圏と反対圏 | 圏論 I | 天游ヶ丘数理学院

1 圏の定義

圏の定義は、対象の内部構造を用いず、射の合成と恒等射だけを用いて書かれる。

定義 1.1. 圏 (category) $\mathcal C$ とは、次の四つのデータの組である。

対象 (object) の集まり $\operatorname{Ob}(\mathcal C)$ 。
各対象の組 $(A, B)$ に対する射 (morphism) の集まり $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(A, B)$ 。各射 $f$ に対して $f \in \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(A, B)$ を満たす組 $(A, B)$ はただ一つであるとする。この組に対して $f : A \to B$ と書き、 $A$ を $f$ の定義域 (domain)、 $B$ を $f$ の終域 (codomain) という。
合成 (composition) の規則。各 $f : A \to B$ と $g : B \to C$ に対して射 $g \circ f : A \to C$ を与える。
各対象 $A$ に対する恒等射 (identity morphism) $\mathrm{id}_A : A \to A$ 。

これらが次の二つの条件を満たす。

結合律 (associativity): $f : A \to B$ 、 $g : B \to C$ 、 $h : C \to D$ について $(h \circ g) \circ f = h \circ (g \circ f)$ が成り立つ。
単位律 (identity law): $f : A \to B$ について $f \circ \mathrm{id}_A = f$ かつ $\mathrm{id}_B \circ f = f$ が成り立つ。

圏が文脈から定まるときは $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(A, B)$ を $\operatorname{Hom}(A, B)$ と書く。

結合律により、三つ以上の射の合成は括弧の付け方によらない。以下では、この事実を用いて括弧を省略することがある。

注意 1.2 (対象と射の大きさ).定義 1.1は、 $\operatorname{Ob}(\mathcal C)$ と $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(A, B)$ が集合であることを要求していない。すべての集合を対象とする圏を作るとき、対象の全体は集合ではないからである。本記事はこれらを「集まり」と呼び、大きさに関する条件を課さない。各対象の組に対する射の全体が集合であるという条件は「米田の補題と表現可能関手」が導入し、その条件を必要とする主張にだけ課す。大きさを体系的に管理する枠組みは「圏論 II」が扱う。

恒等射は定義 1.1のデータとして与えられているが、単位律を満たす射は各対象について一つしかない。

命題 1.3. $\mathcal C$ を圏、 $A$ をその対象とする。射 $e : A \to A$ が次の二つを満たすとする。

$A$ を定義域とする任意の射 $f : A \to X$ について $f \circ e = f$ が成り立つ。
$A$ を終域とする任意の射 $g : Y \to A$ について $e \circ g = g$ が成り立つ。

このとき $e = \mathrm{id}_A$ である。

証明. $\mathrm{id}_A$ は $A$ を定義域とする射であるから、(1)を $f = \mathrm{id}_A$ について用いると

\mathrm{id}_A \circ e = \mathrm{id}_A

が成り立つ。一方、 $e$ は終域が $A$ の射であるから、定義 1.1の単位律を $f = e$ について用いると

\mathrm{id}_A \circ e = e

が成り立つ。二つの等式の左辺は同じ射であるから $e = \mathrm{id}_A$ である。この証明は(1)だけを用いている。▨

2 圏の例

上流の各単元は、構造を保つ写像の合成が再び構造を保つ写像であることを証明している。それらを引くと、次の各対応が圏の公理を満たす。

例 2.1 (集合と写像のなす圏). 対象を集合とし、 $\operatorname{Hom}(A, B)$ を $A$ から $B$ への写像の全体（§E1.1 定義 1.1）とする。合成を写像の合成、恒等射を恒等写像（§E1.1 定義 2.1）とする。写像の合成が結合的であることと、恒等写像が合成の単位として働くことは§E1.1 命題 2.2が示している。したがってこの対応は圏の公理を満たす。この圏を $\mathbf{Set}$ と書く。

ここで写像は、定義域と終域を指定した上での対応とみなす。対応そのものが一致していても定義域と終域が異なるものは異なる射であり、これによって定義 1.1 (2)が満たされる。

