対数関数 | 指数関数と対数関数

1 指数関数の逆関数として定める

全単射である写像には逆写像が定まります（§B2.7 定理 3.1）。そこで、指数関数が全単射であることを先に確かめます。

定理 1.1 (指数関数は全単射である). $a>0$ 、 $a\ne1$ とする。指数関数 $\exp_a:\mathbb{R}\to(0,\infty)$ は全単射である。

証明.§B3.4 定理 4.1により、 $a>1$ のとき $\exp_a$ は狭義単調増加であり、 $0<a<1$ のとき $\exp_a$ は狭義単調減少です。 $x_1<x_2$ を満たす二つの実数 $x_1$ 、 $x_2$ をとると、 $a>1$ のときは $a^{x_1}<a^{x_2}$ 、 $0<a<1$ のときは $a^{x_1}>a^{x_2}$ となるので、どちらの場合も $\exp_a(x_1)\ne\exp_a(x_2)$ です。相異なる二つの実数の像がつねに相異なるので、 $\exp_a$ は単射です。また§B3.4 定理 4.1により $\exp_a$ の値域は正の数全体 $(0,\infty)$ に一致するので、 $\exp_a$ は $(0,\infty)$ への全射です。単射でありかつ全射なので、§B2.7 定義 2.1の意味で $\exp_a$ は全単射です。▨

定義 1.2 (対数関数). $a>0$ 、 $a\ne1$ とする。定理 1.1と§B2.7 定理 3.1により、指数関数 $\exp_a:\mathbb{R}\to(0,\infty)$ には逆写像が定まる。この逆写像を、 $a$ を底とする対数関数といい

\log_a : (0,\infty)\to\mathbb{R}

と書く。正の数 $M$ に対する値 $\log_a M$ を、 $a$ を底とする $M$ の対数といい、 $M$ を真数という。逆写像の定義により、正の数 $M$ と実数 $p$ について

\log_a M = p \iff a^{p} = M

が成り立つ。

この定義には、二つの条件が伴います。

底の条件は $a>0$ かつ $a\ne1$ です。§B3.3 定義 4.1は底が正の数である場合にだけ $a^{x}$ を定めているので、 $a\le0$ のときは指数関数そのものがありません。 $a=1$ のときは、すべての実数 $x$ について $1^{x}=1$ となり、 $\exp_1$ の値域は $1$ だけからなる集合なので、 $\exp_1$ は $(0,\infty)$ への全射ではありません。したがって、 $a=1$ のときも逆写像は定まりません。

真数条件は $M>0$ です。定義 1.2により $\log_a$ の定義域は $(0,\infty)$ なので、 $\log_a 0$ と、負の数を真数とする対数は、実数の範囲では定まりません。式の中に $\log_a(x-1)$ が現れる場合、その式が定義されるためには $x>1$ が必要です。この条件を落とすと、元の式が定義されない値を解として答えることになります。

例 1.3 (対数の値).定義 1.2の同値関係を用いると、次の値が求まる。

$2^{3}=8$ なので $\log_2 8 = 3$ である。
$2^{-3}=\dfrac18$ なので $\log_2 \dfrac18 = -3$ である。
$10^{1/2}=\sqrt{10}$ なので $\log_{10}\sqrt{10}=\dfrac12$ である。
$9^{3/2}=(\sqrt9)^{3}=27$ なので $\log_9 27 = \dfrac32$ である。
どの底 $a$ についても $a^{0}=1$ 、 $a^{1}=a$ なので、 $\log_a 1 = 0$ 、 $\log_a a = 1$ である。

2 積、商、累乗についての性質

指数法則§B3.3 定理 6.1を、定義 1.2の同値関係を通して読み直すと、対数についての三つの等式が得られます。

定理 2.1 (対数の性質). $a>0$ 、 $a\ne1$ とする。すべての正の数 $M$ 、 $N$ と、すべての実数 $r$ について次が成り立つ。

$\log_a(MN) = \log_a M + \log_a N$
$\log_a\dfrac{M}{N} = \log_a M - \log_a N$
$\log_a(M^{r}) = r\log_a M$

