極限と余極限 | 圏論 I | 天游ヶ丘数理学院

1 図式と錐

図式を、対象と射の配置という独立の概念として導入することはしない。配置の形を小さい圏 $\mathcal J$ が担い、その形を圏 $\mathcal C$ の中へ実現する対応を関手 $D : \mathcal J \to \mathcal C$ が担う。関手であることが、 $\mathcal J$ の合成と恒等射を $\mathcal C$ の合成と恒等射へ移すことを保証する。

定義 1.1. $\mathcal J$ を小さい圏、すなわち $\operatorname{Ob}(\mathcal J)$ と $\mathcal J$ の射の全体がともに集合である圏とし、 $\mathcal C$ を圏とする。関手 $D : \mathcal J \to \mathcal C$ を、 $\mathcal C$ における $\mathcal J$ 型の図式 (diagram) という。 $\mathcal J$ を $D$ の添字圏 (index category) という。

$D$ 上の錐 (cone) とは、 $\mathcal C$ の対象 $X$ と射の族 $(\psi_j : X \to D(j))_{j \in \operatorname{Ob}(\mathcal J)}$ の組 $(X, (\psi_j))$ であって、 $\mathcal J$ の任意の射 $u : i \to j$ について

D(u) \circ \psi_i = \psi_j

を満たすものをいう。対象 $X$ をこの錐の頂点 (vertex) という。

$D$ の極限 (limit) とは、 $D$ 上の錐 $(L, (\pi_j))$ であって、 $D$ 上の任意の錐 $(X, (\psi_j))$ に対して

\pi_j \circ t = \psi_j \qquad (j \in \operatorname{Ob}(\mathcal J))

をすべて満たす射 $t : X \to L$ がただ一つ存在するものをいう。この $(L, (\pi_j))$ を $D$ の極限錐 (limit cone)、各 $\pi_j$ をその射影 (projection) という。極限が存在するとき、その頂点を $\lim D$ と書く。

錐の等式に現れる射 $u$ は $\mathcal J$ の射であり、等式そのものは $\mathcal C$ における等式である。 $\mathcal J$ の恒等射に対する等式は自動的に成り立つ。実際、 $D$ が関手であることから $D(\mathrm{id}_j) = \mathrm{id}_{D(j)}$ であり（§E21.2 定義 1.1）、 $\mathcal C$ の単位律（§E21.1 定義 1.1）により $D(\mathrm{id}_j) \circ \psi_j = \psi_j$ となる。したがって錐の条件は、 $\mathcal J$ の非恒等射についてだけ確かめればよい。

注意 1.2 (添字圏の大きさ). 本記事および本単元は、添字圏 $\mathcal J$ を小さい圏に限る。この制限は、次の記事で極限を直積と equalizer から構成するときに、 $\operatorname{Ob}(\mathcal J)$ と $\mathcal J$ の射の全体を族の添字集合として用いるために必要である。集合でない大きさの添字を扱うための枠組みは「圏論 II」が扱う。

図式の添字圏を一つ固定すると、極限の条件が具体的な等式へ書き換わる。もっとも単純な非自明の場合を確かめる。

例 1.3 (一つの非恒等射をもつ図式の極限). $\mathcal J$ を、対象が $1$ と $2$ の二つ、射が $\mathrm{id}_1$ 、 $\mathrm{id}_2$ および $u : 1 \to 2$ の三つからなる圏とする。合成は単位律で定まり、非恒等射どうしの合成は現れない。 $\operatorname{Ob}(\mathcal J)$ と射の全体は有限集合なので、 $\mathcal J$ は小さい圏である。

図式 $D : \mathcal J \to \mathcal C$ を与えることは、 $\mathcal C$ の射 $f : A \to B$ を与えることと同じである。ここで $A = D(1)$ 、 $B = D(2)$ 、 $f = D(u)$ とおいた。

$D$ 上の錐は、対象 $X$ と射 $\psi_1 : X \to A$ 、 $\psi_2 : X \to B$ の組であって $f \circ \psi_1 = \psi_2$ を満たすものである。したがって $\psi_1$ を与えると $\psi_2$ が定まり、逆に任意の $\psi_1 : X \to A$ から錐 $(X, (\psi_1, f \circ \psi_1))$ が得られる。