例 2.2 (代数系のなす圏). 群（§E7.1 定義 1.1）を対象、群準同型（§E7.3 定義 1.1）を射とする対応は圏をなす。準同型の合成が準同型であることは§E7.3 命題 1.4が示しており、恒等写像は準同型である。射は写像であり合成は写像の合成であるから、結合律と単位律は§E1.1 命題 2.2に帰着する。この圏を $\mathbf{Grp}$ と書く。アーベル群（§E7.1 定義 1.2）を対象、群準同型を射とする対応も同じ理由で圏をなす。この圏を $\mathbf{Ab}$ と書く。

体 $k$ 上の線形空間（§E3.2 定義 1.1）を対象、線形写像（§E3.4 定義 1.1）を射とする対応は圏をなす。線形写像 $f : U \to V$ 、 $g : V \to W$ と $a, b \in k$ 、 $u, u' \in U$ について

(g \circ f)(a u + b u') = g\bigl(a f(u) + b f(u')\bigr) = a\, g(f(u)) + b\, g(f(u'))

が成り立つので、合成 $g \circ f$ は線形写像である。恒等写像は線形写像である。結合律と単位律は $\mathbf{Set}$ の場合と同じ根拠による。この圏を $\mathbf{Vect}_k$ と書く。

環（§E6.1 定義 1.1）を対象、環準同型（§E6.1 定義 1.3）を射とする対応は圏をなす。環準同型 $f : R \to S$ 、 $g : S \to T$ について、 $g \circ f$ は加法と乗法を保ち、 $g(f(1_R)) = g(1_S) = 1_T$ を満たすので環準同型である。恒等写像は環準同型である。この圏を $\mathbf{Ring}$ と書く。

$R$ を単位元をもつ結合環とする。左 $R$ 加群（§E6.2 定義 1.2）を対象、左 $R$ 加群準同型（§E6.2 定義 4.1）を射とする対応は圏をなす。左 $R$ 加群準同型 $f : M \to N$ 、 $g : N \to P$ と $m, m' \in M$ 、 $r \in R$ について

(g \circ f)(m + m') = g\bigl(f(m) + f(m')\bigr) = (g \circ f)(m) + (g \circ f)(m')

および

(g \circ f)(r m) = g\bigl(r f(m)\bigr) = r\,(g \circ f)(m)

が成り立つので、合成 $g \circ f$ は左 $R$ 加群準同型である。恒等写像は左 $R$ 加群準同型である。結合律と単位律は $\mathbf{Set}$ の場合と同じ根拠による。この圏を $R\text{-}\mathbf{Mod}$ と書く。右 $R$ 加群と右 $R$ 加群準同型についても、第二の等式を $(g \circ f)(m r) = (g \circ f)(m) r$ に置き換えて同じ議論が成り立つ。この圏を $\mathbf{Mod}\text{-}R$ と書く。

体 $k$ を環とみなすと、 $k$ 上の線形空間は左 $k$ 加群である（§E6.2 例 1.5）。

例 2.3 (位相空間と連続写像のなす圏). 対象を位相空間（§E2.11 定義 1.1）、射を連続写像（§E2.12 定義 1.1）とする。連続写像の合成が連続であることは§E2.12 命題 1.10が示しており、恒等写像は連続である。結合律と単位律は写像としての等式であるから§E1.1 命題 2.2による。この圏を $\mathbf{Top}$ と書く。

上の三つの例では、射は写像であり、合成は写像の合成である。定義 1.1は射が写像であることを要求していない。次節の二つの構成は、射が写像でない圏を与える。

3 構造そのものを圏とみなす

順序関係と代数演算は、それ自体を一つの圏として読み直すことができる。まず順序の場合を扱う。反射律と推移律だけを課した二項関係を前順序といい、前順序を備えた組を前順序集合という（§E1.8 定義 1.1）。半順序（§E1.8 定義 1.2）は前順序に反対称律を加えたものであるから、半順序集合は前順序集合である。順序の語は「数学の基礎」の「順序集合」が定めたものをそのまま用いる。