証明. $p=\log_a M$ 、 $q=\log_a N$ と置きます。定義 1.2により $a^{p}=M$ 、 $a^{q}=N$ です。

1 について。§B3.3 定理 6.1の指数法則により $a^{p+q}=a^{p}a^{q}=MN$ です。 $M$ と $N$ が正の数なので $MN$ も正の数であり、定義 1.2により $\log_a(MN)=p+q$ です。

2 について。同じく $a^{p-q}=\dfrac{a^{p}}{a^{q}}=\dfrac{M}{N}$ であり、 $\dfrac{M}{N}$ は正の数なので $\log_a\dfrac{M}{N}=p-q$ です。

3 について。 $M$ が正の数なので、実数 $r$ に対する $M^{r}$ は§B3.3 定義 4.1によって定まり、その値は正の数です。§B3.3 定理 6.1の指数法則により $a^{pr}=(a^{p})^{r}=M^{r}$ なので、定義 1.2により $\log_a(M^{r})=pr$ です。▨

3 の等式は、 $M>0$ という仮定の下でのものです。 $M$ が負の数のときは $M^{r}$ が実数の範囲で定まるとは限らず、 $\log_a M$ も定まりません。とくに $r=2$ の場合、 $M\ne0$ であれば $M^{2}>0$ なので $\log_a(M^{2})$ は定まりますが、その値が $2\log_a M$ に等しいのは $M>0$ のときだけです。 $M<0$ のときは $|M|>0$ から $\log_a(M^{2})=\log_a(|M|^{2})=2\log_a|M|$ となります。

底の変換公式は、3 の等式から導かれます。

公式 2.2 (底の変換公式). $a>0$ 、 $a\ne1$ 、 $b>0$ 、 $b\ne1$ とする。すべての正の数 $M$ について

\log_a M = \frac{\log_b M}{\log_b a}

が成り立つ。

証明. $p=\log_a M$ と置くと、定義 1.2により $a^{p}=M$ です。両辺の $b$ を底とする対数をとり、定理 2.1の 3 を用いると

\log_b M = \log_b(a^{p}) = p\log_b a

となります。ここで $\log_b a\ne0$ です。実際、 $\log_b a = 0$ とすると定義 1.2により $a=b^{0}=1$ となり、仮定 $a\ne1$ に反します。したがって両辺を $\log_b a$ で割ることができて、 $p=\dfrac{\log_b M}{\log_b a}$ を得ます。▨

例 2.3 (底の変換公式の使い方). 底を $2$ にそろえると、 $2^{5}=32$ と $2^{3}=8$ から $\log_2 32=5$ 、 $\log_2 8=3$ なので

\log_8 32 = \frac{\log_2 32}{\log_2 8} = \frac{5}{3}

である。また、公式 2.2で $M=b$ と置くと $\log_a b=\dfrac{\log_b b}{\log_b a} =\dfrac{1}{\log_b a}$ となるので、 $\log_a b$ と $\log_b a$ は互いに逆数である。

底を $\dfrac1a$ に取り替えた場合も同じ公式から求まる。 $\log_a\dfrac1a=-1$ なので

\log_{1/a}M = \frac{\log_a M}{\log_a \frac1a} = -\log_a M

である。すなわち、底を逆数に取り替えると、対数の値は符号だけが変わる。

3 グラフ

定義 1.2により $\log_a$ は $\exp_a$ の逆写像なので、点 $(x,y)$ が $y=a^{x}$ のグラフの上にあることと、点 $(y,x)$ が $y=\log_a x$ のグラフの上にあることは同値です。座標平面において点 $(x,y)$ を点 $(y,x)$ に移す操作は直線 $y=x$ についての対称移動なので、 $y=\log_a x$ のグラフは、 $y=a^{x}$ のグラフを直線 $y=x$ について対称に移したものです。

横軸は真数 $x$ 、縦軸は対数の値 $y$ です。この図は表示範囲の内側だけを描いており、 $0<x<0.002$ の部分と表示範囲の外は描かれていません。また、スライダーが動く範囲は $1.2\le a\le 4$ なので、この図は $a>1$ の場合だけを表しています。定義域が $(0,\infty)$ であることと値域が $\mathbb{R}$ であることは定義 1.2から従い、増減の向きは次の定理から従います。

