直積群 | 群論入門 | 天游ヶ丘数理学院

1 外部直積

定義 1.1. 群 $A$ と $B$ に対し、集合 $A\times B$ 上の積を

(a_1,b_1)(a_2,b_2)=(a_1a_2,b_1b_2)

と定める。この演算を備えた集合を $A$ と $B$ の外部直積 (external direct product) と呼ぶ。

命題 1.2. 外部直積 $A\times B$ は群である。単位元と逆元は

e_{A\times B}=(e_A,e_B),\qquad (a,b)^{-1}=(a^{-1},b^{-1})

である。 $A$ と $B$ が有限群ならば、

|A\times B|=|A|\,|B|

である。

証明. $(a_i,b_i)\in A\times B$ とする。積は成分ごとに $A$ と $B$ の元を与えるから閉じている。結合律は

\begin{aligned} \bigl((a_1,b_1)(a_2,b_2)\bigr)(a_3,b_3) &=((a_1a_2)a_3,(b_1b_2)b_3)\\ &=(a_1(a_2a_3),b_1(b_2b_3))\\ &=(a_1,b_1)\bigl((a_2,b_2)(a_3,b_3)\bigr) \end{aligned}

から従う。また、

(e_A,e_B)(a,b)=(a,b)=(a,b)(e_A,e_B)

であり、

(a,b)(a^{-1},b^{-1})=(e_A,e_B) =(a^{-1},b^{-1})(a,b)

である。したがって群の公理がすべて成り立つ。有限の場合の位数の公式は、有限集合の直積の要素数に関する乗法原理から従う。▨

外部直積には、各因子を表す標準的な部分群がある。

命題 1.3.

\widetilde A=A\times\{e_B\},\qquad \widetilde B=\{e_A\}\times B

とする。このとき

\widetilde A\trianglelefteq A\times B,\qquad \widetilde B\trianglelefteq A\times B,

\widetilde A\cap\widetilde B=\{(e_A,e_B)\},\qquad \widetilde A\widetilde B=A\times B

が成り立つ。また、 $\widetilde A$ の各元と $\widetilde B$ の各元は可換する。

証明. $(e_A,e_B)\in\widetilde A$ であり、

(a_1,e_B)(a_2,e_B)^{-1}=(a_1a_2^{-1},e_B)\in\widetilde A

であるから、 $\widetilde A\leq A\times B$ である。また、 $(e_A,e_B)\in\widetilde B$ であり、

(e_A,b_1)(e_A,b_2)^{-1}=(e_A,b_1b_2^{-1})\in\widetilde B

であるから、 $\widetilde B\leq A\times B$ である。

$(a,b)\in A\times B$ と $(x,e_B)\in\widetilde A$ に対し、

(a,b)(x,e_B)(a,b)^{-1}=(axa^{-1},e_B)\in\widetilde A

であるから、 $\widetilde A\trianglelefteq A\times B$ である。また、

(a,b)(e_A,y)(a,b)^{-1}=(e_A,byb^{-1})\in\widetilde B

であるから、 $\widetilde B\trianglelefteq A\times B$ である。

$(x,e_B)=(e_A,y)$ ならば $x=e_A$ かつ $y=e_B$ であるため、共通部分は単位元だけからなる。任意の $(a,b)\in A\times B$ は

(a,b)=(a,e_B)(e_A,b)

と表されるから、 $\widetilde A\widetilde B=A\times B$ である。さらに、

(a,e_B)(e_A,b)=(a,b)=(e_A,b)(a,e_B)

である。▨

2 部分群の積

定義 2.1. 群 $G$ の部分群 $H,K\leq G$ に対し、

HK=\{hk\mid h\in H,\ k\in K\}

と定め、 $H$ と $K$ の積 (product of subgroups) と呼ぶ。

次の命題では、 $HK$ が部分群になるための十分条件を示す。

命題 2.2. $H,K\leq G$ とする。 $H\trianglelefteq G$ または $K\trianglelefteq G$ ならば、 $HK\leq G$ である。

