§C2.4ミケルの点

最終更新 2026-09-26

三角形の各辺またはその延長上に一点ずつ取ると、各頂点と隣り合う二点を通る円が三つ定まります。最初の二円の第二交点は、残る円にも属します。本記事は、三円の共通点を与えるミケルの定理を、辺の延長上の配置も含めて扱います。

定理 1 (ミケルの定理). 非退化三角形 $\triangle ABC$ の直線 $BC$ 、直線 $CA$ 、直線 $AB$ の上に、頂点とは異なる点 $D$ 、 $E$ 、 $F$ をそれぞれ取る。円 $(AEF)$ と円 $(BFD)$ が $F$ で接しない、すなわち二円の共有点が $F$ だけではないとする。このとき、この二円の $F$ でない交点 $M$ は円 $(CDE)$ の上にもあり、三円は $M$ を共有する。

補題 2. 非退化三角形 $\triangle ABC$ の直線 $BC$ 、直線 $CA$ 、直線 $AB$ の上に、頂点とは異なる点 $D$ 、 $E$ 、 $F$ をそれぞれ取る。このとき三点組 $A,E,F$ 、 $B,F,D$ 、 $C,D,E$ はいずれも同一直線上になく、これらを通る円 $(AEF)$ 、 $(BFD)$ 、 $(CDE)$ がそれぞれただ一つ定まる。さらに円 $(AEF)$ と円 $(BFD)$ は相異なる。

証明. $E$ は直線 $CA$ の上にあり $A$ と異なるから、二点 $A$ 、 $E$ を通る直線は直線 $CA$ である。同様に $F$ は直線 $AB$ の上にあり $A$ と異なるから、二点 $A$ 、 $F$ を通る直線は直線 $AB$ である。三角形 $ABC$ は非退化なので直線 $CA$ と直線 $AB$ は相異なり、 $F$ は直線 $CA$ の上にない。よって三点 $A$ 、 $E$ 、 $F$ は相異なり、同一直線上にない。 $B$ 、 $F$ 、 $D$ と $C$ 、 $D$ 、 $E$ についても、頂点を $B$ 、 $C$ に取り替えて同じ議論が成り立つ。

同一直線上にない相異なる三点に対して、§A5.8 定理 8.2により、その三点を頂点とする三角形の三辺の垂直二等分線はただ一点で交わり、その点を中心とする円が三点を通る。三点を通る円の中心は三本の垂直二等分線のいずれの上にもなければならないから、中心はこの一点に限り、円もただ一つに限る。よって円 $(AEF)$ 、 $(BFD)$ 、 $(CDE)$ がそれぞれただ一つ定まる。

円と直線が相異なる三点を共有することはない。実際、円の中心から直線へ下ろした垂線の足を $H$ とすると、直線上の点 $X$ に対する中心と $X$ の距離は $H$ と $X$ の距離だけで定まり、半径に等しい距離を与える点は $H$ の両側にそれぞれ高々一つだからである。 $A$ 、 $F$ 、 $B$ は直線 $AB$ の上の相異なる三点であり、円 $(AEF)$ は $A$ と $F$ を、円 $(BFD)$ は $B$ と $F$ を通る。二円が一致すればその円が $A$ 、 $F$ 、 $B$ を共有することになるので、二円は相異なる。▨

定義 3 (向きをもつ角). 平面の二直線 $\ell$ 、 $m$ に対し、 $\ell$ を $m$ に平行な直線へ重ねる回転を考える。この回転の角を反時計回りを正として測ると $180°$ の整数倍だけの不定性をもつので、 $180°$ を法とする値がただ一つ定まる。この値は回転の中心の取り方によらない。この値を $\ell$ から $m$ への向きをもつ角 (directed angle)（有向角）と呼び、 $\angle(\ell,m)$ と書く。相異なる二点 $P$ 、 $Q$ を通る直線を $PQ$ と書き、 $\angle(PQ,PR)$ のように用いる。 $\angle(\ell,m)$ を含む等式は、すべて $180°$ を法とする等式である。