組 $(A, (\mathrm{id}_A, f))$ は錐である。実際 $f \circ \mathrm{id}_A = f$ が成り立つ。この錐が極限であることを示す。 $(X, (\psi_1, \psi_2))$ を錐とする。条件 $\mathrm{id}_A \circ t = \psi_1$ は $t = \psi_1$ と同値なので、条件を満たす $t$ は高々一つである。 $t = \psi_1$ とおくと、残る条件 $f \circ t = \psi_2$ は錐の等式 $f \circ \psi_1 = \psi_2$ そのものであるから成り立つ。ゆえに条件を満たす $t$ がただ一つ存在し、 $(A, (\mathrm{id}_A, f))$ は $D$ の極限であり $\lim D = A$ である。

2 余錐と余極限

錐の射の向きをすべて反転すると、図式から射を受け取る側の概念が得られる。

定義 2.1. $D : \mathcal J \to \mathcal C$ を図式とする。 $D$ 上の余錐 (cocone) とは、 $\mathcal C$ の対象 $X$ と射の族 $(\varphi_j : D(j) \to X)_{j \in \operatorname{Ob}(\mathcal J)}$ の組 $(X, (\varphi_j))$ であって、 $\mathcal J$ の任意の射 $u : i \to j$ について

\varphi_j \circ D(u) = \varphi_i

を満たすものをいう。対象 $X$ をこの余錐の頂点 (vertex) という。

$D$ の余極限 (colimit) とは、 $D$ 上の余錐 $(C, (\iota_j))$ であって、 $D$ 上の任意の余錐 $(X, (\varphi_j))$ に対して

t \circ \iota_j = \varphi_j \qquad (j \in \operatorname{Ob}(\mathcal J))

をすべて満たす射 $t : C \to X$ がただ一つ存在するものをいう。この $(C, (\iota_j))$ を $D$ の余極限余錐 (colimit cocone)、各 $\iota_j$ をその入射 (injection) という。余極限が存在するとき、その頂点を $\operatorname{colim} D$ と書く。

錐と余錐で射の向きが逆であることに加えて、等式の中で $D(u)$ を合成する側も逆である。錐では $D(u)$ を左から合成し、余錐では右から合成する。次の命題は、この二つの向きの違いが、反対圏をとる操作の一つの帰結であることを述べる。

命題 2.2. $D : \mathcal J \to \mathcal C$ を図式とする。対象については $D^{\mathrm{op}}(j) = D(j)$ 、射については、 $\mathcal J^{\mathrm{op}}$ の射 $v \in \operatorname{Hom}_{\mathcal J^{\mathrm{op}}}(j, i) = \operatorname{Hom}_{\mathcal J}(i, j)$ に対して

D^{\mathrm{op}}(v) = D(v) \in \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(D(i), D(j)) = \operatorname{Hom}_{\mathcal C^{\mathrm{op}}}(D(j), D(i))

と定めると、 $D^{\mathrm{op}}$ は関手 $\mathcal J^{\mathrm{op}} \to \mathcal C^{\mathrm{op}}$ であり、 $\mathcal J^{\mathrm{op}}$ は小さい圏である。

このとき、組 $(X, (\varphi_j))$ が $D$ 上の余錐であることと、 $D^{\mathrm{op}}$ 上の錐であることは同値である。さらに、 $(C, (\iota_j))$ が $D$ の余極限であることと、 $D^{\mathrm{op}}$ の極限であることは同値である。

証明. はじめに $D^{\mathrm{op}}$ が関手であることを示す。 $\mathcal J^{\mathrm{op}}$ の射 $v : j \to i$ と $w : i \to h$ を取る。反対圏の定義（§E21.1 定義 5.1）により、これらは $\mathcal J$ の射 $v : i \to j$ と $w : h \to i$ にほかならず、 $w \circ^{\mathrm{op}} v$ は $\mathcal J$ の射 $v \circ w : h \to j$ である。したがって

D^{\mathrm{op}}(w \circ^{\mathrm{op}} v) = D(v \circ w) = D(v) \circ D(w)

