九点円 | 幾何の定理ギャラリー

1 初等幾何による証明

この節は定理 1を初等幾何によって証明します。

補題 1.1. 非退化三角形 $\triangle \mathrm{ABC}$ の外心を $\mathrm{O}$ 、垂心を $\mathrm{H}$ とし、直線 $\mathrm{AO}$ と外接円の交点のうち $\mathrm{A}$ でない方を $\mathrm{A}'$ とする。辺 $\mathrm{BC}$ の中点 $\mathrm{M_A}$ は、線分 $\mathrm{HA}'$ の中点である。頂点 $\mathrm{B}$ 、 $\mathrm{C}$ についても、頂点の名前を入れ替えた同じ主張が成り立つ。

証明. $\mathrm{H}=\mathrm{B}$ であれば、 $\mathrm{B}$ は $\mathrm{A}$ からの高さの上にあるから $\mathrm{AB}\perp\mathrm{BC}$ 、すなわち $\angle \mathrm{B}=90°$ である。逆に $\angle \mathrm{B}=90°$ であれば、 $\mathrm{A}$ からの高さと $\mathrm{C}$ からの高さはいずれも $\mathrm{B}$ を通るから $\mathrm{H}=\mathrm{B}$ である。 $\mathrm{H}=\mathrm{C}$ と $\angle \mathrm{C}=90°$ についても、同じ同値が成り立つ。

$\angle \mathrm{B}=90°$ の場合を先に扱う。円周角の定理の逆により、 $\mathrm{AC}$ は外接円の直径である。したがって $\mathrm{O}$ は線分 $\mathrm{AC}$ の中点であり、直線 $\mathrm{AO}$ と外接円の $\mathrm{A}$ でない交点は $\mathrm{C}$ であるから $\mathrm{A}'=\mathrm{C}$ となる。このとき $\mathrm{H}=\mathrm{B}$ であり、線分 $\mathrm{HA}'$ は辺 $\mathrm{BC}$ そのものであるから、その中点は $\mathrm{M_A}$ である。 $\angle \mathrm{C}=90°$ の場合には、 $\mathrm{B}$ と $\mathrm{C}$ を入れ替えて同じ議論を行う。

以下、 $\angle \mathrm{B}$ と $\angle \mathrm{C}$ がいずれも $90°$ でない場合を扱う。前段の同値により $\mathrm{H}$ は $\mathrm{B}$ とも $\mathrm{C}$ とも異なる。さらに $\mathrm{H}$ は直線 $\mathrm{BC}$ 上にない。 $\mathrm{H}$ が直線 $\mathrm{BC}$ 上にあるとすると、 $\mathrm{B}$ からの高さは直線 $\mathrm{BH}=\mathrm{BC}$ であり、これが $\mathrm{CA}$ に垂直であることから $\angle \mathrm{C}=90°$ となって仮定に反するからである。また、 $\mathrm{A}'=\mathrm{C}$ であれば $\mathrm{AC}$ が外接円の直径となり、円周角の定理により $\angle \mathrm{B}=90°$ となる。 $\mathrm{A}'=\mathrm{B}$ であれば同じ理由で $\angle \mathrm{C}=90°$ となる。いずれも仮定に反するから、 $\mathrm{A}'$ は $\mathrm{B}$ とも $\mathrm{C}$ とも異なり、直線 $\mathrm{BC}$ と外接円の共有点は $\mathrm{B}$ と $\mathrm{C}$ だけであるから、 $\mathrm{A}'$ も直線 $\mathrm{BC}$ 上にない。

線分 $\mathrm{AA}'$ は外接円の直径であり、 $\mathrm{B}$ と $\mathrm{C}$ はその両端と異なる外接円上の点である。したがって円周角の定理により

\angle \mathrm{ABA}'=\angle \mathrm{ACA}'=90°

となり、 $\mathrm{BA}'\perp\mathrm{AB}$ かつ $\mathrm{CA}'\perp\mathrm{AC}$ を得る。一方、 $\mathrm{H}$ は垂心であるから $\mathrm{CH}\perp\mathrm{AB}$ かつ $\mathrm{BH}\perp\mathrm{AC}$ である。同一の直線に垂直な二直線は平行であるから

