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相似比がのとき、面積比は、体積比は。 ここでは相似比を対応する長さの比とし、平面図形は有限個の三角形に分割できる多角形、立体は有限個の対応する角錐に分割できる多面体に限定します。長さを倍すると、面積はその2乗、体積は3乗で効いてくる——次元の数だけ指数が上がる、というのがこの節の全てです。単純ですが、取り違えると答えが大きくずれるので、体に入れておく価値があります。
なぜ2乗・3乗なのか。面積は「縦 × 横」のように長さを2つ掛けたもの、体積は3つ掛けたものだからです。各長さが倍になれば、2つの積は倍、3つの積は倍になります。
定理 1.1 (相似比と面積比・体積比). 2つの非退化な相似多角形、または上で対象を限定した相似多面体の相似比が（対応する長さの比が）であるとき、
である。
まずこれを図で観察し、続いて図形を三角形に分割して証明します。
三角形の3辺の中点を結ぶと、元の三角形が合同な4つの小三角形に分かれます。各小三角形は元と相似で、相似比は。面積は——ちょうど4つに分かれたのだから、が目で確かめられます。
頂点をドラッグしても、4つの三角形はいつも合同なままです。
この図は三角形を中点で分けた一例であり、すべての相似図形を図示しているわけではない。図から読めるのはこの配置での分割と比の予想で、一般の比の等式は以下の証明で確認する。
冒頭の定理 1.1を、図形を三角形または角錐に分割して示します。
証明. 面積について示す。相似多角形は対応する対角線で有限個の三角形に分割でき、対応する三角形も相似比である。三角形では底辺と高さがともに倍になるので、面積は倍になる。各三角形の面積を足し合わせても、全体の面積比はである。
体積については、対象を有限個の対応する角錐に分割できる多面体に限定している。各角錐の底面積は倍、高さは倍であり、だから体積は倍になる。角錐の体積を足し合わせれば全体にも同じ比が成り立つ。以上で、ここで掲げた対象の範囲について面積比と体積比を示した。▨
面積比・体積比の問題は、どちらの比が与えられて、どちらを求めるのかで、を経由する向きが変わります。取り違えを防ぐには、いつも相似比に戻すのが安全です。