§E21.9右随伴と極限

証明.(1)を示す。$\mathcal J$は小さい圏であるから$\operatorname{Ob}(\mathcal J)$は集合であり、$\mathcal C$は局所小であるから各$\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X, D(j))$は集合である。したがって定義 1.1の直積は集合族の直積（「数学の基礎」の「集合族」の§E1.2 定義 5.1）として集合であり、$\operatorname{Cone}(X, D)$はその部分集合であるから集合である。

(2)を示す。$\mathcal J$の対象$j$について$(h^X \circ D)(j) = \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X, D(j))$であり、$\mathcal J$の射$u : i \to j$について$(h^X \circ D)(u)$は$D(u) \circ (-)$である。§E21.5 例 5.3の構成をこの図式へ適用すると、極限の台集合は

であり、射影は第$j$成分を取る写像である。この集合は定義 1.1の$\operatorname{Cone}(X, D)$そのものであり、射影も一致する。▨

証明. 写像が定義されていることを確かめる。$(\psi_j)_j \in \operatorname{Cone}(X, D)$と$\mathcal J$の射$u : i \to j$に対して、合成の結合律により

であるから、$(\psi_j \circ x)_j$は$\operatorname{Cone}(X', D)$に属する。

$\operatorname{Cone}(\mathrm{id}_X, D)$は各成分を$\psi_j \circ \mathrm{id}_X = \psi_j$へ送るので恒等写像である。$x' : X'' \to X'$と$x : X' \to X$に対して$\psi_j \circ (x \circ x') = (\psi_j \circ x) \circ x'$であるから$\operatorname{Cone}(x \circ x', D) = \operatorname{Cone}(x', D) \circ \operatorname{Cone}(x, D)$である。これは§E21.2 定義 1.1の意味で、$\mathcal C^{\mathrm{op}}$からの関手であることを述べている。▨

証明.(1)を示す。$t : X \to L$と$\mathcal J$の射$u : i \to j$に対して$D(u) \circ (\pi_i \circ t) = (D(u) \circ \pi_i) \circ t = \pi_j \circ t$であるから、$(\pi_j \circ t)_j$は$\operatorname{Cone}(X, D)$に属する。よって$\Lambda_X$は写像である。$x : X' \to X$について

であるから式 (1) が成り立つ。$\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(-, L)$は射$x$を$(-) \circ x$へ送る関手であるから、式 (1) は§E21.3 定義 1.1の自然性の条件である。

(2)を示す。§E21.4 定義 1.1により、$(L, (\pi_j))$が$D$の極限であるとは、任意の錐$(X, (\psi_j))$に対して$\pi_j \circ t = \psi_j$（すべての$j$）を満たす射$t : X \to L$がただ一つ存在することである。条件$\pi_j \circ t = \psi_j$（すべての$j$）は$\Lambda_X(t) = (\psi_j)_j$と書き直される。したがって、極限であることは「各$X$と各$(\psi_j)_j \in \operatorname{Cone}(X, D)$に対して$\Lambda_X(t) = (\psi_j)_j$を満たす$t$がただ一つ存在すること」であり、これは各$\Lambda_X$が全単射であることにほかならない。

最後の主張は、$(L, (\pi_j)) = (\lim D, (\pi_j))$に第二の主張を適用して各$\Lambda_X$が全単射であることを得たうえで、$\operatorname{Cone}(X, D)$が$\lim_j \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X, D(j))$に一致すること（補題 1.2 (2)）を用いれば従う。自然性は式 (1) である。▨

証明.(1)を示す。$\Phi$を随伴の対応とする。まず$\bigl(G(\lim D), (G(\pi_j))\bigr)$が$G \circ D$上の錐であることを確かめる。$\mathcal J$の射$u : i \to j$について、$G$が合成を保つことから

である。

$X$を$\mathcal C$の対象とし、三つの写像を定める。

第一の写像は$\Phi^{-1}_{X, \lim D} : \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X, G(\lim D)) \to \operatorname{Hom}_{\mathcal D}(F(X), \lim D)$である。§E21.8 定義 1.1により全単射である。$x : X' \to X$について§E21.8 命題 1.2 (3)を$b = \mathrm{id}_{\lim D}$、$a = x$に適用すると

が成り立つ。これが第一の写像の$X$についての自然性である。

第二の写像は補題 2.1を極限$(\lim D, (\pi_j))$と頂点$F(X)$に適用して得られる

である。補題 2.1 (2)により全単射である。同補題の式 (1) を射$F(x) : F(X') \to F(X)$へ適用すると

が成り立つ。右辺の$\operatorname{Cone}(F(x), D)$は命題 1.3が定めた写像である。これが第二の写像の$X$についての自然性である。

第三の写像は

である。値が錐であることを確かめる。$\mathcal J$の射$u : i \to j$について、§E21.8 命題 1.2 (2)の第二の等式を$b = D(u) : D(i) \to D(j)$と$\psi_i$に適用すると