証明. まず $H\trianglelefteq G$ とする。 $h_i\in H$ 、 $k_i\in K$ に対し、

(h_1k_1)(h_2k_2) =h_1(k_1h_2k_1^{-1})(k_1k_2)\in HK

である。また、

(hk)^{-1}=k^{-1}h^{-1} =(k^{-1}h^{-1}k)k^{-1}\in HK

である。単位元も $HK$ に属するから、 $HK\leq G$ である。

次に $K\trianglelefteq G$ とする。この場合には

(h_1k_1)(h_2k_2) =(h_1h_2)(h_2^{-1}k_1h_2)k_2\in HK

であり、

(hk)^{-1}=k^{-1}h^{-1} =h^{-1}(hk^{-1}h^{-1})\in HK

である。したがって、この場合にも $HK\leq G$ である。▨

3 内部直積

定義 3.1. 群 $G$ の部分群 $H,K$ が

H\trianglelefteq G,\qquad K\trianglelefteq G,\qquad H\cap K=\{e_G\},\qquad HK=G

を満たすとき、 $G$ は $H$ と $K$ の内部直積 (internal direct product) であるという。

内部直積では、二つの部分群の元が可換することが正規性と共通部分の条件から従う。

証明では、まず二つの正規部分群の元の交換子が $H\cap K$ に属することを示し、自明な共通部分から $H$ と $K$ の元が互いに可換することを導く。この可換性を用いて積写像 $\mu(h,k)=hk$ の準同型性を確認し、 $HK=G$ と $H\cap K=\{e_G\}$ から全射性と単射性を得る。逆向きでは、 $\mu$ の全単射性から積と共通部分の条件を回収し、直積内の座標部分群の正規性を $\mu$ で移して $H,K\trianglelefteq G$ を示す。

定理 3.2. 群 $G$ と部分群 $H,K\leq G$ に対し、次の二条件は同値である。

$H\trianglelefteq G$ 、 $K\trianglelefteq G$ 、 $H\cap K=\{e_G\}$ 、 $HK=G$ が成り立つ。
積写像 $\mu\colon H\times K\longrightarrow G,\qquad \mu(h,k)=hk$ は群同型である。

証明.(1) $\Rightarrow$ (2)を示す。まず(1)を仮定する。 $h\in H$ 、 $k\in K$ とし、交換子を

[h,k]=hkh^{-1}k^{-1}

とする。 $K\trianglelefteq G$ から

[h,k]=(hkh^{-1})k^{-1}\in K

であり、 $H\trianglelefteq G$ から

[h,k]=h(kh^{-1}k^{-1})\in H

である。したがって $[h,k]\in H\cap K=\{e_G\}$ であり、 $hk=kh$ が成り立つ。

$(h_1,k_1),(h_2,k_2)\in H\times K$ に対し、 $k_1h_2=h_2k_1$ を用いると、

\begin{aligned} \mu\bigl((h_1,k_1)(h_2,k_2)\bigr) &=\mu(h_1h_2,k_1k_2)\\ &=h_1h_2k_1k_2\\ &=h_1k_1h_2k_2\\ &=\mu(h_1,k_1)\mu(h_2,k_2) \end{aligned}

となる。よって $\mu$ は準同型である。 $HK=G$ であるから $\mu$ は全射である。 $\mu(h,k)=e_G$ ならば $h=k^{-1}\in H\cap K$ であるため、 $h=k=e_G$ である。したがって $\ker\mu$ は自明であり、§E7.3 命題 2.2から $\mu$ は単射である。ゆえに $\mu$ は群同型である。

(2) $\Rightarrow$ (1)を示す。逆に(2)を仮定する。全射性から $HK=G$ である。 $x\in H\cap K$ とすると、

\mu(x,e_G)=x=\mu(e_G,x)

である。単射性から $(x,e_G)=(e_G,x)$ となるため、 $x=e_G$ である。よって $H\cap K=\{e_G\}$ である。

$g\in G$ と $h_0\in H$ を取る。全射性により $g=\mu(h,k)$ と表される。 $\mu$ は同型であるから、

gh_0g^{-1} =\mu\bigl((h,k)(h_0,e_G)(h,k)^{-1}\bigr) =\mu(hh_0h^{-1},e_G)\in H

である。したがって $H\trianglelefteq G$ である。同じ計算を $K$ について書くと、

gk_0g^{-1} =\mu\bigl((h,k)(e_G,k_0)(h,k)^{-1}\bigr) =\mu(e_G,kk_0k^{-1})\in K

であるから、 $K\trianglelefteq G$ である。以上により(1)が成り立つ。▨

命題 3.3. $H\trianglelefteq G$ 、 $K\trianglelefteq G$ 、 $H\cap K=\{e_G\}$ 、 $HK=G$ とする。このとき、各 $g\in G$ に対し

g=hk

を満たす $h\in H$ 、 $k\in K$ が一意に存在する。

証明. $HK=G$ であるから、この分解は存在する。 $h_1k_1=h_2k_2$ とすると、

h_2^{-1}h_1=k_2k_1^{-1}\in H\cap K=\{e_G\}

である。したがって $h_1=h_2$ かつ $k_1=k_2$ であり、分解は一意である。▨

4 例と非例

例 4.1 (円周群の直積としてのトーラス). 複素数の乗法に関する円周群を

S^1=\{z\in\mathbb C\mid |z|=1\}

とする。 $z,w\in S^1$ ならば $|zw|=1$ であり、 $z^{-1}=\overline z\in S^1$ であるから、 $S^1$ は群である。正整数 $n$ に対する $n$ 個の直積