である。一方、 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ における合成 $D^{\mathrm{op}}(w) \circ^{\mathrm{op}} D^{\mathrm{op}}(v)$ は、 $\mathcal C$ の合成としては $D^{\mathrm{op}}(v) \circ D^{\mathrm{op}}(w) = D(v) \circ D(w)$ である。両者は一致する。恒等射については $D^{\mathrm{op}}(\mathrm{id}_j) = D(\mathrm{id}_j) = \mathrm{id}_{D(j)}$ である。ゆえに $D^{\mathrm{op}}$ は関手である。 $\mathcal J^{\mathrm{op}}$ の対象の全体は $\operatorname{Ob}(\mathcal J)$ に等しく、射の全体は $\mathcal J$ の射の全体に等しいので、 $\mathcal J^{\mathrm{op}}$ も小さい圏である。

次に錐と余錐の対応を示す。 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ の射 $\psi_j : X \to D^{\mathrm{op}}(j)$ は、 $\mathcal C$ の射 $\varphi_j : D(j) \to X$ にほかならない。 $\mathcal J^{\mathrm{op}}$ の射 $v : j \to i$ を取り、対応する $\mathcal J$ の射を $u : i \to j$ と書く。 $D^{\mathrm{op}}$ 上の錐の条件は

D^{\mathrm{op}}(v) \circ^{\mathrm{op}} \psi_j = \psi_i

である。左辺は $\mathcal C$ の合成としては $\psi_j \circ D^{\mathrm{op}}(v)$ 、すなわち $\varphi_j \circ D(u)$ であり、右辺は $\varphi_i$ である。したがってこの条件は $\varphi_j \circ D(u) = \varphi_i$ と同値であり、 $D$ 上の余錐の条件に一致する。 $\mathcal J^{\mathrm{op}}$ の射と $\mathcal J$ の射は一対一に対応するので、条件はすべての射について同時に対応する。

最後に普遍性を対応させる。 $(C, (\iota_j))$ を $D^{\mathrm{op}}$ 上の錐とする。 $D^{\mathrm{op}}$ 上の任意の錐 $(X, (\psi_j))$ に対して $\iota_j \circ^{\mathrm{op}} t = \psi_j$ を満たす $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ の射 $t : X \to C$ がただ一つ存在するという条件を、 $\mathcal C$ の言葉で書き直す。 $t$ は $\mathcal C$ の射 $t : C \to X$ であり、 $\iota_j \circ^{\mathrm{op}} t$ は $\mathcal C$ の合成としては $t \circ \iota_j$ である。したがって条件は、 $D$ 上の任意の余錐 $(X, (\varphi_j))$ に対して $t \circ \iota_j = \varphi_j$ を満たす $t : C \to X$ がただ一つ存在することと同値であり、これは $(C, (\iota_j))$ が $D$ の余極限であることにほかならない。▨

注意 2.3 (双対性の原理).命題 2.2により、余錐と余極限についての主張は、圏 $\mathcal C$ を $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ へ、添字圏 $\mathcal J$ を $\mathcal J^{\mathrm{op}}$ へ、図式 $D$ を $D^{\mathrm{op}}$ へ置き換えることで、錐と極限についての主張に移る。書き換えの手続きは次の三つである。

各射の始域と終域を入れ換える。
合成 $g \circ f$ を $f \circ g$ に置き換える。
錐、極限、射影という語を、余錐、余極限、入射に置き換える。

§E21.1 命題 5.2により $(\mathcal C^{\mathrm{op}})^{\mathrm{op}} = \mathcal C$ が成り立つので、この書き換えは二度行うと元へ戻る。したがって、極限についての主張を証明すれば、対応する余極限についての主張の証明を別に書く必要はない。「圏と反対圏」の§E21.1 注意 5.4が定めるとおり、本記事と次の記事は、双対の主張が必要になる箇所でそれを $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ における主張として書き下し、同じ形の証明を二度書かない。

例 2.4 (一つの非恒等射をもつ図式の余極限).例 1.3と同じ添字圏 $\mathcal J$ と同じ図式 $D$ 、すなわち $\mathcal C$ の射 $f : A \to B$ を取る。