であり、左辺は$D(u) \circ \psi_i = \psi_j$により$\Phi_{X, D(j)}(\psi_j)$に等しい。よって$(G \circ D)(u) \circ \Phi_{X, D(i)}(\psi_i) = \Phi_{X, D(j)}(\psi_j)$が成り立ち、値は$\operatorname{Cone}(X, G \circ D)$に属する。同じ計算を§E21.8 命題 1.2 (3)に対して行うと、$(\chi_j)_j \mapsto (\Phi^{-1}_{X, D(j)}(\chi_j))_j$が$\operatorname{Cone}(X, G \circ D) \to \operatorname{Cone}(F(X), D)$の写像を定めることが従う。二つは成分ごとに互いに逆であるから、$\Xi_X$は全単射である。$x : X' \to X$については、§E21.8 命題 1.2 (2)の第一の等式により$\Phi_{X', D(j)}(\psi_j \circ F(x)) = \Phi_{X, D(j)}(\psi_j) \circ x$であるから

が成り立つ。ここでも両辺の$\operatorname{Cone}(-, -)$は命題 1.3の写像である。これが第三の写像の$X$についての自然性である。

合成$\Xi_X \circ \Lambda^{D}_{F(X)} \circ \Phi^{-1}_{X, \lim D}$を計算する。$t : X \to G(\lim D)$に対して$f = \Phi^{-1}_{X, \lim D}(t)$と置くと、§E21.8 命題 1.2 (2)の第二の等式を$b = \pi_j : \lim D \to D(j)$と$f$に適用して

を得る。したがって

である。三つの全単射の合成は全単射であるから、$\Lambda^{G D}_X$は$\mathcal C$のすべての対象$X$について全単射である。式 (2)、式 (3)、式 (4) により、この全単射は$X$について自然である。補題 2.1 (2)により、$\bigl(G(\lim D), (G(\pi_j))\bigr)$は$G \circ D$の極限である。

(2)を示す。反対圏へ移す。$\mathcal C^{\mathrm{op}}$と$\mathcal D^{\mathrm{op}}$は局所小であり、$F$と$G$は同じ対応を与える関手$F^{\mathrm{op}} : \mathcal C^{\mathrm{op}} \to \mathcal D^{\mathrm{op}}$と$G^{\mathrm{op}} : \mathcal D^{\mathrm{op}} \to \mathcal C^{\mathrm{op}}$を定める。

$G^{\mathrm{op}} \dashv F^{\mathrm{op}}$であることを示す。集合として

であるから、$\Psi_{B,A} = \Phi^{-1}_{A,B}$は両者の間の全単射である。$\mathcal D^{\mathrm{op}}$の射$\beta : B' \to B$は$\mathcal D$の射$b : B \to B'$であり、$\mathcal C^{\mathrm{op}}$の射$\alpha : A \to A'$は$\mathcal C$の射$a : A' \to A$である。§E21.8 定義 1.1の式 (1) を$\Psi$について書いた等式は、合成の向きを$\mathcal C$と$\mathcal D$へ戻すと

となる。これは§E21.8 命題 1.2 (3)であり、$\Phi$の自然性から成り立つ。よって$G^{\mathrm{op}} \dashv F^{\mathrm{op}}$であり、$F^{\mathrm{op}}$は右随伴である。

余極限は反対圏における極限として定義されている（「極限と余極限」）。$E : \mathcal J \to \mathcal C$に対して$E^{\mathrm{op}} : \mathcal J^{\mathrm{op}} \to \mathcal C^{\mathrm{op}}$を対応する図式とすると、$\mathcal J^{\mathrm{op}}$は小さい圏であり、$(\operatorname{colim} E, (\iota_j))$は$E^{\mathrm{op}}$の極限にほかならない。本定理の第一の主張を右随伴$F^{\mathrm{op}}$と図式$E^{\mathrm{op}}$に適用すると、$\bigl(F^{\mathrm{op}}(\operatorname{colim} E), (F^{\mathrm{op}}(\iota_j))\bigr)$は$F^{\mathrm{op}} \circ E^{\mathrm{op}} = (F \circ E)^{\mathrm{op}}$の極限である。これを$\mathcal C$と$\mathcal D$の言葉へ戻すと、$\bigl(F(\operatorname{colim} E), (F(\iota_j))\bigr)$が$F \circ E$の余極限であることを述べている。▨