の準逆であり、 $F$ は圏同値である。▨

逆は成り立たない。反例は例 3.1で与える。

2 充満忠実と本質的全射

圏同値の定義は準逆の存在を要求するので、そのままでは判定に使いにくい。準逆を作らずに済ませる条件を用意する。用いる語のうち、忠実、充満、充満忠実は「米田の補題と表現可能関手」の§E21.6 定義 3.3が定めている。関手 $F : \mathcal C \to \mathcal D$ と $\mathcal C$ の対象の組 $(A, A')$ について、 $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(A, A')$ と $\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(F(A), F(A'))$ がともに集合であるとき、 $F$ は写像

F_{A,A'} : \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(A, A') \longrightarrow \operatorname{Hom}_{\mathcal D}\bigl(F(A), F(A')\bigr), \qquad F_{A,A'}(f) = F(f)

を定める。すべての組についてこの写像が定まり、かつ単射であるとき $F$ は忠実、すべての組について定まり、かつ全射であるとき $F$ は充満、その両方であるとき $F$ は充満忠実である。「充満」が全射、「忠実」が単射であり、この対応を取り違えない。米田埋め込みが充満忠実であること（§E21.6 定理 3.4）がこの語の用例である。

$F_{A,A'}$ が定まるためには、二つの hom がともに集合でなければならない。そこで、本記事で忠実性または充満性を述べる主張では、 $\mathcal C$ と $\mathcal D$ がともに局所小（§E21.6 定義 1.1）であることを仮定に書く。

残る一語をここで定める。

定義 2.1. 関手 $F : \mathcal C \to \mathcal D$ が本質的全射 (essentially surjective) であるとは、 $\mathcal D$ の任意の対象 $B$ に対して、 $F(A) \cong B$ を満たす $\mathcal C$ の対象 $A$ が存在することをいう。

本質的全射性は対象の同型だけを問題にするので、局所小性を要しない。

命題 2.2. $\mathcal C$ と $\mathcal D$ を局所小圏、 $F : \mathcal C \to \mathcal D$ を充満忠実な関手とし、 $f : A \to A'$ を $\mathcal C$ の射とする。 $F(f)$ が $\mathcal D$ の同型射であれば、 $f$ は $\mathcal C$ の同型射である。

証明. $w = F(f)^{-1} : F(A') \to F(A)$ と置く。 $F$ は充満であるから、 $F(g) = w$ を満たす射 $g : A' \to A$ が存在する。 $F$ は関手であるから

F(g \circ f) = F(g) \circ F(f) = w \circ F(f) = \mathrm{id}_{F(A)} = F(\mathrm{id}_A)

であり、 $F$ は忠実であるから $g \circ f = \mathrm{id}_A$ である。同様に $F(f \circ g) = F(f) \circ w = \mathrm{id}_{F(A')} = F(\mathrm{id}_{A'})$ から $f \circ g = \mathrm{id}_{A'}$ を得る。よって $f$ は同型射である。▨

補題 2.3. $\mathcal C$ と $\mathcal D$ を局所小圏とする。 $F : \mathcal C \to \mathcal D$ が圏同値であれば、 $F$ は忠実である。

証明. $G$ を $F$ の準逆とし、 $\theta : G F \Rightarrow \mathrm{id}_{\mathcal C}$ を自然同型とする。 $f, g : A \to A'$ が $F(f) = F(g)$ を満たすとする。 $G$ を施すと $G F(f) = G F(g)$ である。 $\theta$ の自然性を射 $f$ と射 $g$ に適用すると

f \circ \theta_A = \theta_{A'} \circ G F(f) = \theta_{A'} \circ G F(g) = g \circ \theta_A