T^n=(S^1)^n

は、各座標で複素数を掛ける群であり、 $n$ 次元トーラスと呼ばれる。例えば

T^2=S^1\times S^1

は二つの円周群の外部直積である。ここでは $T^n$ の群構造だけを用い、積位相や多様体としての構造は用いない。

例 4.2 (トーラスのねじれ部分群). 整数 $d\geq1$ 、 $n\geq2$ とする。加法群 $\mathbb T=\R/\Z$ から円周群への写像

E\colon\mathbb T\longrightarrow S^1,\qquad [t]\longmapsto e^{2\pi it}

は群同型である。実際、指数関数の加法公式と、 $e^{2\pi it}=1$ が $t\in\Z$ と同値であることから、 $E$ は well-defined な単射準同型である。円周上の任意の点は $e^{i\theta}$ と表されるので、 $E$ は全射でもある。各座標に $E$ を適用して

\mathbb T^d\cong T^d=(S^1)^d

を得る。

乗法群 $T^d$ と加法群 $\mathbb T^d$ の $n$ -ねじれ部分群をそれぞれ

T^d[n]=\{z\in T^d\mid z^n=1\}, \qquad \mathbb T^d[n]=\{x\in\mathbb T^d\mid nx=0\}

とする。各群はアーベル群なので $z\mapsto z^n$ と $x\mapsto nx$ は準同型であり、表示された集合はそれぞれの核として部分群になる。各座標に $E$ を適用する同型は、この二つの部分群を対応させる。

写像

\Phi\colon(\Z/n\Z)^d\longrightarrow\mathbb T^d[n], \qquad ([k_1]_n,\ldots,[k_d]_n) \longmapsto \left(\left[\frac{k_1}{n}\right],\ldots, \left[\frac{k_d}{n}\right]\right)

を定める。 $n[k_j/n]=[k_j]=0$ なので、像は $\mathbb T^d[n]$ に属する。 $k_j$ を $n$ の倍数だけ変えても $k_j/n$ の $\R/\Z$ における類は変わらないため、 $\Phi$ は well-defined である。また、各座標で

\left[\frac{k_j+\ell_j}{n}\right] =\left[\frac{k_j}{n}\right]+\left[\frac{\ell_j}{n}\right]

が成り立つので、 $\Phi$ は群準同型である。

$\Phi(([k_j]_n)_j)=0$ ならば、各 $k_j/n$ は整数なので $n\mid k_j$ であり、 $\Phi$ は単射である。一方、 $([t_1],\ldots,[t_d])\in\mathbb T^d[n]$ ならば、各 $nt_j$ は整数である。 $k_j=nt_j$ と置くと $[t_j]=[k_j/n]$ となるため、 $\Phi$ は全射である。したがって

T^d[n]\cong\mathbb T^d[n]\cong(\Z/n\Z)^d

であり、これらの群の位数は $n^d$ である。円周上の $n$ 個の等分点 $e^{2\pi ik/n}$ （ $k=0,\ldots,n-1$ ）を各座標で選ぶことにより、位数 $n$ の巡回群 $d$ 個の直積が得られる。

補題 4.3. 正整数 $m,n$ が $\gcd(m,n)=1$ を満たすとする。整数 $x$ が $m\mid x$ かつ $n\mid x$ を満たすならば、

mn\mid x

である。

証明. まず、この場合に必要な Bézout の等式を Euclid の互除法から導く。必要ならば $m,n$ を交換して $m\geq n$ とし、

r_0=m,\qquad r_1=n,\qquad r_{i-1}=q_i r_i+r_{i+1},\quad 0\leq r_{i+1}<r_i

と除法を繰り返す。非負整数 $r_i$ は正である間は狭義に減少するため、ある $s$ で $r_s>0$ 、 $r_{s+1}=0$ となって停止する。各段階で

d\mid r_{i-1},\ d\mid r_i \quad\Longleftrightarrow\quad d\mid r_i,\ d\mid r_{i+1}

