ヴィヴィアーニの定理 | 初等幾何学

正三角形の内部の点から3辺へ下ろした垂線の長さの和は、点の位置によらず正三角形の高さに等しい。

定理 1 (ヴィヴィアーニの定理). 一辺の長さが $s$ の正三角形 $\triangle ABC$ の内部点 $P$ から、辺 $BC,CA,AB$ へ下ろした垂線の長さをそれぞれ $x,y,z$ とする。このとき

x+y+z=\frac{\sqrt3}{2}s.

証明の方針。 $\triangle ABC$ を3つの小三角形に分け、それぞれの面積を「底辺×高さ÷2」で表す。3つの面積の和は正三角形全体の面積なので、距離の和が決まる。

証明. 正三角形の面積を、点 $P$ と各頂点を結んでできる3三角形に分ける。 $\triangle PBC,\triangle PCA,\triangle PAB$ の底辺はすべて長さ $s$ で、それぞれの高さは $x,y,z$ である。したがって

[PBC]=\frac12sx,\qquad [PCA]=\frac12sy,\qquad [PAB]=\frac12sz.

点 $P$ が内部にあるので、これら3つの三角形は重なりなく正三角形全体を覆う。正三角形の高さを $h$ とすると、全体の面積は $sh/2$ だから、

\frac12s(x+y+z)=\frac12sh.

$s>0$ より $x+y+z=h$ 。正三角形を高さで二分すると、30°-60°-90°の直角三角形から $h=\sqrt3s/2$ である。よって主張が得られる。▨

境界上の点では距離の1つが0になるが、同じ面積計算で等式は成り立つ。三角形の外部では符号付き距離を導入しない限り、この形の等式は一般には成り立たない。

§A5.12ヴィヴィアーニの定理