となる。 $\theta_A$ は同型射であるから、右から $\theta_A^{-1}$ を合成して $f = g$ を得る。▨

2.1 証明方針

圏同値であることと充満忠実かつ本質的全射であることの同値性を示す。一方の向きでは、準逆と二つの自然同型から三つの性質を取り出す。忠実性は補題 2.3であり、本質的全射性は $\zeta_B : F G(B) \to B$ が同型射であることから直ちに従う。充満性は、与えられた射 $v : F(A) \to F(A')$ に対して $f = \theta_{A'} \circ G(v) \circ \theta_A^{-1}$ を候補として作り、 $G F(f) = G(v)$ を示したうえで、 $G$ が忠実であることから $F(f) = v$ を得る。

もう一方の向きでは、準逆を構成する。各対象 $B$ に対して $F(A_B) \cong B$ を満たす $A_B$ と同型射 $\zeta_B$ を一つずつ選び、 $G(B) = A_B$ と定める。射 $v : B \to B'$ に対する $G(v)$ は、 $F(G(v)) = \zeta_{B'}^{-1} \circ v \circ \zeta_B$ を満たす射として充満忠実性から一意に定まる。この一意性が、関手性と二つの自然同型の検証をすべて $F$ を施した等式の比較へ帰着させる。

定理 2.4. $\mathcal C$ と $\mathcal D$ を局所小圏とし、 $F : \mathcal C \to \mathcal D$ を関手とする。次の二つは同値である。

$F$ は圏同値である。
$F$ は充満忠実かつ本質的全射である。

証明.(1) $\Rightarrow$ (2)を示す。 $G$ を $F$ の準逆とし、 $\theta : G F \Rightarrow \mathrm{id}_{\mathcal C}$ と $\zeta : F G \Rightarrow \mathrm{id}_{\mathcal D}$ を自然同型とする。

$F$ が忠実であることは補題 2.3である。定義の条件は $F$ と $G$ について対称であるから、 $G$ も圏同値であり、同じ補題により $G$ も忠実である。

$F$ が本質的全射であることを示す。 $\mathcal D$ の対象 $B$ に対して $A = G(B)$ と置くと、 $\zeta_B : F(A) \to B$ は同型射である。

$F$ が充満であることを示す。 $v : F(A) \to F(A')$ を $\mathcal D$ の射とし

f = \theta_{A'} \circ G(v) \circ \theta_A^{-1} : A \longrightarrow A'

と置く。 $\theta$ の自然性を射 $f$ に適用すると $f \circ \theta_A = \theta_{A'} \circ G F(f)$ であるから

G F(f) = \theta_{A'}^{-1} \circ f \circ \theta_A = \theta_{A'}^{-1} \circ \theta_{A'} \circ G(v) \circ \theta_A^{-1} \circ \theta_A = G(v)

となる。 $G$ は忠実であるから $F(f) = v$ である。よって $F_{A,A'}$ は全射である。

(2) $\Rightarrow$ (1)を示す。 $F$ を充満忠実かつ本質的全射とする。 $\mathcal D$ の各対象 $B$ に対して、 $F(A_B) \cong B$ を満たす $\mathcal C$ の対象 $A_B$ と同型射 $\zeta_B : F(A_B) \to B$ を一つずつ選ぶ（この選択については注意 2.5を見よ）。 $G(B) = A_B$ と定める。

$\mathcal D$ の射 $v : B \to B'$ に対して、 $\zeta_{B'}^{-1} \circ v \circ \zeta_B$ は $F(A_B) \to F(A_{B'})$ の射である。 $F_{A_B, A_{B'}}$ は全単射であるから

F\bigl(G(v)\bigr) = \zeta_{B'}^{-1} \circ v \circ \zeta_B \tag{1}

を満たす射 $G(v) : G(B) \to G(B')$ がただ一つ存在する。

$G$ が関手であることを示す。 $F(G(\mathrm{id}_B)) = \zeta_B^{-1} \circ \mathrm{id}_B \circ \zeta_B = \mathrm{id}_{F(G(B))} = F(\mathrm{id}_{G(B)})$ であり、 $F$ は忠実であるから $G(\mathrm{id}_B) = \mathrm{id}_{G(B)}$ である。 $v : B \to B'$ と $v' : B' \to B''$ に対しては

