§A5.22反転の実戦

1 基本像

• $O$を通らない円は、$O$を通らない円へ移る。
• $O$を通る円は、$O$を通らない直線へ移る。
• $O$を通らない直線は、$O$を通る円へ移る。
• 角度の大きさを保つ。ただし向きは反転する。

したがって、中心$O$を通る円が複数ある問題では、それらを直線へ送ることが第一候補です。

2 例：共通点を中心にする

2つの円が点$A$で交わる配置を考え、$A$を中心に反転します。2円はそれぞれ、$A$を通るため2本の直線へ移ります。元の円のもう一つの交点$B$は、像の2直線の交点として表されます。

円の交点や接線を直接追う代わりに、2本の直線の角度関係へ変換できることが利点です。反転後に示した角の関係を、反転が角を保つことから元へ戻します。

2.1 実戦問題と解答

2円が異なる点$A,B$で交わるとする。$A$を中心に反転すると、各円は$A$を通るため2本の直線へ移る。元の共通点$B$の像$B^*$は、その2直線の交点である。したがって、元の2円の交角は、反転後の2直線のなす角に等しい。反転後の直線の角度を計算すれば、元の円の交角を得られる。

この問題では「交点を中心に取る」ことが方針の核心で、長さを計算することではありません。中心を通る円が直線へ移る性質を使った完全な変換例です。

3 中心の選び方

• 多くの円が通る点：その点を中心にすると円が直線になる。
• 接する円がある：接点を中心にする候補。
• 方べき$OP\cdot OQ$が現れる：反転半径をその積に合わせる。
• 直線と円の接触が主役：像で平行・共線になる可能性を調べる。

反転は長さを保たないため、反転後の長さを元の長さと同一視してはいけません。保たれるのは角度、円直線の対応、反転積などです。

4 演習

1. 反転で中心を通る円が直線へ移ることを、円の方程式または相似で示せ。
2. 2円の共通点を中心とする反転で、共通弦に関する角度問題を直線の角度問題へ変換せよ。
3. 反転後に得た共線性を、元の配置の共円性へ戻すとき、どの対応を使ったか説明せよ。