$D$ 上の余錐は、対象 $X$ と射 $\varphi_1 : A \to X$ 、 $\varphi_2 : B \to X$ の組であって $\varphi_2 \circ f = \varphi_1$ を満たすものである。したがって $\varphi_2$ を与えると $\varphi_1$ が定まる。

組 $(B, (f, \mathrm{id}_B))$ は余錐である。実際 $\mathrm{id}_B \circ f = f$ が成り立つ。 $(X, (\varphi_1, \varphi_2))$ を余錐とすると、条件 $t \circ \mathrm{id}_B = \varphi_2$ は $t = \varphi_2$ と同値なので、条件を満たす $t$ は高々一つである。 $t = \varphi_2$ とおくと、残る条件 $t \circ f = \varphi_1$ は余錐の等式そのものであるから成り立つ。ゆえに $(B, (f, \mathrm{id}_B))$ は $D$ の余極限であり $\operatorname{colim} D = B$ である。

3 極限の一意性

極限の定義は、対象 $L$ の内部の構造を一切用いていない。用いているのは、他のすべての錐から $L$ へ射がただ一つ存在するという条件だけである。この条件だけから、極限が同型を除いて定まることが従う。

証明の方針は次のとおりである。二つの極限 $(L, (\pi_j))$ と $(L', (\pi'_j))$ を取り、一方の錐としての性質と他方の極限としての性質を組み合わせて、両向きの射 $t : L \to L'$ と $s : L' \to L$ を作る。次に、合成 $s \circ t$ が $L$ の射影と両立することを確かめる。ここで用いる本質的な一手は、極限の定義に現れる射の一意性を、錐 $(L, (\pi_j))$ 自身へ適用することである。この錐から $L$ への射で射影と両立するものは高々一つであり、 $s \circ t$ と $\mathrm{id}_L$ の双方がその条件を満たすので、両者は一致する。

定理 3.1. $D : \mathcal J \to \mathcal C$ を図式とし、 $(L, (\pi_j))$ と $(L', (\pi'_j))$ をともに $D$ の極限とする。このとき

\pi'_j \circ t = \pi_j \qquad (j \in \operatorname{Ob}(\mathcal J))

をすべて満たす射 $t : L \to L'$ がただ一つ存在し、その $t$ は同型射である。

証明. $(L, (\pi_j))$ は $D$ 上の錐であり、 $(L', (\pi'_j))$ は $D$ の極限である。極限の定義を錐 $(L, (\pi_j))$ へ適用すると、すべての $j \in \operatorname{Ob}(\mathcal J)$ について $\pi'_j \circ t = \pi_j$ を満たす射 $t : L \to L'$ がただ一つ存在する。これが主張の前半である。

同じ議論を役割を入れ換えて行う。 $(L', (\pi'_j))$ は錐であり $(L, (\pi_j))$ は極限であるから、すべての $j$ について $\pi_j \circ s = \pi'_j$ を満たす射 $s : L' \to L$ がただ一つ存在する。

合成 $s \circ t : L \to L$ を考える。 $\mathcal C$ の結合律（§E21.1 定義 1.1）により、各 $j$ について

\pi_j \circ (s \circ t) = (\pi_j \circ s) \circ t = \pi'_j \circ t = \pi_j

が成り立つ。一方、 $\mathcal C$ の単位律により $\pi_j \circ \mathrm{id}_L = \pi_j$ である。ここで、極限の定義を錐 $(L, (\pi_j))$ と極限 $(L, (\pi_j))$ の組に対して適用する。すなわち、すべての $j$ について $\pi_j \circ r = \pi_j$ を満たす射 $r : L \to L$ はただ一つである。射 $s \circ t$ と射 $\mathrm{id}_L$ はともにこの条件を満たすので、

s \circ t = \mathrm{id}_L

である。

同様に、各 $j$ について $\pi'_j \circ (t \circ s) = (\pi'_j \circ t) \circ s = \pi_j \circ s = \pi'_j$ であり、 $\pi'_j \circ \mathrm{id}_{L'} = \pi'_j$ である。極限 $(L', (\pi'_j))$ に対する射の一意性から $t \circ s = \mathrm{id}_{L'}$ を得る。