F\bigl(G(v') \circ G(v)\bigr) = \bigl(\zeta_{B''}^{-1} \circ v' \circ \zeta_{B'}\bigr) \circ \bigl(\zeta_{B'}^{-1} \circ v \circ \zeta_B\bigr) = \zeta_{B''}^{-1} \circ (v' \circ v) \circ \zeta_B = F\bigl(G(v' \circ v)\bigr)

であり、 $F$ は忠実であるから $G(v' \circ v) = G(v') \circ G(v)$ である。

$\zeta$ が自然同型 $F G \Rightarrow \mathrm{id}_{\mathcal D}$ であることを示す。式 (1) の両辺に左から $\zeta_{B'}$ を合成すると

\zeta_{B'} \circ F G(v) = v \circ \zeta_B

となり、これが自然性の条件である。各 $\zeta_B$ は同型射であるから $\zeta$ は自然同型である。

$\theta$ を構成する。 $\mathcal C$ の対象 $A$ に対して $\zeta_{F(A)} : F\bigl(G F(A)\bigr) \to F(A)$ は同型射である。 $F_{G F(A), A}$ は全単射であるから、 $F(\theta_A) = \zeta_{F(A)}$ を満たす射 $\theta_A : G F(A) \to A$ がただ一つ存在する。 $F(\theta_A)$ は同型射であるから、命題 2.2により $\theta_A$ は同型射である。

$\theta$ の自然性を示す。 $f : A \to A'$ とする。 $\zeta$ の自然性を射 $F(f) : F(A) \to F(A')$ に適用すると

F(f) \circ \zeta_{F(A)} = \zeta_{F(A')} \circ F G\bigl(F(f)\bigr)

である。左辺は $F(f) \circ F(\theta_A) = F(f \circ \theta_A)$ に等しく、右辺は $F(\theta_{A'}) \circ F\bigl(G F(f)\bigr) = F\bigl(\theta_{A'} \circ G F(f)\bigr)$ に等しい。 $F$ は忠実であるから $f \circ \theta_A = \theta_{A'} \circ G F(f)$ であり、これが自然性の条件である。よって $\theta : G F \Rightarrow \mathrm{id}_{\mathcal C}$ は自然同型であり、 $G$ は $F$ の準逆である。▨

注意 2.5 (準逆の構成に用いる選択).定理 2.4 (2) $\Rightarrow$ (1)の部分では、 $\mathcal D$ の各対象 $B$ に対して対象 $A_B$ と同型射 $\zeta_B$ を同時に選んでいる。本質的全射性が保証するのは、 $B$ を一つ与えるごとにそのような組が存在することだけであり、すべての $B$ にわたる選択は別の原理を要する。

$\operatorname{Ob}(\mathcal D)$ が集合である場合、各 $B$ について条件を満たす組の全体は空でない集合であり、その族に対する選択関数の存在は選択公理（「数学の基礎」の「選択公理と Zorn の補題」の§E1.20 定理 2.1）による。対象の全体が集合として扱われない圏では、この選択は集合に対する選択公理の範囲を越える。本単元は大きさを体系的に管理しないので、その場合の正当化は「圏論 II」へ委ねる。定理 2.4 (1) $\Rightarrow$ (2)の部分は選択を用いない。

3 例

圏同値であって圏同型ではない例を、線形代数から取る。

例 3.1 (有限次元線形空間の圏と行列の圏). $k$ を可換体とする。圏 $\mathbf{FinVect}_k$ を、有限次元 $k$ -線形空間を対象、線形写像を射とする圏とする。圏 $\mathbf{Mat}_k$ を次で定める。対象は非負整数とし、 $m$ から $n$ への射は、 $\{1, \dots, n\} \times \{1, \dots, m\}$ から $k$ への写像、すなわち $k$ を成分とする $n$ 行 $m$ 列の行列とする。 $m = 0$ または $n = 0$ の場合、この集合はちょうど一つの元からなる。合成は行列の積、恒等射は単位行列とする。行列の積の結合律と単位行列の性質により、 $\mathbf{Mat}_k$ は圏である。

