§B3.1有理数乗

証明.$u,v$を非負整数とする。$a^ua^v$は$a$を$u+v$個掛けた値であるから

となる。ここでは指数が$0$の場合に$a^0=1$を用いる。この等式と負の整数乗の定義から、非負整数$u,v$について

を得る。実際、$u\ge v$なら$a^u=a^{u-v}a^v$であり、$u<v$なら$a^v=a^{v-u}a^u$である。

$m,k$を任意の整数とする。$m+N\ge0$、$k+N\ge0$を満たす非負整数$N$を取ると、上の二式により

となる。これで第一の法則が任意の整数指数について成り立つ。

$k\ge0$のとき、$(a^m)^k$は$a^m$を$k$個掛けた値であり、第一の法則を繰り返すと$(a^m)^k=a^{mk}$となる。$k=-l<0$のときは

である。したがって第二の法則も任意の整数$k$について成り立つ。

$m\ge0$のとき、$(ab)^m$の因子を並べ替えると$(ab)^m=a^mb^m$となる。$m=-l<0$のときは

である。したがって第三の法則も任意の整数$m$について成り立つ。▨

証明.$n$を正の整数とする。§A1.2 定理 2.1により、$0\le x<y$ならば$x^n<y^n$である。したがって第一の主張が成り立ち、$b^n=a$を満たす正の実数$b$は二つ以上存在しない。

$a>0$を取り、$f(t)=t^n$と置く。関数$f$は閉区間$[0,1+a]$で連続であり、

を満たす。§B1.10 定理 5.1により、$f(b)=a$を満たす$b\in(0,1+a)$が存在する。先に示した一意性と合わせると、第二の主張が従う。▨

証明.§A1.2 公式 5.3の積の法則により

となる。

$k$が正の整数である場合、同じ定理の累乗の法則により$(\sqrt[n]{a})^k=\sqrt[n]{a^k}$である。$k=0$の場合は、$1^n=1$と定理 2.1の一意性により$\sqrt[n]{1}=1$であるから、両辺は$1$になる。$k=-l<0$の場合、正の整数$l$に対する結果と整数乗の定義により

となる。一方、同じ定理の商の法則から

となるので、第一の法則は負の整数$k$についても成り立つ。

最後に、§A1.2 公式 5.3の入れ子の根についての法則から$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$である。この等式の両辺を$m$乗すると

となり、第三の法則を得る。▨

証明.$x=(\sqrt[n]{a})^m$、$y=(\sqrt[n']{a})^{m'}$と置く。累乗根は正であるから、$x,y>0$である。

定理 1.2により

となる。仮定$m/n=m'/n'$から$mn'=m'n$であるため、$x^{nn'}=y^{nn'}$を得る。$nn'$乗は正の実数上で単射であるから、定理 2.1により$x=y$である。▨

証明. はじめに$a^{r}>0$を示す。$r$を$\dfrac{m}{n}$（$m$は整数、$n$は正の整数）と表すと$a^{r} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^{m}$であり、$\sqrt[n]{a}>0$であるから$a^{r}>0$である。

1 を示す。定理 3.2により、$r$と$s$を共通の分母をもつ分数$r = \dfrac{p}{n}$、$s = \dfrac{q}{n}$（$p$、$q$は整数、$n$は正の整数）で表して計算してよい。定理 1.2により

である。

2 を示す。$r = \dfrac{p}{n}$、$s = \dfrac{q}{m}$（$p$、$q$は整数、$m$、$n$は正の整数）と表す。まず$\sqrt[m]{a^{r}} = a^{p/(mn)}$であることを確かめる。$a^{p/(mn)} = \left(\sqrt[mn]{a}\right)^{p}$は正であり、定理 1.2と定理 2.4の 3 により