が成り立つ。したがって $r_s=\gcd(m,n)=1$ である。さらに

r_{i+1}=r_{i-1}-q_i r_i

を最後の式から順に代入すると、ある $u,v\in\mathbb Z$ により

um+vn=1

と表される。

この等式に $x$ を掛けると

x=umx+vnx

となる。 $n\mid x$ であるから $umx$ は $mn$ で割り切れ、 $m\mid x$ であるから $vnx$ も $mn$ で割り切れる。よって両者の和 $x$ も $mn$ で割り切れる。▨

定理 4.4. $m,n\geq2$ かつ $\gcd(m,n)=1$ とする。加法群の準同型

\Phi\colon\mathbb Z/mn\mathbb Z \longrightarrow \mathbb Z/m\mathbb Z\times\mathbb Z/n\mathbb Z, \qquad [x]_{mn}\longmapsto([x]_m,[x]_n)

は群同型である。

証明. $x-y$ が $mn$ の倍数ならば $m$ と $n$ の両方の倍数であるから、 $\Phi$ は代表元によらず定まる。また、

\Phi([x+y]_{mn})=\Phi([x]_{mn})+\Phi([y]_{mn})

であるため、 $\Phi$ は準同型である。 $\Phi([x]_{mn})=(0,0)$ ならば、 $m\mid x$ かつ $n\mid x$ である。補題 4.3により $mn\mid x$ となるため、核は自明である。§E7.3 命題 2.2から $\Phi$ は単射である。定義域と終域の位数はいずれも $mn$ であるから、有限集合間の単射 $\Phi$ は全射でもある。したがって $\Phi$ は群同型である。▨

例 4.5 (法 6 に対する中国剰余定理). 定理で $m=2$ 、 $n=3$ とすると

\mathbb Z/6\mathbb Z \cong \mathbb Z/2\mathbb Z\times\mathbb Z/3\mathbb Z

が成り立つ。

例 4.6 (Klein の四元群). Klein の四元群を

V_4=\{e,a,b,c\},\qquad a^2=b^2=c^2=e,\qquad ab=c

とする。 $H=\langle a\rangle$ 、 $K=\langle b\rangle$ と置く。 $V_4$ はアーベル群であるから $H,K\trianglelefteq V_4$ であり、

H\cap K=\{e\},\qquad HK=V_4

である。内部直積の判定により

V_4\cong C_2\times C_2

が成り立つ。

例 4.7 (同じ位数だけでは直積にならない). $C_4$ と $C_2\times C_2$ はともに位数 $4$ であるが、同型ではない。 $C_4$ は位数 $4$ の元を持つ一方、 $C_2\times C_2$ の単位元でない各元の位数は $2$ である。したがって、群の位数が因子の位数の積に等しいことだけでは、直積分解を結論することができない。

5 演習

問題 5.1.

$A\times B$ において $(a,b)$ の位数が有限であるとき、その位数が $\operatorname{lcm}(\operatorname{ord}(a),\operatorname{ord}(b))$ に等しいことを示せ。
$H,K\trianglelefteq G$ ならば $HK=KH$ であることを示せ。
内部直積の条件のもとで、表現 $g=hk$ が一意であることを積写像の単射性から説明せよ。
$\mathbb Z/12\mathbb Z$ を、互いに素な位数を持つ二つの巡回群の直積として表せ。

解答 (演習の要点).

$(a,b)^r=(e_A,e_B)$ であることは $a^r=e_A$ かつ $b^r=e_B$ と同値である。したがって正整数 $r$ が $(a,b)$ の冪を単位元にすることは、 $\operatorname{ord}(a)\mid r$ かつ $\operatorname{ord}(b)\mid r$ と同値である。そのような最小の正整数は $\operatorname{lcm}(\operatorname{ord}(a),\operatorname{ord}(b))$ である。
$h\in H$ 、 $k\in K$ とする。 $K\trianglelefteq G$ から $hk=(hkh^{-1})h\in KH$ であるため $HK\subseteq KH$ となる。同様に $H\trianglelefteq G$ から $KH\subseteq HK$ となり、 $HK=KH$ を得る。
積写像 $\mu\colon H\times K\to G$ は単射である。 $g=h_1k_1=h_2k_2$ ならば $\mu(h_1,k_1)=\mu(h_2,k_2)$ であるため、 $(h_1,k_1)=(h_2,k_2)$ となる。
$\gcd(3,4)=1$ であるから、定理 4.4により $\mathbb Z/12\mathbb Z \cong\mathbb Z/3\mathbb Z\times\mathbb Z/4\mathbb Z$ である。二因子の位数 $3,4$ は互いに素である。

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§E7.13直積群

1 外部直積

2 部分群の積

3 内部直積

4 例と非例

5 演習

参考文献

前提記事