次の命題は、前順序集合が圏として読み直されることを述べる。

命題 3.1. $(P, \le)$ を前順序集合とする。対象を $P$ の元とし、対象の組 $(x, y)$ に対して

\operatorname{Hom}(x, y) = \begin{cases} \{(x, y)\} & (x \le y \text{ のとき}) \\ \varnothing & (x \not\le y \text{ のとき})\end{cases}

と定める。 $x \le y$ かつ $y \le z$ のとき、合成を $(y, z) \circ (x, y) = (x, z)$ と定め、対象 $x$ の恒等射を $(x, x)$ と定める。このとき、これらのデータは圏の公理を満たす。

証明. まず合成と恒等射が定義されることを確かめる。 $x \le y$ かつ $y \le z$ のとき、推移律により $x \le z$ が成り立つので $\operatorname{Hom}(x, z) = \{(x, z)\}$ であり、合成の値 $(x, z)$ はこの集合に属する。反射律により $x \le x$ が成り立つので $\operatorname{Hom}(x, x) = \{(x, x)\}$ であり、恒等射はこの集合に属する。射 $(x, y)$ は組 $(x, y)$ を定めるので、定義 1.1 (2)も満たされる。

結合律を示す。 $f : x \to y$ 、 $g : y \to z$ 、 $h : z \to w$ を射とする。 $(h \circ g) \circ f$ と $h \circ (g \circ f)$ はともに $\operatorname{Hom}(x, w)$ の元である。合成が定義されているので $x \le w$ が成り立ち、 $\operatorname{Hom}(x, w)$ はちょうど一つの元しかもたない。したがって両辺は等しい。

単位律を示す。 $f : x \to y$ について、 $f \circ \mathrm{id}_x$ と $\mathrm{id}_y \circ f$ と $f$ はいずれも $\operatorname{Hom}(x, y)$ の元である。 $x \le y$ なので $\operatorname{Hom}(x, y)$ はちょうど一つの元しかもたない。したがって三つは互いに等しい。▨

各 $\operatorname{Hom}(x, y)$ が高々一つの元しかもたないため、結合律と単位律の検証は等式の両辺が同じ一元集合に属することの確認で済んでいる。この事情は、次の例のように具体的な前順序集合でも同じである。

例 3.2 (前順序集合から得られる圏).

正の整数の全体に整除関係 $\mid$ を入れたものは半順序集合であり（§E1.8 例 1.3の 2）、したがって前順序集合である。得られる圏では、 $m \mid n$ のとき $m$ から $n$ への射がちょうど一本存在し、 $m \nmid n$ のとき射は一本も存在しない。たとえば $2 \mid 6$ と $3 \mid 6$ が成り立つので $2 \to 6$ と $3 \to 6$ の射が存在する一方、 $2 \nmid 3$ かつ $3 \nmid 2$ なので $2$ と $3$ の間には射が存在しない。また $1 \to 2 \to 6$ と $1 \to 3 \to 6$ の二つの合成は、 $\operatorname{Hom}(1, 6)$ が一元集合であるから同じ射である。
位相空間 $X$ の開集合の全体に包含関係 $\subseteq$ を入れたものは前順序集合であり、実際には半順序集合である。得られる圏を $\mathcal O(X)$ と書く。 $V \subseteq U$ のとき、 $V$ から $U$ への射がちょうど一本存在する。
整数の全体に整除関係 $\mid$ を入れたものは前順序集合であるが、半順序集合ではない（§E1.8 例 1.3の 4）。得られる圏では、 $-2$ から $2$ への射と $2$ から $-2$ への射がともに存在する。反対称律を要求しない前順序を用いるのは、この形の例を含めるためである。
集合 $I$ に対し、 $x \le y$ を $x = y$ と定めた関係は前順序である。得られる圏の射は恒等射だけである。
元をもたない前順序集合からは、対象も射ももたない圏が得られる。

