§E21.6米田の補題と表現可能関手

証明.$\mathcal C$は局所小であるから、各対象$X$について$h_A(X)$と$h^A(X)$は集合である。また$v \in \operatorname{Hom}(Y, A)$と$u : X \to Y$に対して$v \circ u \in \operatorname{Hom}(X, A)$であり、$v \in \operatorname{Hom}(A, X)$と$u : X \to Y$に対して$u \circ v \in \operatorname{Hom}(A, Y)$であるから、二つの対応の終域の指定は正しい。

§E21.2 命題 2.3により、対応$h_A$が関手$\mathcal C^{\mathrm{op}} \to \mathbf{Set}$であることは、$\mathcal C$の任意の対象$X$と任意の射$u : X \to Y$、$w : Y \to Z$について

が成り立つことと同じである。第一の等式は、任意の$v \in \operatorname{Hom}(X, A)$について$h_A(\mathrm{id}_X)(v) = v \circ \mathrm{id}_X = v$であることから従う。第二の等式は、任意の$v \in \operatorname{Hom}(Z, A)$について、合成の結合律により

が成り立つことから従う。

$h^A$についても同様に確かめる。任意の$v \in \operatorname{Hom}(A, X)$について$h^A(\mathrm{id}_X)(v) = \mathrm{id}_X \circ v = v$であるから$h^A(\mathrm{id}_X) = \mathrm{id}_{h^A(X)}$である。また任意の$v \in \operatorname{Hom}(A, X)$について

であるから$h^A(w \circ u) = h^A(w) \circ h^A(u)$である。したがって$h^A$は§E21.2 定義 1.1の意味で関手$\mathcal C \to \mathbf{Set}$である。▨

証明. 三段に分ける。第一段で$\Psi(a)$が自然変換であることを示し、第二段で$\Phi \circ \Psi$が恒等写像であることを示し、第三段で$\Psi \circ \Phi$が恒等写像であることを示す。

第一段。$a \in F(A)$を固定する。各対象$X$について、$u \in \operatorname{Hom}(X, A)$に対して$F(u) : F(A) \to F(X)$であるから$F(u)(a) \in F(X)$であり、$\Psi(a)_X$は写像$h_A(X) \to F(X)$である。$\mathcal C$の射$u : X \to Y$をとる。$h_A$と$F$はともに$\mathcal C^{\mathrm{op}}$からの関手であるから、示すべき自然性の四角形は

であり、両辺は$h_A(Y) = \operatorname{Hom}(Y, A)$から$F(X)$への写像である。$v \in \operatorname{Hom}(Y, A)$をとると、左辺は

であり、右辺は

である。§E21.2 命題 2.3により、$F$が$\mathcal C^{\mathrm{op}}$からの関手であることは$F(v \circ u) = F(u) \circ F(v)$を意味する。したがって両辺は一致し、$\Psi(a)$は自然変換$h_A \Rightarrow F$である。

第二段。$a \in F(A)$をとる。$F$が関手であることから$F(\mathrm{id}_A) = \mathrm{id}_{F(A)}$であるから

である。ゆえに$\Phi \circ \Psi = \mathrm{id}_{F(A)}$である。

第三段。$\eta \in \operatorname{Nat}(h_A, F)$をとり、$a = \Phi(\eta) = \eta_A(\mathrm{id}_A)$とおく。$\mathcal C$の対象$X$と射$u : X \to A$を任意にとる。$\eta$の自然性の四角形を射$u : X \to A$に適用すると

であり、両辺は$h_A(A) = \operatorname{Hom}(A, A)$から$F(X)$への写像である。この等式の両辺を$\mathrm{id}_A$で評価する。左辺は

であり、右辺は

である。$X$と$u$は任意であったから、すべての対象$X$について$\eta_X = \Psi(a)_X$であり、$\eta = \Psi(\Phi(\eta))$である。ゆえに$\Psi \circ \Phi = \mathrm{id}_{\operatorname{Nat}(h_A, F)}$である。

第二段と第三段により$\Phi$と$\Psi$は互いに逆であるから、$\Phi$は全単射である。とくに$\operatorname{Nat}(h_A, F)$は集合$F(A)$と全単射に対応するので集合である。▨

証明.(1)を示す。垂直合成の成分は$(\eta \circ y(f))_A = \eta_A \circ y(f)_A$であるから、左辺は

である。右辺を計算する。$\eta : h_B \Rightarrow F$の自然性の四角形を射$f : A \to B$に適用すると

であり、両辺は$h_B(B) = \operatorname{Hom}(B, B)$から$F(A)$への写像である。両辺を$\mathrm{id}_B$で評価すると、左辺は

であり、右辺は$F(f)(\eta_B(\mathrm{id}_B)) = F(f)(\Phi_{B, F}(\eta))$である。したがって

が成り立つ。

(2)を示す。垂直合成の成分は$(\theta \circ \eta)_A = \theta_A \circ \eta_A$であるから

である。▨

証明.$y$が関手であることを示す。§E21.3 定義 4.1により、関手圏$[\mathcal C^{\mathrm{op}}, \mathbf{Set}]$の合成は垂直合成であり、対象$h_A$の恒等射は恒等自然変換$\mathrm{id}_{h_A}$（§E21.3 命題 1.2）である。任意の対象$X$と任意の$u \in \operatorname{Hom}(X, A)$について