定理 3.1 (対数関数の狭義単調性). $a>0$ 、 $a\ne1$ とする。 $a>1$ のとき $\log_a$ は $(0,\infty)$ で狭義単調増加であり、 $0<a<1$ のとき $\log_a$ は $(0,\infty)$ で狭義単調減少である。

証明. $a>1$ の場合を示します。 $0<M<N$ を満たす二つの正の数 $M$ 、 $N$ をとり、 $p=\log_a M$ 、 $q=\log_a N$ と置きます。定義 1.2により $a^{p}=M$ 、 $a^{q}=N$ です。ここで $p\ge q$ と仮定すると、§B3.4 定理 4.1により $\exp_a$ は狭義単調増加ですから $a^{p}\ge a^{q}$ 、すなわち $M\ge N$ となり、 $M<N$ に反します。したがって $p<q$ 、すなわち $\log_a M<\log_a N$ です。

$0<a<1$ の場合は、§B3.4 定理 4.1により $\exp_a$ が狭義単調減少ですから、同じ形の議論で $p\le q$ を仮定すると $M\ge N$ が出て矛盾します。したがって $p>q$ 、すなわち $\log_a M>\log_a N$ です。▨

$a>1$ のときと $0<a<1$ のときのグラフの関係は、例 2.3で確かめた $\log_{1/a}M=-\log_a M$ から従います。すなわち、 $y=\log_{1/a}x$ のグラフは、 $y=\log_a x$ のグラフを $x$ 軸について対称に移したものです。

4 対数を含む方程式と不等式

対数を含む方程式や不等式を解くときは、変形を始める前に真数条件と底の条件を書き出します。定理 2.1を用いる変形は真数がすべて正の数である場合の等式に基づくので、最後に、得られた候補が真数条件を満たすかどうかを確かめます。

例 4.1 (対数を含む方程式). 方程式 $\log_2(x-1)+\log_2(x-3)=3$ を解く。

真数条件は $x-1>0$ かつ $x-3>0$ 、すなわち $x>3$ である。この範囲で定理 2.1の 1 により左辺は $\log_2\{(x-1)(x-3)\}$ に等しい。定義 1.2により

(x-1)(x-3)=2^{3}=8

であり、整理すると $x^{2}-4x-5=0$ 、すなわち $(x-5)(x+1)=0$ である。したがって $x=5$ または $x=-1$ が候補となる。真数条件 $x>3$ を満たすのは $x=5$ だけなので、解は $x=5$ である。

$x=5$ を元の方程式へ代入すると $\log_2 4+\log_2 2 = 2+1 = 3$ となり、確かに成り立つ。

例 4.2 (対数を含む不等式). 不等式 $\log_{1/3}(x-2)>-1$ を解く。

真数条件は $x-2>0$ 、すなわち $x>2$ である。 $\left(\dfrac13\right)^{-1}=3$ なので定義 1.2により $-1=\log_{1/3}3$ であり、不等式は $\log_{1/3}(x-2)>\log_{1/3}3$ と書き直される。底は $\dfrac13$ であって $0<\dfrac13<1$ を満たすので、定理 3.1により $\log_{1/3}$ は狭義単調減少である。したがって、真数条件 $x-2>0$ の下で、この不等式は $x-2<3$ と同値である。すなわち $x<5$ である。真数条件と合わせて、解は $2<x<5$ である。

底が $1$ より大きい場合は不等号の向きが変わらない。たとえば $\log_{3}(x-2)>-1$ の解は、 $-1=\log_3\dfrac13$ と定理 3.1から $x-2>\dfrac13$ 、すなわち $x>\dfrac73$ である。

5 性質を用いた変形で定義域が変わる

定理 2.1の等式は、真数がすべて正の数であるという仮定の下でのものです。この仮定を確かめずに式を変形すると、変形の前後で定義域が変わります。

例 5.1 (変形の前後で定義域が変わる例). 式 $\log_{10}x+\log_{10}(x-1)$ が定義されるのは、 $x>0$ かつ $x-1>0$ 、すなわち $x>1$ のときである。一方、式 $\log_{10}\{x(x-1)\}$ が定義されるのは $x(x-1)>0$ 、すなわち $x<0$ または $x>1$ のときである。定理 2.1の 1 は真数がともに正の数である場合の等式なので、二つの式が等しいのは $x>1$ の範囲に限られる。