次に代数演算の場合を扱う。

命題 3.3. $(M, \cdot, e)$ をモノイド（§E7.14 定義 1.2）とする。対象がただ一つ $\ast$ であり、

\operatorname{Hom}(\ast, \ast) = M, \qquad g \circ f = g \cdot f, \qquad \mathrm{id}_\ast = e

で与えられるデータは圏の公理を満たす。この圏を $\mathcal B M$ と書く。

逆に、 $\mathcal C$ を対象がただ一つ $\ast$ の圏とし、 $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(\ast, \ast)$ が集合であるとする。このとき $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(\ast, \ast)$ は、合成を積、 $\mathrm{id}_\ast$ を単位元としてモノイドをなす。二つの構成は互いに逆である。

証明. 第一の主張を示す。射の合成は $M$ の積として定義されているので、合成可能な任意の二つの射に対して値が定まる。結合律については、 $f, g, h \in M$ について

(h \circ g) \circ f = (h \cdot g) \cdot f, \qquad h \circ (g \circ f) = h \cdot (g \cdot f)

であり、 $M$ の積が結合的であるから両者は等しい。単位律については $f \circ \mathrm{id}_\ast = f \cdot e = f$ と $\mathrm{id}_\ast \circ f = e \cdot f = f$ であり、 $e$ が両側の単位元であることによる。

第二の主張を示す。 $\mathcal C$ の合成は写像

\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(\ast, \ast) \times \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(\ast, \ast) \longrightarrow \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(\ast, \ast)

を与える。定義 1.1の結合律がこの積の結合律であり、単位律が $\mathrm{id}_\ast$ が両側の単位元であることである。したがって $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(\ast, \ast)$ はモノイドの公理を満たす。

二つの構成が互いに逆であることを示す。モノイド $M$ から作った圏 $\mathcal B M$ の射の全体は $M$ であり、その積は $g \circ f = g \cdot f$ 、単位元は $e$ であるから、得られるモノイドは $M$ に一致する。逆に、対象がただ一つの圏 $\mathcal C$ から作ったモノイドを再び圏とみなすと、対象はただ一つ、射の全体は $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(\ast, \ast)$ であり、合成と恒等射は $\mathcal C$ のものに一致する。▨

4 部分圏

圏の対象と射の一部を取り出して、合成と恒等射をそのまま用いる場合を扱う。

定義 4.1. $\mathcal C$ を圏とする。 $\mathcal D$ が $\mathcal C$ の部分圏 (subcategory) であるとは、次の四つを満たすことをいう。

$\operatorname{Ob}(\mathcal D)$ は $\operatorname{Ob}(\mathcal C)$ の一部分である。
$\mathcal D$ の各対象の組 $(A, B)$ について $\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(A, B) \subseteq \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(A, B)$ が成り立つ。
$\mathcal D$ の各対象 $A$ について $\mathrm{id}_A \in \operatorname{Hom}_{\mathcal D}(A, A)$ が成り立つ。
$f \in \operatorname{Hom}_{\mathcal D}(A, B)$ と $g \in \operatorname{Hom}_{\mathcal D}(B, C)$ について $g \circ f \in \operatorname{Hom}_{\mathcal D}(A, C)$ が成り立つ。

さらに $\mathcal D$ の任意の対象の組 $(A, B)$ について $\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(A, B) = \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(A, B)$ が成り立つとき、 $\mathcal D$ を $\mathcal C$ の充満部分圏 (full subcategory) という。

命題 4.2. $\mathcal D$ を圏 $\mathcal C$ の部分圏とする。 $\mathcal C$ の合成と恒等射を制限したものによって、 $\mathcal D$ は圏の公理を満たす。

証明.定義 4.1 条件 (c)と定義 4.1 条件 (d)により、恒等射と合成は $\mathcal D$ の中で定まる。結合律と単位律の各等式は、 $\mathcal C$ の同じ射の間の等式であり、 $\mathcal C$ が圏であることから成り立つ。射の定義域と終域が一意であることは $\mathcal C$ から引き継がれる。▨

例 4.3 (部分圏の例).

