§A5.2平行線と線分の比

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平行線があるところには、必ず相似がひそんでいます。 この記事では、△ABC\triangle\mathrm{ABC}を 3点が同一直線上にない三角形として扱い、通常の角∠XYZ\angle\mathrm{XYZ}は半直線YX,YZ\mathrm{YX},\mathrm{YZ}がつくる0°0°以上180°180°以下の小さい方の角とします。前項で見たとおり、三角形の1辺に平行な直線は相似な三角形を切り出します。ここでは、その相似から出てくる2つの主役—— 中点連結定理と角の二等分線の比——を扱います。どちらも「平行線を見つける／作る」ことが証明の入口です。

1 この記事で証明すること

この記事では、次を証明します。

  • 中点連結定理：三角形の2辺の中点を結ぶ線分は、残りの1辺と平行で長さがちょうど半分になること（定理 2.1）。
  • 角の二等分線の定理：三角形で1つの角の二等分線が対辺を分ける比は、その角をはさむ2辺の比に等しいこと（定理 3.1）。

定理 1.1 (平行線と線分の比（主定理）). 非退化三角形△ABC\triangle\mathrm{ABC}について、M,N\mathrm{M},\mathrm{N}をそれぞれ辺AB,AC\mathrm{AB},\mathrm{AC}の内部の中点とする。また、D\mathrm{D}を∠A\angle\mathrm{A}の内角の二等分線と辺BC\mathrm{BC}の内部の交点とする。このとき

BDDC=ABAC.\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}.

2 中点連結定理

三角形の2辺の中点を結ぶと、残りの1辺と平行で、長さがちょうど半分の線分ができます。

下の図で頂点A\mathrm{A}をドラッグしてください。M\mathrm{M},N\mathrm{N}を2辺の中点に保つ限り、MN\mathrm{MN}はBC\mathrm{BC}と平行なまま、長さはBC\mathrm{BC}の半分のままです。

図は、M,N\mathrm{M},\mathrm{N}が辺の内部にある非退化な配置だけを表示している。平行・中点・長さの関係を図から予想することはできるが、有限個の表示は定理の証明ではない。

定理 2.1 (中点連結定理).△ABC\triangle \mathrm{ABC}の辺AB\mathrm{AB},AC\mathrm{AC}の中点をそれぞれM\mathrm{M},N\mathrm{N}とすると

MN∥BC,MN=12 BC.\mathrm{MN} \parallel \mathrm{BC}, \qquad \mathrm{MN} = \tfrac{1}{2}\,\mathrm{BC}.

証明.M\mathrm{M},N\mathrm{N}が中点だからAMAB=ANAC=12\dfrac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}} = \dfrac{\mathrm{AN}}{\mathrm{AC}} = \dfrac{1}{2}。∠A\angle \mathrm{A}は共通なので、§A5.1 定理 3.1の SAS（2辺の比と間の角）により△AMN∼△ABC\triangle \mathrm{AMN} \sim \triangle \mathrm{ABC}、相似比は12\dfrac{1}{2}。

相似な三角形では対応する角が等しいので∠AMN=∠ABC\angle \mathrm{AMN} = \angle \mathrm{ABC}。これは同位角が等しいということだからMN∥BC\mathrm{MN} \parallel \mathrm{BC}。また対応する辺の比からMN=12BC\mathrm{MN} = \dfrac{1}{2}\mathrm{BC}。▨

中点連結定理は「相似比12\dfrac12の特別な場合」にすぎません。前項の平行線による辺の比 (§A5.1 定理 2.1) でD,E\mathrm{D}, \mathrm{E}を中点にとった、ちょうどその瞬間です。

3 角の二等分線と比

もうひとつ、平行線を自分で作ることで相似に持ち込む例を挙げます。

定理 3.1 (角の二等分線の定理).△ABC\triangle \mathrm{ABC}は非退化、D\mathrm{D}は辺BC\mathrm{BC}の内部点、半直線AD\mathrm{AD}は通常の内角∠BAC\angle\mathrm{BAC}の二等分線とする。このとき

BDDC=ABAC.\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}} = \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}.

証明.C\mathrm{C}を通りAD\mathrm{AD}に平行な直線を引き、直線AB\mathrm{AB}のB\mathrm{B}側延長との交点をE\mathrm{E}とする（したがってA\mathrm{A}-B\mathrm{B}-E\mathrm{E}の順）。この平行線を1本作るのが鍵である。

AD∥EC\mathrm{AD} \parallel \mathrm{EC}より、相似な三角形△BDA\triangle\mathrm{BDA}と△BCE\triangle\mathrm{BCE}からBDBC=BABE.\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{BA}}{\mathrm{BE}}.ここでBC=BD+DC\mathrm{BC}=\mathrm{BD}+\mathrm{DC}、BE=BA+AE\mathrm{BE}=\mathrm{BA}+\mathrm{AE}なので、両辺を差の比に直すと

BDDC=BA/BE1−BA/BE=BABE−BA=BAAE.\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}} =\frac{\mathrm{BA}/\mathrm{BE}}{1-\mathrm{BA}/\mathrm{BE}} =\frac{\mathrm{BA}}{\mathrm{BE}-\mathrm{BA}} =\frac{\mathrm{BA}}{\mathrm{AE}}.

あとはAE=AC\mathrm{AE} = \mathrm{AC}を示せばよい。AD∥EC\mathrm{AD} \parallel \mathrm{EC}だから、錯角と同位角により∠ACE=∠DAC=∠BAD=∠AEC\angle \mathrm{ACE} = \angle \mathrm{DAC} = \angle \mathrm{BAD} = \angle \mathrm{AEC}。△ACE\triangle \mathrm{ACE}は底角が等しい二等辺三角形なのでAE=AC\mathrm{AE} = \mathrm{AC}。代入してBDDC=ABAC\dfrac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}} = \dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}。▨

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