§A5.15調和点列と調和共役

証明. 直線上のアフィン変換は全ての有向線分を同じ非零定数倍するので、有向線分比と複比を変えない。したがって上のアフィン変換で、$\mathrm{X}=(u,0)$と書いてよい。補助線の一般位置の仮定により、ある実数$q,r$を用いて

と書ける。$\mathrm{Q},\mathrm{R},\mathrm{X}$が一直線上にあることを、2本のベクトルの行列式が 0であることとして書くと

ここで$q-r\ne0$は、$\mathrm{QR}$が$\mathrm{AB}$と平行でなく有限な$\mathrm{X}$をもつことから従う。

直線$\mathrm{AR}$は$y=\dfrac{r}{1-r}x$、直線$\mathrm{BQ}$は$y=q(1-x)$である。$D:=r+q(1-r)$と置くと、$D\ne0$（$\mathrm{AR}$と$\mathrm{BQ}$が平行でない）なので、その交点$\mathrm{S}$は

となる。$\mathrm{P}=(0,1)$と$\mathrm{S}$を結ぶ直線が$y=0$と交わる点の座標を$v$とすれば、直線のパラメータ表示から

先ほどの$u= q(1-r)/(q-r)$を代入して整理すると

$u\ne\tfrac12$なので分母は0ではなく、$\mathrm{Y}$は有限です。さらに$u\ne0,1$と相異点の仮定から$v\ne0,1$であり、定義域の条件も満たします。よって

従ってその商は$-1$である。さらに$\mathrm{P}=\mathrm{AP}\cap\mathrm{BP}$、$\mathrm{S}=\mathrm{AR}\cap\mathrm{BQ}$、$\mathrm{A}=\mathrm{AP}\cap\mathrm{AR}$、$\mathrm{B}=\mathrm{BP}\cap\mathrm{BQ}$、$\mathrm{Q}=\mathrm{AP}\cap\mathrm{BQ}$、$\mathrm{R}=\mathrm{BP}\cap\mathrm{AR}$なので、4直線は完全四辺形であり、その対角線は$\mathrm{PS},\mathrm{AB},\mathrm{QR}$である。構成上$\mathrm{X}=\mathrm{QR}\cap\mathrm{AB}$、$\mathrm{Y}=\mathrm{PS}\cap\mathrm{AB}$だから、作図の主張も示された。▨

証明.$\rho(t):=t/(1-t)$と置く。$0<t<1$なら分子と分母がともに正なので$\rho(t)>0$であり、$t<0$または$t>1$なら分子と分母の符号が異なるので$\rho(t)<0$である。調和条件は$\rho(v)=-\rho(u)$だから、$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$の比の符号は必ず反対になる。

位置そのものについては、$0<u<\tfrac12$なら$u>0$かつ$2u-1<0$なので$v<0$、$\tfrac12<u<1$なら$u>0$かつ$0<2u-1<u$なので$v>1$である。外部の場合は、$u<0$なら$0<v<1$、$u>1$なら$0<v<1$を、それぞれ分母と分子の大小を比較して得る。中点$u=\tfrac12$はこの式の分母が0になるため、別扱いである。▨

証明.$\mathrm{A}=\mathrm{B}$なら$\mathrm{AB}$は区間を定めず、$\mathrm{X}=\mathrm{A}$または$\mathrm{B}$なら$\overline{\mathrm{AX}}$または$\overline{\mathrm{XB}}$が0になり、定義の前提を破る。

$\mathrm{A}=0,\mathrm{B}=1$の座標で$\mathrm{X}$が中点なら$u=\tfrac12$である。調和条件を展開すると$v=u/(2u-1)$だが、これは有限な実数にならない。作図の証明でも$\mathrm{PS}$と$\mathrm{AB}$が平行になり、有限な交点$\mathrm{Y}$が現れない。

最後に、補助線が指定の直線と平行なら$\mathrm{Q}$または$\mathrm{R}$が有限に作れず、$\mathrm{AR}\parallel\mathrm{BQ}$なら$\mathrm{S}$が有限に作れない。これらは定理の結論が偽になるというより、選んだ作図手順がそのままでは実行できない退化である。補助線を変えれば、$u\ne\tfrac12$の通常の配置では一般位置を選べる。▨