\mathrm{BA}'\parallel \mathrm{CH},\qquad \mathrm{CA}'\parallel \mathrm{BH}

が成り立つ。三点 $\mathrm{B},\mathrm{H},\mathrm{C}$ は一直線上になく、四角形 $\mathrm{BHCA}'$ は向かい合う二組の辺がそれぞれ平行であるから、平行四辺形である。平行四辺形の二本の対角線はそれぞれの中点で交わるから、対角線 $\mathrm{BC}$ の中点 $\mathrm{M_A}$ は対角線 $\mathrm{HA}'$ の中点でもある。

頂点 $\mathrm{B}$ 、 $\mathrm{C}$ については、頂点の名前を入れ替えて同じ議論を行う。▨

補題 1.2. 非退化三角形 $\triangle \mathrm{ABC}$ の垂心 $\mathrm{H}$ の、直線 $\mathrm{BC}$ に関する鏡像を $\mathrm{H_A^{*}}$ とすると、 $\mathrm{H_A^{*}}$ は $\triangle \mathrm{ABC}$ の外接円上にある。直線 $\mathrm{CA}$ 、 $\mathrm{AB}$ に関する $\mathrm{H}$ の鏡像についても、同じことが成り立つ。

証明. $\mathrm{H}$ が直線 $\mathrm{BC}$ 上にある場合を先に扱う。 $\mathrm{H}\ne\mathrm{B}$ とすると、 $\mathrm{B}$ からの高さは直線 $\mathrm{BH}=\mathrm{BC}$ であり、これが $\mathrm{CA}$ に垂直であることから $\angle \mathrm{C}=90°$ 、したがって $\mathrm{H}=\mathrm{C}$ となる。ゆえに $\mathrm{H}$ は $\mathrm{B}$ または $\mathrm{C}$ に一致する。直線 $\mathrm{BC}$ に関する鏡映はこの直線上の点を動かさないから $\mathrm{H_A^{*}}=\mathrm{H}$ であり、 $\mathrm{H}$ は頂点として外接円上にある。

以下、 $\mathrm{H}$ が直線 $\mathrm{BC}$ 上にない場合を扱う。このとき $\mathrm{H}$ は $\mathrm{B}$ とも $\mathrm{C}$ とも異なり、 $\mathrm{H_A^{*}}$ も直線 $\mathrm{BC}$ 上にない。鏡映は $\mathrm{B}$ と $\mathrm{C}$ を動かさないから、 $\mathrm{H_A^{*}}=\mathrm{B}$ は $\mathrm{H}=\mathrm{B}$ を、 $\mathrm{H_A^{*}}=\mathrm{C}$ は $\mathrm{H}=\mathrm{C}$ を意味し、どちらも起こらない。 $\mathrm{H_A^{*}}=\mathrm{A}$ の場合には $\mathrm{H_A^{*}}$ は外接円上にあるから、以下では $\mathrm{H_A^{*}}\ne\mathrm{A}$ とする。

直線 $\mathrm{HB}$ は $\mathrm{CA}$ に垂直であり、直線 $\mathrm{HC}$ は $\mathrm{AB}$ に垂直であるから、定義 2の垂直な二直線についての等式により

\angle(\mathrm{HB},\mathrm{HC})=\angle(\mathrm{CA},\mathrm{AB})\pmod {180°}

である。直線 $\mathrm{BC}$ に関する鏡映は $\mathrm{B}$ と $\mathrm{C}$ を固定し、 $\mathrm{H}$ を $\mathrm{H_A^{*}}$ へ写すから、同じ定義の対称移動についての等式により

\angle(\mathrm{H_A^{*}B},\mathrm{H_A^{*}C})=-\angle(\mathrm{HB},\mathrm{HC})=\angle(\mathrm{AB},\mathrm{AC}) \pmod {180°}

を得る。四点 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{H_A^{*}}$ は相異なり、 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$ と $\mathrm{H_A^{*}},\mathrm{B},\mathrm{C}$ はいずれも一直線上にないから、定義 2の共円判定により $\mathrm{H_A^{*}}$ は $\triangle \mathrm{ABC}$ の外接円上にある。