補題 4. 平面の三直線 $\ell$ 、 $m$ 、 $n$ に対して

\angle(\ell,m)+\angle(m,n)=\angle(\ell,n)\pmod{180°}

が成り立ち、とくに $\angle(m,\ell)=-\angle(\ell,m) \pmod{180°}$ である。

証明. 平面の一点 $O$ を固定し、以下では回転をすべて $O$ を中心とするものに取る。直線の向きは平行移動で変わらないから、三つの角のいずれもこの中心の回転の角として測ることができる。 $\ell$ を $m$ に平行な直線へ重ねる回転の角を $\theta$ 、 $m$ を $n$ に平行な直線へ重ねる回転の角を $\varphi$ とする。角 $\theta$ の回転で $\ell$ は $m$ に平行な直線へ移り、続けて角 $\varphi$ の回転を行うとその直線は $n$ に平行な直線へ移る。中心が同じ二つの回転の合成は角 $\theta+\varphi$ の回転であるから、 $\theta+\varphi$ は $\ell$ を $n$ に平行な直線へ重ねる回転の角であり、第一の等式を得る。この等式で $n$ を $\ell$ に取ると、 $\angle(\ell,\ell)=0$ により $\angle(\ell,m)+\angle(m,\ell)=0$ となり、 $\angle(m,\ell)=-\angle(\ell,m)$ を得る。▨

補題 5 (向きをもつ角による四点共円の判定). 相異なる二点 $Q$ 、 $R$ と、直線 $QR$ の上にない相異なる二点 $P$ 、 $S$ を取る。四点 $P$ 、 $Q$ 、 $R$ 、 $S$ が同一円周上にあるための必要十分条件は

\angle(PQ,PR)=\angle(SQ,SR)\pmod{180°}

である。

証明. 直線 $QR$ の上にない点 $X$ を取る。点 $X$ のまわりに半直線 $XQ$ を反時計回りに $\theta_X\in(-180°,180°)$ だけ回して半直線 $XR$ へ重ねることができ、 $\lvert\theta_X\rvert$ は通常の角 $\angle QXR$ に等しい。この回転は直線 $XQ$ を直線 $XR$ へ重ねるから $\angle(XQ,XR)=\theta_X \pmod{180°}$ である。 $X$ が直線 $QR$ の上にないので $\theta_X\neq 0$ である。 $\theta_X>0$ であることは、 $R$ が有向直線 $X\to Q$ の左にあること、すなわち三角形 $XQR$ が反時計回りであることと同値である。三角形の向きは頂点を巡回的に入れ替えても変わらないから、これは $X$ が有向直線 $Q\to R$ の左にあることと同値である。よって $\theta_X$ の符号は、 $X$ が直線 $QR$ のどちら側にあるかだけで決まる。

$P$ と $S$ が直線 $QR$ の同じ側にある場合、 $\theta_P$ と $\theta_S$ は同符号であり、差 $\theta_P-\theta_S$ は $-180°$ より大きく $180°$ より小さい。したがって $\theta_P=\theta_S \pmod{180°}$ は $\theta_P=\theta_S$ と同値であり、絶対値を取れば $\angle QPR=\angle QSR$ と同値である。

$P$ と $S$ が直線 $QR$ の反対側にある場合、 $\theta_P$ と $\theta_S$ は異符号である。 $P$ と $S$ を入れ替えて $\theta_P>0>\theta_S$ としてよい。差 $\theta_P-\theta_S$ は $0°$ より大きく $360°$ より小さいから、 $\theta_P=\theta_S \pmod{180°}$ は $\theta_P-\theta_S=180°$ と同値であり、 $\theta_P=\angle QPR$ と $\theta_S=-\angle QSR$ を代入すれば $\angle QPR+\angle QSR=180°$ と同値である。

いずれの場合も得られた条件は、§A5.6 系 4.3が四点 $P$ 、 $Q$ 、 $R$ 、 $S$ の共円性と同値であるとした条件である。▨

以下は定理 1の証明である。

証明. 円 $(AEF)$ と円 $(BFD)$ は補題 2により相異なる。相異なる二円が三点を共有することはない。実際、三つの共有点があるとすると、円と直線の共有点は高々二個であるからその三点は同一直線上になく、§A5.8 定理 8.2により同一直線上にない三点を通る円はただ一つであるから、二円は一致することになる。よって二円の共有点は高々二個である。仮定により共有点は $F$ だけではないから、共有点はちょうど二個であり、その $F$ でない方を $M$ とする。

$M$ が $C$ 、 $D$ 、 $E$ のいずれかに一致する場合、 $M$ は円 $(CDE)$ の上にある。以下では $M$ が $C$ 、 $D$ 、 $E$ のいずれとも異なるとする。円と直線の共有点は高々二個であり、 $B$ と $F$ はともに直線 $AB$ の上にあって円 $(BFD)$ の上にあるから、直線 $AB$ と円 $(BFD)$ の共有点は $B$ と $F$ だけである。 $A$ はそのどちらとも異なるので $A$ は円 $(BFD)$ の上になく、 $M$ は円 $(BFD)$ の上にあるから $M\neq A$ である。同じ理由で $B$ は円 $(AEF)$ の上になく、 $M\neq B$ である。

