§A5.21射影・複比の実戦

1 調和四点

同一直線上の4点$A,B,C,D$に対して、複比を

$$(A,B;C,D)=\frac{(c-a)(d-b)}{(c-b)(d-a)}$$

で定めます（有限座標$a,b,c,d$を使い、分母は$c\ne b$かつ$d\ne a$とします）。この値が$-1$のとき、$C,D$は$A,B$に関して調和共役です。点の順序を変えると値も変わるため、記号の順序を省略しません。

2 実戦の流れ

1. 問題の4点・2本の割線を見つける。
2. 有向比を複比へまとめる。
3. 射影変換で計算しやすい配置へ送る。
4. 不変な複比の等式だけを元の配置へ戻す。

「図が同じに見える」と言うだけでは不十分です。どの量が不変かを式で書き、座標変換後の数値を元の長さと取り違えないようにします。

3 例：調和共役の座標計算

$A=0,B=1,C=2$に対して$D=d$が調和共役なら

$$\frac{(2-0)(d-1)}{(2-1)(d-0)}=-1.$$

したがって$2(d-1)=-d$、$d=2/3$です。この計算は、任意の配置でも複比が同じであることを使うための基準になります。

3.1 実戦問題と解答

直線上の相異なる点$A,B,C,D$が$(A,B;C,D)=-1$を満たすとします。射影変換で$A=0,B=1,C=2$としても複比は変わらないので、上の計算から、元の配置でも$D$は$A,B$に関する$C$の調和共役です。戻すのは座標値$2/3$ではなく、複比の等式である点に注意します。

4 演習

1. $A=0,B=1,C=t$に対する調和共役点$D$の座標を求めよ。
2. 4点の順序を2つ入れ替えたとき、複比がどの値へ変わるか確認せよ。
3. ある幾何条件を有向比で記述し、複比不変性で簡単な配置へ送る方法を設計せよ。