二つの等式は、 $s$ が $t$ の逆射であることを示す。したがって $t$ は同型射である。▨

系 3.2. $D : \mathcal J \to \mathcal C$ を図式とし、 $(C, (\iota_j))$ と $(C', (\iota'_j))$ をともに $D$ の余極限とする。このとき

t \circ \iota_j = \iota'_j \qquad (j \in \operatorname{Ob}(\mathcal J))

をすべて満たす射 $t : C \to C'$ がただ一つ存在し、その $t$ は同型射である。

証明.命題 2.2により、 $(C, (\iota_j))$ と $(C', (\iota'_j))$ はともに $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ における図式 $D^{\mathrm{op}}$ の極限である。定理 3.1を、第一の極限を $(C', (\iota'_j))$ 、第二の極限を $(C, (\iota_j))$ として $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ で適用すると、 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ の射 $\tilde t : C' \to C$ で、すべての $j$ について

\iota_j \circ^{\mathrm{op}} \tilde t = \iota'_j

を満たすものがただ一つ存在し、 $\tilde t$ は $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ の同型射である。

これを $\mathcal C$ の言葉へ戻す。 $\tilde t$ は $\mathcal C$ の射 $t : C \to C'$ であり、 $\iota_j \circ^{\mathrm{op}} \tilde t$ は $\mathcal C$ の合成としては $t \circ \iota_j$ である。したがって条件は $t \circ \iota_j = \iota'_j$ となり、そのような $t$ はただ一つである。また、 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ における逆射は $\mathcal C$ における逆射にほかならないので、 $t$ は $\mathcal C$ の同型射である。▨

注意 3.3 ( $\lim D$ という記号が指すもの).定理 3.1は、 $D$ の極限が一つの対象として定まることを主張していない。主張しているのは、二つの極限錐の頂点の間に、射影と両立する同型射がただ一つ存在することである。したがって $\lim D$ という記号は、極限が存在するときに一つ選んだ極限錐の頂点を表す。別の選び方をした場合の結果は、この同型射によって移り合う。

同型射が射影と両立するという条件を落とすと、一意性は成り立たない。頂点どうしの同型射は一般に複数存在しうるからである。極限の一意性を用いるときは、どの錐に関して両立するのかを常に指定する。

4 前順序集合における極限と余極限

前順序集合を圏とみなすと、錐と余錐が下界と上界に一致し、極限と余極限が下限と上限に一致する。この例では、極限をもたない図式を作ることもできる。上界、下界、上限、下限は、§E1.8 定義 2.1が前順序集合について定めたものを用いる。上界の条件は、§E1.8 定義 2.4が半順序集合について定めたものと同じ形であり、反対称律を用いないので前順序集合についてもそのまま読むことができる。

例 4.1 (前順序集合の極限は下限である). $(P, \le)$ を前順序集合（§E1.8 定義 1.1）とし、§E21.1 命題 3.1によって定まる圏を $\mathcal P$ とする。 $\mathcal P$ の対象は $P$ の元であり、 $x \le y$ のとき $\operatorname{Hom}_{\mathcal P}(x, y)$ はただ一つの元からなり、そうでないとき空集合である。

$\mathcal J$ を小さい圏、 $D : \mathcal J \to \mathcal P$ を図式とする。頂点を $x$ とする錐の等式 $D(u) \circ \psi_i = \psi_j$ （ $u : i \to j$ ）を見る。両辺はともに $x$ から $D(j)$ への射であり、 $\operatorname{Hom}_{\mathcal P}(x, D(j))$ は高々一つの元しかもたないので、この等式は自動的に成り立つ。ゆえに $D$ 上の錐は、 $P$ の元 $x$ であって、すべての $j \in \operatorname{Ob}(\mathcal J)$ について $x \le D(j)$ を満たすもの、すなわち集合 $\{ D(j) \mid j \in \operatorname{Ob}(\mathcal J) \}$ の下界と同じものである。