直線 $\mathrm{CA}$ 、 $\mathrm{AB}$ に関する鏡像については、頂点の名前を入れ替えて同じ議論を行う。▨

以上の二つの補題により、定理 1を証明します。

証明. 中心 $\mathrm{H}$ 、相似比 $\dfrac12$ の相似変換を $h$ とする。この $h$ は、各点 $\mathrm{X}$ を線分 $\mathrm{HX}$ の中点へ写す。相似変換は円を円へ写し、もとの円の中心を像の円の中心とし、半径を相似比倍にする。 $h(\mathrm{O})$ は線分 $\mathrm{HO}$ の中点であり、これは $\mathrm{N}$ である。したがって外接円の像 $\Gamma'$ は、中心 $\mathrm{N}$ 、半径 $\dfrac{R}{2}$ の円である。

$\mathrm{A}$ は外接円上にあり、 $h(\mathrm{A})$ は線分 $\mathrm{HA}$ の中点 $\mathrm{E_A}$ であるから、 $\mathrm{E_A}$ は $\Gamma'$ 上にある。

補題 1.1の点 $\mathrm{A}'$ は外接円上にあり、 $h(\mathrm{A}')$ は線分 $\mathrm{HA}'$ の中点である。同じ補題により、この中点は $\mathrm{M_A}$ である。したがって $\mathrm{M_A}$ は $\Gamma'$ 上にある。

補題 1.2の点 $\mathrm{H_A^{*}}$ は外接円上にあり、 $h(\mathrm{H_A^{*}})$ は線分 $\mathrm{HH_A^{*}}$ の中点である。鏡映の定義により、この中点は $\mathrm{H}$ から直線 $\mathrm{BC}$ へ下ろした垂線の足である。 $\mathrm{A}$ からの高さは $\mathrm{H}$ を通り直線 $\mathrm{BC}$ に垂直な直線であり、 $\mathrm{H}$ を通って直線 $\mathrm{BC}$ に垂直な直線は一本しかないから、この足は $\mathrm{H_A}$ に一致する。したがって $\mathrm{H_A}$ は $\Gamma'$ 上にある。

頂点 $\mathrm{B}$ 、 $\mathrm{C}$ について頂点の名前を入れ替えて同じ議論を行うと、 $\mathrm{E_B},\mathrm{E_C},\mathrm{M_B},\mathrm{M_C},\mathrm{H_B},\mathrm{H_C}$ も $\Gamma'$ 上にある。ゆえに9点はすべて中心 $\mathrm{N}$ 、半径 $\dfrac{R}{2}$ の円 $\Gamma'$ 上にある。 $R>0$ であるから $\Gamma'$ は退化しない。▨

注意 1.3. 上の証明は、三角形が鋭角三角形・直角三角形・鈍角三角形のいずれであるかによる場合分けを含まない。場合分けは二つの補題の内部にあり、どちらでも $\angle \mathrm{B}$ または $\angle \mathrm{C}$ が直角である配置、すなわち垂心が頂点 $\mathrm{B}$ または $\mathrm{C}$ に一致する配置で生じる。この配置では補題 1.1の四角形 $\mathrm{BHCA}'$ が平行四辺形をなさず、補題 1.2の四点共円の判定も適用することができないため、どちらの補題でもその場合を別に確かめた。補題 1.2では、 $\mathrm{H_A^{*}}=\mathrm{A}$ となる配置、すなわち $\mathrm{H}$ が $\mathrm{A}$ の直線 $\mathrm{BC}$ に関する鏡像である配置も別に扱った。この配置は $\angle \mathrm{B}$ と $\angle \mathrm{C}$ が直角でない鈍角三角形でも実際に起こる。たとえば $\mathrm{A}=(0,1)$ 、 $\mathrm{B}=(2,0)$ 、 $\mathrm{C}=(1/2,0)$ とすると $\angle \mathrm{C}$ が鈍角で $\mathrm{H}=(0,-1)$ となり、 $\mathrm{H_A^{*}}=\mathrm{A}$ である。このとき $\mathrm{H_A^{*}}$ は頂点として外接円上にあるから、共円判定を用いずに結論を得る。三頂点が一直線上にある配置は、非退化という仮定によって除いてある。 9点のうちいくつかが一致する配置は除いていない。相似 $h$ は外接円の全体を $\Gamma'$ へ写すので、像の点が重なっても結論は変わらない。

2 位置ベクトルによる別証明

定理 2.1 (垂心の位置ベクトル). $\triangle \mathrm{ABC}$ の外心 $\mathrm{O}$ を原点とし、各頂点の位置ベクトルを $\vec a,\vec b,\vec c$ とする。三本の高さの交点 $\mathrm{H}$ の位置ベクトルは