$\mathbf{Ab}$ は $\mathbf{Grp}$ の充満部分圏である。アーベル群の組に対する群準同型の全体は、それらを群とみなしたときの準同型の全体に等しいからである。
体 $k$ 上の有限次元線形空間を対象とし、それらの間の線形写像をすべて射とするものは $\mathbf{Vect}_k$ の充満部分圏である。この圏を $\mathbf{Vect}_k^{\mathrm{fd}}$ と書く。
可換環を対象とし、環準同型を射とするものは $\mathbf{Ring}$ の充満部分圏である。この圏を $\mathbf{CRing}$ と書く。
集合を対象とし、単射（§E1.1 定義 3.1）だけを射とするものは $\mathbf{Set}$ の部分圏である。恒等写像は単射であり、単射の合成は単射である（§E1.1 命題 3.5）。この部分圏は充満でない。実際、二元集合から一元集合への写像は $\mathbf{Set}$ の射であるが単射ではない。
$0$ を含む自然数の全体 $\mathbb N$ と整数の全体 $\mathbb Z$ を、いずれも加法についてのモノイドとみなし、命題 3.3によって同じ対象 $\ast$ をもつ圏 $\mathcal B \mathbb N$ と $\mathcal B \mathbb Z$ を作る。 $\mathbb N \subseteq \mathbb Z$ であり、 $0 \in \mathbb N$ であり、自然数の和は自然数であるから、 $\mathcal B \mathbb N$ は $\mathcal B \mathbb Z$ の部分圏である。 $-1 \in \mathbb Z$ が $\mathbb N$ に属さないので、この部分圏は充満でない。射 $1$ は $\mathcal B \mathbb Z$ の同型射であり、逆射は $-1$ である。一方、 $1 + n = 0$ を満たす $n \in \mathbb N$ は存在しないので、 $1$ は $\mathcal B \mathbb N$ の同型射ではない。

5 反対圏

射の向きをすべて逆にする操作は、圏から圏を作る。この操作によって、一つの証明から向きを逆にした主張を得ることができる。

定義 5.1. $\mathcal C$ を圏とする。反対圏 (opposite category) $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ を次のデータで定める。

$\operatorname{Ob}(\mathcal C^{\mathrm{op}}) = \operatorname{Ob}(\mathcal C)$ とする。
対象の組 $(A, B)$ について $\operatorname{Hom}_{\mathcal C^{\mathrm{op}}}(A, B) = \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(B, A)$ とする。
$f \in \operatorname{Hom}_{\mathcal C^{\mathrm{op}}}(A, B)$ と $g \in \operatorname{Hom}_{\mathcal C^{\mathrm{op}}}(B, C)$ に対して、 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ における合成を $g \circ^{\mathrm{op}} f = f \circ g$ で定める。右辺は $\mathcal C$ における合成である。
対象 $A$ の恒等射を $\mathcal C$ の $\mathrm{id}_A$ とする。

合成の型を確かめる。 $f$ は $\mathcal C$ では $B \to A$ の射、 $g$ は $\mathcal C$ では $C \to B$ の射であるから、 $f \circ g$ は $\mathcal C$ の射 $C \to A$ である。これは $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ では $A \to C$ の射であり、要求される型に一致する。

命題 5.2. $\mathcal C$ を圏とする。 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ は圏の公理を満たし、 $(\mathcal C^{\mathrm{op}})^{\mathrm{op}} = \mathcal C$ が成り立つ。

証明. 結合律を示す。 $f \in \operatorname{Hom}_{\mathcal C^{\mathrm{op}}}(A, B)$ 、 $g \in \operatorname{Hom}_{\mathcal C^{\mathrm{op}}}(B, C)$ 、 $h \in \operatorname{Hom}_{\mathcal C^{\mathrm{op}}}(C, D)$ とする。 $\mathcal C$ ではそれぞれ $f : B \to A$ 、 $g : C \to B$ 、 $h : D \to C$ である。 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ の合成の定義により

(h \circ^{\mathrm{op}} g) \circ^{\mathrm{op}} f = f \circ (h \circ^{\mathrm{op}} g) = f \circ (g \circ h)