四点 $A$ 、 $E$ 、 $F$ 、 $M$ は円 $(AEF)$ の上にある。補題 2により $A$ は直線 $EF$ の上になく、また円 $(AEF)$ と直線 $EF$ の共有点は $E$ と $F$ だけで $M$ はそのどちらとも異なるから $M$ も直線 $EF$ の上にない。よって補題 5を四点 $M$ 、 $E$ 、 $F$ 、 $A$ に適用することができる。 $A$ 、 $E$ 、 $C$ は直線 $CA$ の上に、 $A$ 、 $F$ 、 $B$ は直線 $AB$ の上にあるから、直線 $AE$ は直線 $CE$ に、直線 $AF$ は直線 $BA$ に一致する。よって

\angle(ME,MF)=\angle(AE,AF)=\angle(CE,BA)\pmod{180°}

である。

円 $(BFD)$ に対して同じ議論を行う。 $B$ は補題 2により直線 $FD$ の上になく、円 $(BFD)$ と直線 $FD$ の共有点は $F$ と $D$ だけで $M$ はそのどちらとも異なるから $M$ も直線 $FD$ の上にない。補題 5を四点 $M$ 、 $F$ 、 $D$ 、 $B$ に適用すると $\angle(MF,MD)=\angle(BF,BD)$ を得る。 $B$ 、 $F$ 、 $A$ は直線 $AB$ の上に、 $B$ 、 $D$ 、 $C$ は直線 $BC$ の上にあるから

\angle(MF,MD)=\angle(BF,BD)=\angle(BA,CD)\pmod{180°}

である。

二つの等式を加え、補題 4を用いると

\angle(ME,MD)=\angle(CE,BA)+\angle(BA,CD)=\angle(CE,CD)\pmod{180°}

となる。 $C$ 、 $D$ 、 $E$ は同一直線上にないので $\angle(CE,CD)\neq 0$ であり、したがって $\angle(ME,MD)\neq 0$ である。 $M$ が直線 $DE$ の上にあれば直線 $ME$ と直線 $MD$ はともに直線 $DE$ に一致して $\angle(ME,MD)=0$ となるから、 $M$ は直線 $DE$ の上にない。 $C$ も直線 $DE$ の上になく、 $M$ と $C$ は相異なる。よって補題 5を四点 $M$ 、 $E$ 、 $D$ 、 $C$ に適用することができ、 $C$ 、 $E$ 、 $D$ 、 $M$ は同一円周上にある。補題 2により相異なる三点 $C$ 、 $D$ 、 $E$ を通る円は円 $(CDE)$ だけであるから、 $M$ は円 $(CDE)$ の上にある。▨

注意 6. 円 $(AEF)$ と円 $(BFD)$ が $F$ で接する配置では、二円の共有点は $F$ だけであり、 $F$ と異なる交点 $M$ を取ることができない。この配置を仮定から除いている。 $D$ 、 $E$ 、 $F$ のいずれかが頂点に一致する配置も除いている。たとえば $E=C$ のときは円 $(CDE)$ を定める三点のうち二点が一致し、三点から円が定まらない。

1 別証明：内接四角形の対角の和による証明

$D$ 、 $E$ 、 $F$ が三辺の内部にあり、さらに $M$ が三角形 $DEF$ の内部にある配置に限れば、向きをもつ角を用いずに、通常の角と内接四角形の対角の和だけで同じ結論を導くことができます。この配置の制限は、上の証明では必要としません。

証明. $D$ 、 $E$ 、 $F$ をそれぞれ線分 $BC$ 、 $CA$ 、 $AB$ の内部の点とし、 $M$ を円 $(AEF)$ と円 $(BFD)$ の $F$ でない交点とする。さらに $M$ が三角形 $DEF$ の内部にあると仮定する。