極限の条件は、下界 $\ell$ であって、任意の下界 $x$ について射 $x \to \ell$ が存在すること、すなわち $x \le \ell$ が成り立つことである。射の一意性は、hom 集合が高々一つの元しかもたないことから自動的に成り立つ。したがって $D$ の極限は $\{ D(j) \mid j \in \operatorname{Ob}(\mathcal J) \}$ の下限にほかならない。双対に、 $D$ 上の余錐は同じ集合の上界であり、余極限は上限である。

前順序では反対称律を仮定していないので、下限は一つに定まるとは限らない。 $\ell$ と $\ell'$ がともに下限であれば $\ell \le \ell'$ かつ $\ell' \le \ell$ が成り立つだけである。この二本の射が互いに逆であることが、定理 3.1の与える同型にあたる。半順序集合では反対称律により $\ell = \ell'$ となるので、下限は一つに定まる（§E1.8 命題 2.3）。次の記事「極限・余極限の特殊な場合」が同じ計算を半順序集合に限って扱うのは、束との対応を等式として述べるためである。

極限をもたない図式が存在する。 $P = \{a, b\}$ とし、順序を $a \le a$ と $b \le b$ だけで定める。 $\mathcal J$ を、対象が $1$ と $2$ 、射が恒等射だけからなる圏とし、 $D(1) = a$ 、 $D(2) = b$ とする。 $D$ 上の錐は $x \le a$ かつ $x \le b$ を満たす $x \in P$ であるが、 $a \le b$ も $b \le a$ も成り立たないので、そのような $x$ は存在しない。 $D$ 上の錐が一つも存在しないので、 $D$ の極限も存在しない。

5 演習

問題 5.1.

定義 1.1の錐の条件を、 $\mathcal J$ の恒等射に対して書き下し、関手の条件と圏の単位律だけからそれが自動的に成り立つことを示せ。
命題 2.2の証明のうち、余錐の等式 $\varphi_j \circ D(u) = \varphi_i$ が $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ における錐の等式へ移る箇所を、合成の順序の反転を各段階で明示して再現せよ。
定理 3.1の証明で $s \circ t = \mathrm{id}_L$ を導いた箇所について、そこで用いた射の一意性がどの錐とどの極限の組に対する一意性であるかを明示して、証明を書き直せ。
$\mathcal J$ が対象 $\ast$ を一つだけもち、射が $\mathrm{id}_\ast$ だけからなる圏である場合を考える。図式 $D : \mathcal J \to \mathcal C$ の極限と余極限がともに存在し、いずれも頂点が $D(\ast)$ であることを証明せよ。
例 4.1の末尾で用いた前順序集合 $P = \{a, b\}$ （順序は $a \le a$ と $b \le b$ だけ）において、余極限をもたない図式を一つ作り、その図式上の余錐が存在しないことを確かめよ。
注意 3.3の主張にしたがって、 $\lim D$ という記号が特定の対象を指すものではないことを、定理 3.1のどの部分がその根拠になるかを示して説明せよ。

6 扱った範囲と次の記事

本記事では、小さい圏からの関手として図式を定め、その上の錐と余錐、および極限と余極限を定義した。余極限が反対圏における極限であることを証明し、双対性の原理として書き換えの手続きを整理した。極限が錐の同型を除いて一意であることを一般の図式について証明し、余極限の一意性をその双対として導いた。

次の記事「極限・余極限の特殊な場合」は、添字圏を空圏、離散圏、平行な二射の圏および終域を共有する二射の圏へ取り替えることで、始対象と終対象、直積と余積、equalizer と coequalizer、pullback と pushout を導く。各構成の一意性は本記事の定理 3.1と系 3.2の系として述べ、同じ形の証明を繰り返さない。同記事はさらに、直積と equalizer をもつ圏が小さい図式の極限をすべてもつことを証明する。

集合、群、ベクトル空間、位相空間および順序集合の圏で極限と余極限を横断的に計算する作業は「極限・余極限の計算」が扱う。関手が極限を保つ条件、とくに右随伴が存在する極限を保つことは「右随伴と極限」が証明する。集合でない大きさの添字圏の扱い、および極限の存在に関する定理のうち随伴関手定理を要するものは「圏論 II」が扱う。

§E21.4極限と余極限