であり、また

h \circ^{\mathrm{op}} (g \circ^{\mathrm{op}} f) = h \circ^{\mathrm{op}} (f \circ g) = (f \circ g) \circ h

である。 $\mathcal C$ の結合律により両者は等しい。

単位律を示す。 $f \in \operatorname{Hom}_{\mathcal C^{\mathrm{op}}}(A, B)$ 、すなわち $\mathcal C$ では $f : B \to A$ とする。定義により $f \circ^{\mathrm{op}} \mathrm{id}_A = \mathrm{id}_A \circ f = f$ であり、 $\mathrm{id}_B \circ^{\mathrm{op}} f = f \circ \mathrm{id}_B = f$ である。いずれも $\mathcal C$ の単位律による。射の定義域と終域が一意であることは、 $\operatorname{Hom}$ の集まりを組ごと入れ替えただけであるから $\mathcal C$ から引き継がれる。

二重の反対圏を調べる。対象については

\operatorname{Ob}\bigl((\mathcal C^{\mathrm{op}})^{\mathrm{op}}\bigr) = \operatorname{Ob}(\mathcal C^{\mathrm{op}}) = \operatorname{Ob}(\mathcal C)

である。射については

\operatorname{Hom}_{(\mathcal C^{\mathrm{op}})^{\mathrm{op}}}(A, B) = \operatorname{Hom}_{\mathcal C^{\mathrm{op}}}(B, A) = \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(A, B)

である。合成については、二重の反対圏の合成を $\circ^{\mathrm{op}\,\mathrm{op}}$ と書くと

g \circ^{\mathrm{op}\,\mathrm{op}} f = f \circ^{\mathrm{op}} g = g \circ f

である。恒等射は二度の構成のいずれでも変わらない。四つのデータがすべて $\mathcal C$ のものに一致するので $(\mathcal C^{\mathrm{op}})^{\mathrm{op}} = \mathcal C$ である。▨

例 5.3 (反対環が定める反対圏). $R$ を環とし、その乗法モノイド $(R, \cdot, 1)$ を命題 3.3によって対象がただ一つの圏 $\mathcal B R$ とみなす。反対環 $R^{\mathrm{op}}$ は、 $R$ と同じ加法をもち、乗法を $a \ast b = b \cdot a$ で定めた環である（§E6.1 定義 4.1、§E6.1 命題 4.2）。

$\mathcal B R$ の合成は $g \circ f = g \cdot f$ であるから、定義 5.1により $(\mathcal B R)^{\mathrm{op}}$ の合成は

g \circ^{\mathrm{op}} f = f \circ g = f \cdot g

である。一方 $R^{\mathrm{op}}$ の乗法は $g \ast f = f \cdot g$ である。両者は一致する。恒等射はどちらの圏でも $1$ である。対象はどちらもただ一つである。したがって

(\mathcal B R)^{\mathrm{op}} = \mathcal B (R^{\mathrm{op}})

が成り立つ。

注意 5.4 (双対の主張). 圏の言葉だけで書かれた主張について、すべての射の向きを逆にし、合成の順序を入れ替えたものを、その主張の双対という。ある主張がすべての圏について成り立つならば、その主張を $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ へ適用し、命題 5.2によって $\mathcal C$ の言葉へ読み直すことで、双対の主張もすべての圏について成り立つ。本単元は、双対を取る手続きを形式的な言語の上の定理として述べない。双対の主張が必要になる箇所では、 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ における主張として書き下す。この方法は「極限と余極限」が余極限を極限の双対として定めるときに用いる。

6 同型射

対象どうしを同じものとみなす条件は、射の言葉だけで書くことができる。

定義 6.1. $\mathcal C$ を圏とする。射 $f : A \to B$ が同型射 (isomorphism) であるとは、

g \circ f = \mathrm{id}_A, \qquad f \circ g = \mathrm{id}_B

を満たす射 $g : B \to A$ が存在することをいう。この $g$ を $f$ の逆射 (inverse morphism) という。同型射 $A \to B$ が存在するとき、 $A$ と $B$ は同型 (isomorphic) であるといい $A \cong B$ と書く。