関手 $M : \mathbf{Mat}_k \to \mathbf{FinVect}_k$ を、 $M(n) = k^n$ 、および $n \times m$ 行列 $P = (c_{ij})$ に対して

M(P) : k^m \longrightarrow k^n, \qquad M(P)(x)_i = \sum_{j=1}^{m} c_{ij} x_j

で定める。 $M(P)$ は線形写像であり（§E3.4 定義 1.1）、行列の積の定義から $M(P Q) = M(P) \circ M(Q)$ 、単位行列の定義から $M(I_n) = \mathrm{id}_{k^n}$ が成り立つ。よって $M$ は関手である。

$M$ は充満忠実である。 $k^m$ の標準基底を $e_1, \dots, e_m$ 、 $k^n$ の標準基底を $f_1, \dots, f_n$ とする。 $M(P)(e_j) = \sum_i c_{ij} f_i$ であるから、 $M(P) = M(Q)$ ならば両者を $e_j$ に施した値を比べて $P$ と $Q$ の第 $j$ 列が一致し、 $P = Q$ である。よって $M$ は忠実である。線形写像 $T : k^m \to k^n$ が与えられたとき、 $T(e_j) = \sum_i c_{ij} f_i$ によって行列 $P = (c_{ij})$ を定めると、 $M(P)$ と $T$ は $e_1, \dots, e_m$ の上で一致する。任意の $x \in k^m$ は $x = \sum_j x_j e_j$ と表すことができるので、線形性から $M(P)(x) = T(x)$ である。よって $M$ は充満である。

$M$ は本質的全射である。 $V$ を有限次元 $k$ -線形空間とし、 $v_1, \dots, v_n$ をその基底（「線形代数 II」の「基底と次元」の§E3.3 定義 1.3）とする。写像 $k^n \to V$ 、 $(x_j)_j \mapsto \sum_j x_j v_j$ は線形であり、生成することから全射、一次独立性から単射であるから線形同型である。§E3.4 命題 1.2により逆写像も線形であるから、これは $\mathbf{FinVect}_k$ の同型射である。よって $M(n) \cong V$ である。

$\mathbf{Mat}_k$ の hom は行列の集合、 $\mathbf{FinVect}_k$ の hom は線形写像の集合であるから、どちらの圏も局所小である。よって定理 2.4により $M$ は圏同値であり、 $\mathbf{Mat}_k \simeq \mathbf{FinVect}_k$ である。

二つの圏は同型ではない。まず $\mathbf{Mat}_k$ では、互いに同型な対象は等しい。実際、 $m$ と $n$ が同型ならば§E21.2 命題 1.5により $M(m) = k^m$ と $M(n) = k^n$ は線形同型である。線形同型 $T : k^m \to k^n$ は基底を基底へ写す。実際、 $T$ は全射であるから $T(e_1), \dots, T(e_m)$ は $k^n$ を生成し、 $\sum_j c_j T(e_j) = 0$ から $T\bigl(\sum_j c_j e_j\bigr) = 0$ と単射性により $\sum_j c_j e_j = 0$ 、したがって $c_j$ はすべて $0$ である。よって $k^n$ は $m$ 個の元からなる基底と $n$ 個の元からなる基底をもつので、§E3.3 定理 3.3により $m = n$ である。