である。$m$乗して$a^{r}$になる正の実数はただ一つであるから、$\sqrt[m]{a^{r}} = a^{p/(mn)}$である。したがって

である。

3 を示す。$r = \dfrac{p}{n}$と表すと、定理 2.4の 2 と定理 1.2により

である。▨

証明. まず、$a>1$と正の有理数$t$について$a^{t}>1$であることを示す。$t = \dfrac{p}{n}$（$p$、$n$は正の整数）と表す。$\sqrt[n]{a} \le 1$と仮定すると、定理 2.1の 1 により$a = \left(\sqrt[n]{a}\right)^{n} \le 1^{n} = 1$となり、$a>1$に反する。よって$\sqrt[n]{a}>1$であり、$p$が正の整数であるから$a^{t} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^{p} > 1$である。

1 を示す。$s-r$は正の有理数であるから$a^{s-r}>1$である。定理 4.1の 1 により$a^{s} = a^{r}a^{s-r}$であり、$a^{r}>0$であるから$a^{s} > a^{r}\cdot 1 = a^{r}$である。

2 を示す。正の整数$n$について$1^{n}=1$であるから、$\sqrt[n]{1}=1$である。$r = \dfrac{p}{n}$と表すと$1^{r} = \left(\sqrt[n]{1}\right)^{p} = 1^{p} = 1$であり、$s$についても同じ計算で$1^{s}=1$である。

3 を示す。$0<a<1$のとき$\dfrac1a>1$である。定理 4.1の 3 により$a^{r}\left(\dfrac1a\right)^{r} = \left(a\cdot\dfrac1a\right)^{r} = 1^{r} = 1$であるから$a^{r} = \dfrac{1}{(1/a)^{r}}$である。$r<s$と 1 により$\left(\dfrac1a\right)^{r} < \left(\dfrac1a\right)^{s}$であり、両辺は正であるから、逆数を取ると不等号の向きが変わって$a^{r} > a^{s}$である。▨

証明.$n=1$のときは$\sqrt[1]{x}=x$であるから主張は成り立つ。以下では$n\ge2$とする。

$x > 0$を固定し、$v = \sqrt[n]{x}$と置く。$0 < |h| < x$を満たす$h$をとると$x + h > 0$であるから、$u = \sqrt[n]{x+h}$と置くことができる。このとき$u > 0$、$v > 0$、$u^{n} = x+h$、$v^{n} = x$である。因数分解

の右辺にある第二の因子を$S$と書く。$u > 0$かつ$v > 0$であるから$S$の各項は正であり、とくに$S \ge v^{\,n-1} > 0$である。$u^{n} - v^{n} = h$であるから

となり、$h \to 0$のとき$u$は$v$に近づく。また$h \ne 0$のとき$u^{n} \ne v^{n}$であるから$u \ne v$であり、差の商は

と書き直される。$h \to 0$のとき$u$が$v$に近づくので、$S$の$n$個の各項はいずれも$v^{\,n-1}$に近づき、$S$は$n\,v^{\,n-1}$に近づく。$n\,v^{\,n-1} \ne 0$であるから、差の商は$\dfrac{1}{n\,v^{\,n-1}}$に近づく。▨

証明.$r = \dfrac{m}{n}$（$m$は整数、$n$は正の整数）と表す。$x > 0$に対して$v(x) = \sqrt[n]{x}$と置くと、定義 3.1により$x^{\,r} = v(x)^{m}$である。

$x > 0$のとき$v(x) > 0$であるから、§B2.10 定理 5.1により、$t$の関数$t^{m}$は$t = v(x)$で微分可能であり、その導関数の値は$m\,v(x)^{\,m-1}$である。$v$は$x > 0$で微分可能であって値が正であるから、§B2.10 定理 4.1と定理 5.1により

である。一方、$r - 1 = \dfrac{m-n}{n}$であるから、定義 3.1により$x^{\,r-1} = v(x)^{\,m-n}$である。よって$\left(x^{\,r}\right)' = r\,x^{\,r-1}$である。▨