命題 6.2. $f : A \to B$ を同型射とする。 $f$ の逆射はただ一つである。

証明. $g, g' : B \to A$ がともに $f$ の逆射であるとする。単位律と結合律により

g = g \circ \mathrm{id}_B = g \circ (f \circ g') = (g \circ f) \circ g' = \mathrm{id}_A \circ g' = g'

が成り立つ。▨

命題 6.2により、同型射 $f$ の逆射を $f^{-1}$ と書くことができる。

命題 6.3. $\mathcal C$ を圏とする。次が成り立つ。

各対象 $A$ について $\mathrm{id}_A$ は同型射であり、 $\mathrm{id}_A^{-1} = \mathrm{id}_A$ である。
$f : A \to B$ が同型射ならば $f^{-1}$ も同型射であり、 $(f^{-1})^{-1} = f$ である。
$f : A \to B$ と $g : B \to C$ が同型射ならば $g \circ f$ も同型射であり、 $(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$ である。

証明.(1)を示す。単位律により $\mathrm{id}_A \circ \mathrm{id}_A = \mathrm{id}_A$ であるから、 $\mathrm{id}_A$ は自身の逆射である。

(2)を示す。 $f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_A$ と $f \circ f^{-1} = \mathrm{id}_B$ は、 $f$ が $f^{-1}$ の逆射であることをそのまま述べている。

(3)を示す。結合律と単位律により

(f^{-1} \circ g^{-1}) \circ (g \circ f) = f^{-1} \circ (g^{-1} \circ g) \circ f = f^{-1} \circ \mathrm{id}_B \circ f = f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_A

であり、同様に

(g \circ f) \circ (f^{-1} \circ g^{-1}) = g \circ (f \circ f^{-1}) \circ g^{-1} = g \circ \mathrm{id}_B \circ g^{-1} = g \circ g^{-1} = \mathrm{id}_C

である。したがって $g \circ f$ は同型射であり、命題 6.2により $(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$ である。▨

後続の記事が根拠として引くので、各圏の同型射がどの射に一致するかを命題として述べる。

命題 6.4. 次が成り立つ。

$\mathbf{Set}$ の射 $f$ が同型射であることと、 $f$ が全単射であることとは同値である。
$\mathbf{Grp}$ の射 $f$ が同型射であることと、 $f$ が全単射である群準同型であることとは同値である。
$\mathbf{Vect}_k$ の射 $f$ が同型射であることと、 $f$ が全単射である線形写像であることとは同値である。
$\mathbf{Top}$ の射 $f$ が同型射であることと、 $f$ が同相写像（§E2.12 定義 6.1）であることとは同値である。連続な全単射は同型射とは限らない。
前順序集合 $(P, \le)$ から得られる圏では、 $x$ から $y$ への射が同型射であることと、 $x \le y$ かつ $y \le x$ が成り立つこととは同値である。 $(P, \le)$ が半順序集合であるときは、反対称律によりこれは $x = y$ と同値である。

証明.(1)を示す。 $f : A \to B$ が全単射ならば、両側の逆写像 $g$ が存在する（§E1.1 命題 3.8）。 $g \circ f = \mathrm{id}_A$ と $f \circ g = \mathrm{id}_B$ であるから $f$ は同型射である。逆に $f$ が逆射 $g$ をもつとき、 $g \circ f = \mathrm{id}_A$ から $f$ は単射であり、 $f \circ g = \mathrm{id}_B$ から $f$ は全射である（§E1.1 命題 3.6）。

(2)を示す。 $f$ が全単射である群準同型ならば、逆写像 $g$ は群準同型である（§E7.3 命題 1.5）。したがって $g$ は $\mathbf{Grp}$ の射であり、(1)と同じ二つの等式が $\mathbf{Grp}$ で成り立つ。逆に $f$ が $\mathbf{Grp}$ の同型射ならば、逆射は写像として両側の逆写像を与えるので、(1)により $f$ は全単射である。