他方、 $\mathbf{FinVect}_k$ には、互いに異なるが同型な対象が存在する。 $k^2$ の部分空間

L_1 = \{(x, 0) \mid x \in k\}, \qquad L_2 = \{(x, x) \mid x \in k\}

を取る。可換体では $1 \neq 0$ であるから $(1, 1) \in L_2$ かつ $(1, 1) \notin L_1$ であり、 $L_1 \neq L_2$ である。どちらも一つの元からなる基底をもつので、上と同じ座標写像により $L_1 \cong k \cong L_2$ である。

$\Psi : \mathbf{FinVect}_k \to \mathbf{Mat}_k$ を圏同型と仮定し、 $\Psi' \circ \Psi = \mathrm{id}$ を満たす関手を $\Psi'$ とする（定義 1.1）。 $L_1 \cong L_2$ と§E21.2 命題 1.5により $\Psi(L_1) \cong \Psi(L_2)$ であり、 $\mathbf{Mat}_k$ では互いに同型な対象が等しいので $\Psi(L_1) = \Psi(L_2)$ である。両辺へ $\Psi'$ を施すと $L_1 = \Psi'\Psi(L_1) = \Psi'\Psi(L_2) = L_2$ となり、これは矛盾である。よって二つの圏は同型ではない。

4 骨格

同値な圏のなかで、互いに同型な対象を一つにまとめたものを取り出す。

定義 4.1. $\mathcal C$ を圏とし、 $\mathcal S$ を $\mathcal C$ の充満部分圏とする。 $\mathcal S$ が $\mathcal C$ の骨格 (skeleton) であるとは、 $\mathcal C$ の任意の対象 $X$ に対して、 $X \cong S$ を満たす $\mathcal S$ の対象 $S$ がちょうど一つ存在することをいう。

命題 4.2. $\mathcal S$ を $\mathcal C$ の骨格とする。 $\mathcal S$ の対象 $S$ と $S'$ が $\mathcal C$ において同型であれば、 $S = S'$ である。

証明. $S$ を $\mathcal C$ の対象とみなす。 $S \cong S$ と $S \cong S'$ が成り立ち、 $S$ と $S'$ はともに $\mathcal S$ の対象である。定義 4.1の一意性により $S = S'$ である。▨

定理 4.3. $\mathcal C$ を局所小圏、 $\mathcal S$ を $\mathcal C$ の骨格とし、 $I : \mathcal S \to \mathcal C$ を包含関手とする。このとき $I$ は圏同値である。

証明. $\mathcal S$ は充満部分圏であるから、 $\mathcal S$ の対象 $S, S'$ について $\operatorname{Hom}_{\mathcal S}(S, S') = \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(S, S')$ である。 $\mathcal C$ は局所小であるから右辺は集合であり、 $\mathcal S$ も局所小である。したがって $I_{S,S'}$ が定まり、それは恒等写像である。よって $I$ は充満忠実である。 $\mathcal C$ の任意の対象 $X$ に対して $X \cong S$ を満たす $\mathcal S$ の対象 $S$ が存在するので、 $I$ は本質的全射である。定理 2.4により $I$ は圏同値である。▨

本定理の証明は定理 2.4 (2) $\Rightarrow$ (1)の部分を用いるので、注意 2.5の但し書きがそのまま当てはまる。準逆は、 $\mathcal C$ の各対象 $X$ に対して $X \cong S$ を満たす $\mathcal S$ の対象 $S$ と同型射 $X \to S$ を一つずつ選んで作る。骨格の定義は $S$ の一意性を与えるが、同型射のほうは一意ではないので、この選択は残る。 $\operatorname{Ob}(\mathcal C)$ が集合である場合、この選択は§E1.20 定理 2.1による。そうでない場合の正当化は「圏論 II」が扱う。

骨格が存在するかどうかは、対象の全体をどこまで扱うことができるかによる。対象の全体が集合である場合には存在する。

定理 4.4. $\mathcal C$ を圏とし、 $\operatorname{Ob}(\mathcal C)$ が集合であるとする。このとき $\mathcal C$ は骨格をもつ。