この差は解の個数に現れる。方程式 $\log_{10}\{x(x-1)\}=\log_{10}2$ は、真数条件 $x(x-1)>0$ の下で $x(x-1)=2$ と同値であり、 $x^{2}-x-2=0$ から $x=2$ と $x=-1$ が得られる。 $x=2$ では $x(x-1)=2>0$ 、 $x=-1$ でも $x(x-1)=2>0$ なので、どちらも真数条件を満たし、解は二つである。

一方、方程式 $\log_{10}x+\log_{10}(x-1)=\log_{10}2$ の真数条件は $x>1$ である。 $x=-1$ はこの条件を満たさないので、解は $x=2$ だけである。

対数の和を一つの対数へまとめる変形は、このように、式が定義される範囲を広げる場合があります。そこで、変形を始める前に書き出した真数条件を最後まで保ち、得られた候補を必ずその条件と照合します。

6 つまずいたら

真数条件は、対数の性質を使う前に書き出します。例 5.1のように、まとめる変形は定義域を広げる場合があります。広がった範囲で見つかった値は、元の式では解になりません。
底が $1$ より大きいか小さいかで、対数不等式の不等号の向きが変わります。どちらであるかは定理 3.1で決まるので、底の値を先に確かめます。
定理 2.1は積、商、累乗についての等式であって、和については何も述べていません。 $\log_a(M+N)$ を $\log_a M+\log_a N$ と書き換えることはできません。 $M=N=1$ とすると、左辺は $\log_a 2$ 、右辺は $0$ であり、 $a$ をどのように選んでも一致しません。
$\log_a(M^{2})=2\log_a M$ が成り立つのは $M>0$ のときだけです。 $M<0$ のときは $\log_a(M^{2})=2\log_a|M|$ です。
公式 2.2の分母は $\log_b a$ であって $\log_b M$ ではありません。 $b=a$ と置くと右辺が $\dfrac{\log_a M}{\log_a a}=\log_a M$ になることで、分母と分子の位置を確かめることができます。

底を $e$ にとった対数を自然対数といい、その定義と性質は「自然対数」が扱います。底を $10$ にとった対数を桁数の評価に用いる方法は、「常用対数」が扱います。

閑話休題：対数を尺度に用いる 対数は、量そのものではなく、同じ種類の量の比を表す尺度にも用いられます。BIPM の SI Brochure は、参照値 $X_0$ に対する比 $X/X_0$ を用いる対数比量について

L_X=10\log_{10}\frac{X}{X_0}\ \mathrm{dB}

という読み方を示しています。ただし、何の量 $X$ を比較するかと参照値 $X_0$ を併記しなければ、数値だけでは尺度が定まりません。音響で振幅に相当する量を用いる場合には係数が $20$ となる表し方もあるため、「デシベルは常に一つの量の常用対数を10倍する」と一般化することはできません。

IUPAC は pH を、水溶液中の水素イオンの相対活量 $a(\mathrm H^+)$ によって

\mathrm{pH}=-\log_{10}a(\mathrm H^+)

と定義しています。濃度だけの負の常用対数とする式は、活量係数を省略する近似であって、pH の定義そのものではありません。

地震のマグニチュードにも複数の種類があります。USGS が示す表では、実体波マグニチュードは振幅と周期の比の常用対数に距離と震源の深さによる補正を加え、モーメントマグニチュードは地震モーメントの常用対数から定めます。したがって、「観測振幅の常用対数」という説明だけでは、適用する方式と観測条件が不足します。

対数を積の計算へ用いる構想は、ネイピアが1614年に刊行した Mirifici logarithmorum canonis descriptio に、説明と数表を伴う形で示されています。定理 2.1の 1 により、積の計算を二つの対数の和へ置き換えることができます。ここで述べた標準上の定義、測定条件、および刊行年は、frontmatter に掲げた資料で2026年7月29日に確認しました。

§B3.5対数関数

1 指数関数の逆関数として定める

2 積、商、累乗についての性質

3 グラフ

4 対数を含む方程式と不等式

5 性質を用いた変形で定義域が変わる

参考文献

例題

演習

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