であるから$y(\mathrm{id}_A)$は$h_A$の恒等射である。また$f : A \to B$、$g : B \to C$と$u \in \operatorname{Hom}(X, A)$について、合成の結合律により

であるから、垂直合成の定義（§E21.3 命題 1.3）により$y(g \circ f) = y(g) \circ y(f)$である。ゆえに$y$は関手である。

充満忠実性を示す。$A, B$を$\mathcal C$の対象とする。定理 2.1を$F = h_B$に対して適用すると、

は全単射であり、その逆写像は$\Psi$である。とくに$\operatorname{Nat}(h_A, h_B)$は集合であるから、定義 3.3の意味で写像$y_{A, B}$が定まる。$f \in \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(A, B)$に対して、既に確かめたとおり$\Psi(f) = y(f)$であるから$\Psi = y_{A, B}$である。全単射の逆写像は全単射であるから、$y_{A, B}$は全単射である。$y_{A, B}$は単射であるから$y$は忠実であり、全射であるから$y$は充満である。▨

証明.$\alpha : h_A \Rightarrow h_B$を自然同型とする。§E21.3 定義 1.1により、$\alpha$のすべての成分$\alpha_X$は$\mathbf{Set}$の同型射であり、§E21.1 命題 6.4により、これは$\alpha_X$が全単射であることと同じである。

定理 3.4により$y_{A, B}$は全単射であるから、$\alpha = y(f)$を満たす$f \in \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(A, B)$がただ一つ存在する。この$f$が同型射であることを示す。

成分$y(f)_B : \operatorname{Hom}(B, A) \to \operatorname{Hom}(B, B)$は全射であるから、$y(f)_B(g) = f \circ g = \mathrm{id}_B$を満たす$g : B \to A$が存在する。この$g$について、合成の結合律と単位律により

が成り立つ。成分$y(f)_A : \operatorname{Hom}(A, A) \to \operatorname{Hom}(A, B)$は単射であるから$g \circ f = \mathrm{id}_A$である。$f \circ g = \mathrm{id}_B$と合わせて、§E21.1 定義 6.1により$f$は同型射である。

逆を示す。$f : A \to B$を同型射、$f^{-1}$をその逆射とする。$y$が関手であることから

であり、右辺はそれぞれ$h_B$と$h_A$の恒等自然変換である。成分をとると、各対象$X$について$y(f)_X$は逆写像$y(f^{-1})_X$をもつので全単射であり、$\mathbf{Set}$の同型射である。ゆえに$y(f)$は自然同型である。▨

証明.§E21.3 定義 1.1により、自然変換$\Psi(a)$が自然同型であることは、すべての対象$X$について成分$\Psi(a)_X$が$\mathbf{Set}$の同型射であることと同じであり、§E21.1 命題 6.4により、これはすべての$X$について$\Psi(a)_X$が全単射であることと同じである。

対象$X$を固定する。$\Psi(a)_X : \operatorname{Hom}(X, A) \to F(X)$は$u$を$F(u)(a)$へ写す写像であるから、$\Psi(a)_X$が全単射であることは、任意の$x \in F(X)$に対して$F(u)(a) = x$を満たす$u \in \operatorname{Hom}(X, A)$がただ一つ存在することと同じである。すべての$X$について量化すると、(1)$\Leftrightarrow$(2)が得られる。

最後の主張を示す。定理 2.1により$\Phi$と$\Psi$は互いに逆な全単射である。いま示した同値は、$\Psi$による対応のもとで、(2)を満たす元の全体が、$A$を表現対象とする表現の全体、すなわち自然同型$h_A \Rightarrow F$の全体へ写ることを述べている。全単射をこの二つの部分へ制限したものは、ふたたび全単射である。▨

証明.$b$が定理 4.2 (2)を満たすことを、$X = A$と$x = a \in F(A)$に対して用いる。$F(t)(b) = a$を満たす射$t : A \to B$がただ一つ存在する。同様に、$a$が定理 4.2 (2)を満たすことを$X = B$と$x = b \in F(B)$に対して用いると、$F(s)(a) = b$を満たす射$s : B \to A$がただ一つ存在する。

$t$が同型射であることを示す。$s : B \to A$と$t : A \to B$の合成$t \circ s : B \to B$について、$F$が$\mathcal C^{\mathrm{op}}$からの関手であることにより$F(t \circ s) = F(s) \circ F(t)$であるから

である。ここで$b$に対する定理 4.2 (2)を$X = B$と$x = b$に対して用いると、$F(u)(b) = b$を満たす$u : B \to B$はただ一つであるから$t \circ s = \mathrm{id}_B$である。同様に$s \circ t : A \to A$について

であり、$a$に対する定理 4.2 (2)の一意性から$s \circ t = \mathrm{id}_A$である。ゆえに$t$は同型射であり、その逆射は$s$である。

最後の等式を示す。命題 3.2 (1)を$f = t$、$\eta = \Psi(b)$に対して用いると

である。一方$\Phi_{A, F}(\Psi(a)) = a$であり、定理 2.1により$\Phi_{A, F}$は全単射であるから$\Psi(b) \circ y(t) = \Psi(a)$である。▨