証明. まず、「同型である」という関係が $\operatorname{Ob}(\mathcal C)$ 上の同値関係（§E1.3 定義 1.3）であることを示す。§E21.1 命題 6.3の三つの主張は、 $\mathrm{id}_X$ が同型射であること、同型射の逆射が同型射であること、同型射の合成が同型射であることを述べている。これらはそれぞれ、 $X \cong X$ 、 $X \cong Y$ ならば $Y \cong X$ 、 $X \cong Y$ かつ $Y \cong Z$ ならば $X \cong Z$ を与える。

商集合 $Q = \operatorname{Ob}(\mathcal C)/\!\cong$ を取る（§E1.3 定義 2.1）。 $Q$ の各元は空でない集合である。 $Q$ を添字集合とする集合族に選択公理（§E1.20 定理 2.1 (1)）を適用すると、各 $C \in Q$ に対して $\rho(C) \in C$ を満たす写像 $\rho : Q \to \operatorname{Ob}(\mathcal C)$ が存在する。

$S = \{\rho(C) \mid C \in Q\}$ を対象の集合とする $\mathcal C$ の充満部分圏を $\mathcal S$ とする。 $X$ を $\mathcal C$ の対象とし、 $[X] \in Q$ をその同値類とする。 $\rho([X]) \in [X]$ であるから $X \cong \rho([X])$ であり、 $\rho([X])$ は $\mathcal S$ の対象である。また、 $\mathcal S$ の対象 $\rho(C)$ が $X \cong \rho(C)$ を満たすとすると $\rho(C) \in [X]$ であり、同値類は交わらないので $C = [X]$ 、したがって $\rho(C) = \rho([X])$ である。よって $X$ と同型な $\mathcal S$ の対象はちょうど一つであり、 $\mathcal S$ は $\mathcal C$ の骨格である。▨

例 4.5 (有限次元線形空間の圏の骨格).例 3.1の記号で、 $\{k^n \mid n \geq 0\}$ を対象とする $\mathbf{FinVect}_k$ の充満部分圏を $\mathcal S$ とする。同例で示したとおり、任意の有限次元 $k$ -線形空間 $V$ は基底の個数 $n$ に対して $k^n$ と同型であり、 $k^m \cong k^n$ ならば $m = n$ である。よって $V$ と同型な $\mathcal S$ の対象はちょうど一つであり、 $\mathcal S$ は $\mathbf{FinVect}_k$ の骨格である。 $\mathbf{FinVect}_k$ は局所小であるから、定理 4.3により包含 $\mathcal S \to \mathbf{FinVect}_k$ は圏同値である。ただし $\operatorname{Ob}(\mathbf{FinVect}_k)$ は集合として扱われないので、同定理に付いた但し書きがここでも当てはまる。準逆を明示的に与えるには、各有限次元線形空間 $V$ に基底を一つ選び、例 3.1の座標写像 $k^n \to V$ を同型射として採ればよいが、そのときは同型射の選択が基底の選択へ移るだけであり、選択の債務は消えない。

さらに、 $M$ の終域を $\mathcal S$ に取り替えた関手は、対象についても射についても全単射である。対象についての全射性は $\mathcal S$ の対象の定め方による。単射性は、 $k^m = k^n$ ならば $k^m \cong k^n$ であり、同例で示したとおり $m = n$ となることによる。射については充満忠実性がそのまま全単射性である。逆向きの関手を、対象については逆写像、射については $M_{m,n}$ の逆写像として定めると、 $M$ が合成と恒等射を保つことからこれは関手であり、 $\mathbf{Mat}_k$ と $\mathcal S$ は圏同型である。