$A$ は補題 2により直線 $EF$ の上にない。 $B$ が直線 $EF$ の上にあれば、相異なる二点 $B$ 、 $F$ を通る直線 $AB$ が直線 $EF$ と一致し、 $E$ が直線 $AB$ と直線 $CA$ の両方の上に来て $E=A$ となるから、 $B$ も直線 $EF$ の上にない。同じ理由で $C$ も直線 $EF$ の上にない。 $F$ は線分 $AB$ の内部にあり $A$ と $B$ は直線 $EF$ の上にないから、線分 $AB$ は直線 $EF$ を $F$ で横切り、 $A$ と $B$ は直線 $EF$ の反対側にある。 $E$ と線分 $CA$ についても同じ議論により、 $A$ と $C$ は直線 $EF$ の反対側にある。よって $B$ と $C$ はともに直線 $EF$ について $A$ の反対側にあり、線分 $BC$ の内部の点 $D$ も直線 $EF$ について $A$ の反対側にある。三角形 $DEF$ の内部は直線 $EF$ について $D$ と同じ側にあるから、 $M$ は直線 $EF$ について $A$ の反対側にある。とくに $M$ は直線 $EF$ の上になく、 $M\neq A$ である。 $E$ は線分 $CA$ の内部に、 $F$ は線分 $AB$ の内部にあるので半直線 $AE$ は半直線 $AC$ に、半直線 $AF$ は半直線 $AB$ に一致し、 $\angle EAF=\angle BAC$ である。四点 $A$ 、 $E$ 、 $M$ 、 $F$ は円 $(AEF)$ の上にあるから、§A5.6 系 4.3の反対側の場合により

\angle EMF=180°-\angle BAC

を得る。

同じ議論を直線 $FD$ と円 $(BFD)$ に対して行う。 $D$ が線分 $BC$ の内部に、 $F$ が線分 $AB$ の内部にあることから、上と同じ理由で $A$ と $C$ はともに直線 $FD$ について $B$ の反対側にある。したがって線分 $CA$ の内部の点 $E$ は直線 $FD$ について $B$ の反対側にあり、三角形 $DEF$ の内部は直線 $FD$ について $E$ と同じ側にある。よって $M$ は直線 $FD$ について $B$ の反対側にある。 $F$ は線分 $AB$ の内部に、 $D$ は線分 $BC$ の内部にあるので $\angle FBD=\angle ABC$ であり、四点 $B$ 、 $F$ 、 $M$ 、 $D$ は円 $(BFD)$ の上にあるから、同じ判定により

\angle FMD=180°-\angle ABC

を得る。

$M$ は三角形 $DEF$ の内部にあるので、半直線 $DM$ は線分 $EF$ をその内部の点 $D'$ で切り、 $M$ は $D$ と $D'$ の間にある。 $D'$ が線分 $EF$ の内部にあることから半直線 $MD'$ は $\angle EMF$ を二つに分け、 $M$ が $D$ と $D'$ の間にあることから半直線 $MD'$ と半直線 $MD$ は互いに逆向きである。よって

\angle EMF=\angle EMD'+\angle D'MF=(180°-\angle DME)+(180°-\angle FMD)

となり、

\angle EMF+\angle FMD+\angle DME=360°

が成り立つ。すでに得た二つの等式を代入し、三角形 $ABC$ の内角の和が $180°$ であることを用いると

\angle DME=360°-(180°-\angle BAC)-(180°-\angle ABC)=\angle BAC+\angle ABC=180°-\angle BCA

となる。

$D$ が線分 $BC$ の内部に、 $E$ が線分 $CA$ の内部にあることから、上と同じ理由で $A$ と $B$ はともに直線 $DE$ について $C$ の反対側にある。したがって線分 $AB$ の内部の点 $F$ は直線 $DE$ について $C$ の反対側にあり、三角形 $DEF$ の内部は直線 $DE$ について $F$ と同じ側にある。よって $M$ は直線 $DE$ について $C$ の反対側にあり、とくに $M$ は直線 $DE$ の上になく $M\neq C$ である。 $D$ は線分 $BC$ の内部に、 $E$ は線分 $CA$ の内部にあるので $\angle DCE=\angle BCA$ であり、

\angle DME+\angle DCE=(180°-\angle BCA)+\angle BCA=180°

が成り立つ。ふたたび§A5.6 系 4.3の反対側の場合により、四点 $C$ 、 $D$ 、 $M$ 、 $E$ は同一円周上にある。補題 2により相異なる三点 $C$ 、 $D$ 、 $E$ を通る円は円 $(CDE)$ だけであるから、 $M$ は円 $(CDE)$ の上にある。▨