\vec h=\vec a+\vec b+\vec c

である。

証明. $\vec h':=\vec a+\vec b+\vec c$ で定まる点 $\mathrm{H}'$ を取る。辺 $\mathrm{BC}$ の中点を $\mathrm{M_A}$ とすると

\vec m_A=\frac{\vec b+\vec c}{2},\qquad \vec h'-\vec a=\vec b+\vec c=2\vec m_A

となる。 $|\mathrm{OB}|=|\mathrm{OC}|=R$ であるから、 $\mathrm{O}\ne\mathrm{M_A}$ の場合には直線 $\mathrm{OM_A}$ は $\mathrm{BC}$ の垂直二等分線である。したがって $\vec h'-\vec a$ は $\mathrm{BC}$ に垂直であり、 $\mathrm{H}'$ は $\mathrm{A}$ からの高さの上にある。

$\mathrm{O}=\mathrm{M_A}$ の場合には $\vec b+\vec c=\vec 0$ であるから $\mathrm{H}'=\mathrm{A}$ となり、この場合にも $\mathrm{H}'$ は $\mathrm{A}$ からの高さの上にある。 $\vec h'$ の式は $\vec a,\vec b,\vec c$ について対称であるから、同じ議論により $\mathrm{H}'$ は残り二本の高さの上にもある。したがって三本の高さは $\mathrm{H}'$ で交わり、垂心の定義から $\mathrm{H}'=\mathrm{H}$ である。ゆえに主張の式を得る。▨

証明. $\mathrm{O}$ を原点とし、定理 2.1を適用して

\vec n=\frac{\vec h}{2}=\frac{\vec a+\vec b+\vec c}{2}

と書く。定義から

\vec m_A=\frac{\vec b+\vec c}{2},\qquad \vec e_A=\frac{\vec a+\vec h}{2}=\frac{2\vec a+\vec b+\vec c}{2}

であるから

\vec m_A-\vec n=-\frac{\vec a}{2},\qquad \vec e_A-\vec n=\frac{\vec a}{2}

を得る。 $|\vec a|=R$ であるため、 $\mathrm{M_A}$ と $\mathrm{E_A}$ は $\mathrm{N}$ から距離 $R/2$ にあり、線分 $\mathrm{M_AE_A}$ はこの円の直径である。 $\mathrm{B}$ 、 $\mathrm{C}$ についても同じ計算を行うと、三辺の中点と三つのオイラー点が円周上にある。

$\mathrm{H_A}=\mathrm{M_A}$ または $\mathrm{H_A}=\mathrm{E_A}$ の場合には、 $\mathrm{H_A}$ は既に得た六点の一つである。 $\mathrm{H_A}$ が両方と異なる場合には $\angle \mathrm{M_AH_AE_A}=90°$ であるから、円周角の定理の逆により $\mathrm{H_A}$ も同じ円周上にある。 $\mathrm{H_B},\mathrm{H_C}$ についても同じ場合分けをして議論すると、九点すべてが中心 $\mathrm{N}$ 、半径 $R/2$ の円周上にある。▨

この別証明では、辺の中点とオイラー点の $\mathrm{N}$ に対する位置ベクトルが $\pm\vec a/2,\pm\vec b/2,\pm\vec c/2$ になります。六つの点が $\mathrm{N}$ から等距離にあり、残る三つの垂線の足が三本の直径を直角に見込むという構造が、位置ベクトルによって表されています。

定理 2.2 (九点円（主定理）). 非退化三角形の各辺の中点3つ、各頂点から対辺へ下ろした垂線の足3つ、垂心と各頂点の中点3つは、同じ円周上にある。

証明.定理 1を適用すると、9点は中心 $\mathrm{N}$ 、半径 $R/2$ の同一円周上にある。▨

定理 2.3 (九点円の半径と中心). 九点円の半径は外接円の半径の半分であり、その中心 $\mathrm{N}$ は外心 $\mathrm{O}$ と垂心 $\mathrm{H}$ の中点である。三角形が正三角形でない場合、 $\mathrm{N}$ はオイラー線上にある。正三角形の場合は $\mathrm{N}=\mathrm{O}=\mathrm{H}$ であり、オイラー線は一意に定まらない。