注意 4.6 (集合の圏の骨格). $\mathbf{Set}$ において、 $X$ から $Y$ への同型射とは、逆写像をもつ写像、すなわち全単射である（§E1.1 命題 3.8）。したがって $X \cong Y$ は $X$ と $Y$ が等濃度であること（§E1.18 定義 1.1）にほかならない。 $\mathbf{Set}$ の骨格とは、どの集合もそのうちのちょうど一つと等濃度であるように集合を選び集め、それらを対象とする充満部分圏である。有限集合の範囲では $\{1, \dots, n\}$ （ $n \geq 0$ ）を選ぶことで具体的に書き下すことができる。

無限集合まで含めて代表を選ぶ操作には、二つの問題がある。第一に、各等濃度類の代表を基数として与える議論が要る。第二に、すべての集合の集まりは集合ではなく（§E1.19 注意 1.3）、本単元は集合でない集まりを扱う語を導入しない（§E1.16 命題 2.6）。したがって $\operatorname{Ob}(\mathbf{Set})$ へ定理 4.4をそのまま適用することができない。本単元は基数の一般論にも大きさの体系的な管理にも立ち入らない。前者は「公理的集合論」が、後者は「圏論 II」が扱う。

5 演習

問題 5.1.

定義 1.2の条件が $F$ と $G$ について対称であることを、二つの自然同型を書き下して確かめよ。
補題 2.3の証明で $\theta$ の自然性を用いた箇所を特定し、 $\theta$ が自然変換であるだけで各成分が同型射でない場合に、証明のどこが成り立たなくなるかを述べよ。
定理 2.4 (1) $\Rightarrow$ (2)の部分で、 $F$ の充満性を示すために $G$ の忠実性を用いた。 $G$ が忠実であることをどのように得たかを再現せよ。
定理 2.4 (2) $\Rightarrow$ (1)の部分で、 $G$ の関手性と $\theta$ の自然性の検証が、いずれも $F$ を施した等式の比較に帰着していることを確認し、そこで $F$ の忠実性が使われた箇所をすべて挙げよ。
例 3.1で、 $k^2$ の一次元部分空間を $L_1, L_2$ 以外にもう一つ取り、それが $L_1$ とも $L_2$ とも異なり、かつ両者と同型であることを確かめよ。
定理 4.4の証明を、選択公理を用いた箇所と用いていない箇所に分けて整理し、注意 2.5で述べた選択と同じ形の選択であることを説明せよ。
$\mathcal C$ を局所小圏とし、 $\mathcal S$ と $\mathcal S'$ がともに $\mathcal C$ の骨格であるとする。このとき $\mathcal S$ と $\mathcal S'$ も局所小である。充満忠実な関手の合成が充満忠実であること、および本質的全射な関手の合成が本質的全射であることを示し、定理 4.3と定理 2.4から $\mathcal S \simeq \mathcal S'$ を導け。

6 扱った範囲と次の記事

本記事では、圏同値と準逆を定義し、圏同型がより強い条件であることを示した。忠実・充満・充満忠実は「米田の補題と表現可能関手」の定義を引用し、本質的全射だけを新たに定義した。圏同値であることと、充満忠実かつ本質的全射であることが同値であることを証明し、逆向きの構成が対象を一つずつ選ぶ操作を含むことを明示した。骨格を定義し、骨格への包含が圏同値であること、および対象の全体が集合である圏が骨格をもつことを証明した。骨格への包含についての主張は逆向きの構成を用いるので、選択についての同じ但し書きがそこにも当てはまることを本文に書いた。例としては、有限次元線形空間の圏と行列の圏が同値であって同型ではないこと、およびその骨格を扱った。

対象の全体が集合でない圏についての選択、および大きさの体系的な管理は本記事では扱っていない。これらは「圏論 II」が扱う。同じ単元が、反射的部分圏と局所化、および 2-圏の枠組みでの同値の扱いも扱う。

本記事で「随伴」と「右随伴と極限」に続く一般論は終わる。以降の二記事では、ここまでの定義を具体的な圏へ適用し、極限と余極限を計算し、随伴を検証する。

§E21.10圏同値と骨格