注意 1.1. 別証明は、 $M$ が三角形 $DEF$ の内部にあることを配置の仮定として用いている。この仮定は、 $D$ 、 $E$ 、 $F$ を三辺の内部に取っただけでは成り立たない。たとえば $A=(0,40)$ 、 $B=(0,0)$ 、 $C=(40,0)$ とし、 $D=(36,0)$ 、 $E=(20,20)$ 、 $F=(0,36)$ と取ると、三点はいずれも辺の内部にあり、円 $(AEF)$ 、 $(BFD)$ 、 $(CDE)$ の中心は順に $(18,38)$ 、 $(18,18)$ 、 $(38,18)$ 、半径の二乗は順に $328$ 、 $648$ 、 $328$ である。点 $(36,36)$ は三円のいずれの上にもあり、 $F=(0,36)$ と異なるので $M=(36,36)$ である。三角形 $ABC$ の内部は $x>0$ 、 $y>0$ 、 $x+y<40$ で与えられるから $M$ は三角形 $ABC$ の外にあり、三角形 $ABC$ は凸で $D$ 、 $E$ 、 $F$ はその周上にあるので三角形 $DEF$ は三角形 $ABC$ に含まれ、 $M$ は三角形 $DEF$ の外にもある。向きをもつ角による最初の証明は、この仮定も配置による場合分けも用いない。

2 つまずきやすいところ

三円が共通点をもつことは、最初から仮定しません。最初の二円の $F$ でない交点を $M$ と定め、その $M$ が第三の円の上にあることを示します。
角は向きをもつ角として読みます。通常の角だけを用いると、点が辺の延長上にある配置で補角を区別する必要が生じ、別証明のように配置を限定することになります。
$D$ 、 $E$ 、 $F$ は辺の線分上に限らず、辺の延長上に置くこともできます。図のスライダーの値が $1$ を超える範囲がこれにあたります。

3 確認問題

問題 3.1. $D$ が辺 $BC$ の $C$ 側の延長上にあり、 $E$ 、 $F$ はそれぞれ辺 $CA$ 、 $AB$ の内部にあるとする。円 $(AEF)$ と円 $(BFD)$ の $F$ でない交点を $M$ とし、 $M$ は $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ のいずれとも異なるとする。 $M$ が円 $(CDE)$ の上にあることを向きをもつ角で示せ。

解答.

$A$ 、 $E$ 、 $C$ は直線 $CA$ の上に、 $A$ 、 $F$ 、 $B$ は直線 $AB$ の上にある。四点 $M$ 、 $E$ 、 $F$ 、 $A$ は円 $(AEF)$ の上にある。円 $(AEF)$ と直線 $EF$ の共有点は $E$ と $F$ だけであり $M$ はそのどちらとも異なるから $M$ は直線 $EF$ の上になく、補題 2により $A$ も直線 $EF$ の上にない。よって補題 5により

\angle(ME,MF)=\angle(AE,AF)=\angle(CE,BA)\pmod{180°}

となる。 $D$ が延長上にあっても、 $B$ 、 $D$ 、 $C$ は直線 $BC$ の上にあり、直線 $BD$ と直線 $CD$ は同じ直線 $BC$ を表す。円 $(BFD)$ と直線 $FD$ の共有点は $F$ と $D$ だけであり $M$ はそのどちらとも異なるから $M$ は直線 $FD$ の上になく、 $B$ も直線 $FD$ の上にない。したがって四点 $M$ 、 $F$ 、 $D$ 、 $B$ に同じ判定を適用して

\angle(MF,MD)=\angle(BF,BD)=\angle(BA,CD)\pmod{180°}

となる。二式を加えて補題 4を用いると $\angle(ME,MD)=\angle(CE,CD) \pmod{180°}$ を得る。 $C$ 、 $D$ 、 $E$ は同一直線上にないので右辺は $0$ でなく、よって $M$ は直線 $DE$ の上にない。 $C$ も直線 $DE$ の上になく $M$ と $C$ は相異なるから、補題 5を四点 $M$ 、 $E$ 、 $D$ 、 $C$ に適用すると、 $C$ 、 $E$ 、 $D$ 、 $M$ は同一円周上にあり、 $M$ は円 $(CDE)$ の上にある。▨

問題 3.2. 最初の二円が $F$ で接する場合と $E=C$ の場合について、定理のどの対象が定義不能または重複するかを答えよ。

解答.

最初の二円が $F$ で接する場合、二円の共有点は $F$ だけであるから、 $F$ と異なる交点 $M$ を定めることができない。 $E=C$ の場合、円 $(CDE)$ を定める三点のうち二点が一致するため、三点から円 $(CDE)$ を定めることができない。いずれも定理の仮定を満たさない配置である。▨

参考文献

H. S. M. Coxeter and S. L. Greitzer, Geometry Revisited, New Mathematical Library 19, Mathematical Association of America, 1967.
Roger A. Johnson, Advanced Euclidean Geometry, Dover Publications, 1960, originally published 1929.

前提記事

§A5初等幾何学