証明.定理 1を適用すると、九点円の中心は $\mathrm{OH}$ の中点 $\mathrm{N}$ であり、半径は $R/2$ である。三角形が正三角形でない場合、§C2.2 定理 1により $\mathrm{O},\mathrm{G},\mathrm{H}$ は一直線上にあり、直線 $\mathrm{OH}$ がオイラー線である。 $\mathrm{N}$ は $\mathrm{OH}$ の中点であるから、オイラー線上にある。正三角形の場合は $\mathrm{O}=\mathrm{H}$ であるため、その中点も $\mathrm{N}=\mathrm{O}=\mathrm{H}$ となる。一点だけでは直線が定まらないので、この場合のオイラー線は一意に定まらない。▨

3 確認問題

問題 3.1. 非退化三角形 $\triangle \mathrm{ABC}$ の垂心を $\mathrm{H}$ とする。辺 $\mathrm{BC}$ の中点 $\mathrm{M_A}$ と、 $\mathrm{H}$ と $\mathrm{A}$ を結ぶ線分の中点 $\mathrm{E_A}$ が、九点円の同一の直径の両端であることを示せ。 $\mathrm{M_B}$ と $\mathrm{E_B}$ 、 $\mathrm{M_C}$ と $\mathrm{E_C}$ についても同じことが成り立つ理由を述べよ。

解答.

補題 1.1の点 $\mathrm{A}'$ を取ると、線分 $\mathrm{AA}'$ は外接円の直径である。中心 $\mathrm{H}$ 、相似比 $1/2$ の相似 $h$ は外接円を九点円へ写し、外接円の中心 $\mathrm{O}$ を九点円の中心 $\mathrm{N}$ へ写すから、 $\mathrm{O}$ を通る弦 $\mathrm{AA}'$ の像は $\mathrm{N}$ を通る弦、すなわち九点円の直径である。 $h(\mathrm{A})$ は線分 $\mathrm{HA}$ の中点 $\mathrm{E_A}$ であり、同じ補題により $h(\mathrm{A}')$ は線分 $\mathrm{HA}'$ の中点 $\mathrm{M_A}$ である。したがって線分 $\mathrm{E_AM_A}$ は九点円の直径であり、 $\mathrm{M_A}$ と $\mathrm{E_A}$ はその両端である。 $\mathrm{M_B}$ と $\mathrm{E_B}$ 、 $\mathrm{M_C}$ と $\mathrm{E_C}$ については、同じ補題が頂点 $\mathrm{B}$ 、 $\mathrm{C}$ についても成り立つので、頂点の名前を入れ替えて同じ議論を行う。▨

問題 3.2. $\angle\mathrm{A}=90°$ の直角三角形と正三角形について、九点のうち一致するものを列挙せよ。また、点が一致しても九点円が退化しない理由を答えよ。

解答.

$\angle\mathrm{A}=90°$ の場合、 $\mathrm{H}=\mathrm{A}$ であるから $\mathrm{H_B}=\mathrm{H_C}=\mathrm{E_A}=\mathrm{A}$ 、 $\mathrm{E_B}=\mathrm{M_C}$ 、 $\mathrm{E_C}=\mathrm{M_B}$ となる。正三角形の場合、各高さの足は対応する辺の中点であるから $\mathrm{H_A}=\mathrm{M_A}$ 、 $\mathrm{H_B}=\mathrm{M_B}$ 、 $\mathrm{H_C}=\mathrm{M_C}$ となる。いずれの場合も三角形は非退化であり、外接円の半径は $R>0$ である。したがって九点円の半径 $R/2$ は正であり、円は退化しない。▨

4 もう少し先へ

九点円は内接円と三つの傍接円のすべてに接します。この事実はフォイエルバッハの定理と呼ばれ、その証明は後続の項目で扱います。

「オイラー線」という名称には、外心・重心・垂心が一直線上にあり $\mathrm{OG}:\mathrm{GH}=1:2$ となる主張も含まれます。本記事の九点円そのものの構成では重心を用いません。九点円の中心 $\mathrm{N}$ がオイラー線上にあるという帰結だけは、§C2.2 定理 1を通じて外心・重心・垂心の共線性を用います。

§C2.3九点円

1 初等幾何による証明

2 位置ベクトルによる別証明

3 確認問題

4 もう少し先へ

参考文献

前提記事