(3)は(2)と同じ議論による。全単射である線形写像の逆写像が線形であることは§E3.4 命題 1.2による。

(4)を示す。同相写像は連続な全単射であって逆写像も連続であるから、逆写像は $\mathbf{Top}$ の射であり、 $f$ は同型射である。逆に $f$ が $\mathbf{Top}$ の同型射ならば、逆射は連続写像であって写像として両側の逆写像を与えるので、 $f$ は同相写像である。連続な全単射であって同相写像でない例が§E2.12 例 6.9にあるから、連続な全単射は同型射とは限らない。

(5)を示す。命題 3.1により、 $x$ から $y$ への射が存在することは $x \le y$ と同値である。逆射が存在することは $y$ から $x$ への射が存在すること、すなわち $y \le x$ と同値である。射が存在すれば一意であるから、 $g \circ f$ と $f \circ g$ はそれぞれ $\operatorname{Hom}(x, x)$ と $\operatorname{Hom}(y, y)$ の唯一の元、すなわち恒等射である。▨

例 6.5 (群を対象がただ一つの圏とみなす). 群は、すべての元が逆元をもつモノイドである。したがって命題 3.3により、群 $G$ は対象がただ一つの圏 $\mathcal B G$ を定める。 $\mathcal B G$ の射 $g$ に対し、群の逆元 $g^{-1}$ は $g^{-1} \circ g = g^{-1} g = e$ と $g \circ g^{-1} = g g^{-1} = e$ を満たすので $g$ の逆射である。したがって $\mathcal B G$ ではすべての射が同型射である。

逆に、 $\mathcal C$ を対象がただ一つ $\ast$ の圏とし、 $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(\ast, \ast)$ が集合であり、すべての射が同型射であるとする。命題 3.3により $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(\ast, \ast)$ はモノイドであり、各元は逆射を逆元としてもつ。したがって $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(\ast, \ast)$ は群であり、 $\mathcal C$ はこの群から得られる。

7 演習

問題 7.1.

命題 1.3の証明を、定義 1.1の単位律をどの射について用いたかを明示して再現せよ。
$\mathcal C$ を圏とし、 $f : A \to B$ と $g : B \to A$ が $g \circ f = \mathrm{id}_A$ を満たすとする。 $f$ が同型射であるとは限らないことを、 $\mathbf{Set}$ の中の具体的な例によって示せ。
命題 3.1の証明で、各 $\operatorname{Hom}(x, y)$ が高々一つの元しかもたないことを用いた箇所をすべて挙げよ。
環 $R$ について $(\mathcal B R)^{\mathrm{op}} = \mathcal B (R^{\mathrm{op}})$ を、対象・射・合成・恒等射の四つのデータのそれぞれについて確かめよ。
$\mathcal C$ の部分圏 $\mathcal D$ について、 $\mathcal D$ における同型射が $\mathcal C$ における同型射であることを示せ。また、 $\mathcal C$ における同型射であって $\mathcal D$ における同型射でない $\mathcal D$ の射の例を挙げよ。
$\mathbf{Top}$ において、連続な全単射が同型射とは限らないことを§E2.12 例 6.9を用いて説明し、 $\mathbf{Set}$ との違いが定義 6.1のどの条件の検証で現れるかを述べよ。

8 扱った範囲と次の記事

本記事では、圏の公理、恒等射の一意性、部分圏と充満部分圏、反対圏、同型射と逆射の一意性を扱い、集合・群・アーベル群・線形空間・環・加群・位相空間の圏、前順序集合から得られる圏、モノイドから得られる圏を構成した。

次の記事「関手」は、圏から圏への対応として関手を定義し、反変関手を $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ からの関手として定める。対象を射の存在と一意性によって特徴づける方法は「極限と余極限」が扱う。各対象の組に対する射の全体が集合であるという条件は「米田の補題と表現可能関手」が導入する。大きさの体系的な管理は「圏論 II」が扱う。

§E21.1圏と反対圏