§B3.10対数関数の微分

例 2.3 ($y=\log x$の接線). 点$(1,0)$における$y=\log x$の接線を求める。§B3.9 例 1.4により$\log 1 = 0$なので、点$(1,0)$はこの曲線の上にある。定理 2.1により接線の傾きは$\dfrac11 = 1$であるから、接線の方程式は$y = 0 + 1\cdot(x-1)$、すなわち$y=x-1$である。

「指数関数の微分」の§B3.8 例 1.5は、点$(0,1)$における$y=e^{x}$の接線が$y=x+1$であることを求めていた。点$(1,0)$と点$(0,1)$は直線$y=x$について対称であり、二つの接線$y=x-1$と$y=x+1$も直線$y=x$について対称である。これは、$y=\log x$のグラフが$y=e^{x}$のグラフを直線$y=x$について対称に移したものであること（「対数関数」）と対応している。

点$(e,1)$における接線も求める。$\log e = 1$であり、傾きは$\dfrac1e$であるから、接線の方程式は$y = 1 + \dfrac1e(x-e)$、すなわち$y=\dfrac{x}{e}$である。この接線は原点を通る。

例 2.4 (対数を含む式の微分).

である。ここで一つ目は$x>-\dfrac12$、二つ目と三つ目は$x>0$で考える。

一つ目は§B2.10 定理 4.1による。内側の関数を$g(x)=2x+1$、外側の関数を$f(u)=\log u$とすると、$x>-\dfrac12$のとき$g(x)>0$であり、定理 2.1により$f'(u)=\dfrac1u$であるから、$f'(g(x))g'(x) = \dfrac{1}{2x+1}\cdot2$を得る。

二つ目は§B2.10 定理 2.1により$1\cdot\log x + x\cdot\dfrac1x = \log x + 1$である。三つ目は§B2.10 定理 3.1により$\dfrac{\frac1x\cdot x - \log x\cdot1}{x^{2}} = \dfrac{1-\log x}{x^{2}}$である。

例 4.2 (底が$e$でない指数関数の場合).$a>0$とする。$h$を$0$に近づけたときの$\dfrac{a^{h}-1}{h}$の極限は$\log a$である。

$a=1$のときは、どの$h$についても$\dfrac{1^{h}-1}{h}=0$であり、$\log 1 = 0$であるから、主張が成り立つ。

$a\ne1$とする。§B3.9 定理 1.3により$a = e^{\log a}$であり、§B3.3 定理 6.1の 4 により$a^{h} = e^{h\log a}$である。$a\ne1$と§B3.5 定理 3.1により$\log a\ne0$であるから、$h\ne0$のとき

と書くことができる。$t=h\log a$と置くと、$h$を$0$に近づけたとき$t$は$0$でない値をとって$0$に近づく。公式 3.1の二つ目の等式により$\dfrac{e^{t}-1}{t}$は$1$に近づくので、右辺は$\log a$に近づく。ここでは、変数を取り替えて極限を計算する手続きを認めて用いた。この手続きを$\varepsilon$-$\delta$論法として精密に述べることは「ε-論法と基礎解析」が扱う。

この極限は、§B3.7 定理 1.1の$L(a)$にほかならない。同じ定理により$\left(a^{x}\right)' = L(a)\,a^{x}$であるから、いま求めた$L(a)=\log a$は公式 4.1と一致する。

例 4.4 (底が$10$と$2$の場合).公式 4.3により、正の数$x$について

である。§B3.9 例 1.4により$\log 1 = 0$であり、§B3.5 定理 3.1により$\log 1<\log 2<\log 10$であるから$0<\log 2<\log 10$である。したがって、同じ正の数$x$における接線の傾きは、底が$2$のときのほうが底が$10$のときより大きい。

$a=e$と置くと$\log e = 1$であるから、公式 4.3は$(\log x)'=\dfrac1x$となり、定理 2.1に一致する。

例 5.2 (積、商、累乗が入り混じった式).$x>-1$の範囲で

の導関数を求める。$x>-1$のとき$x+1>0$、$x+2>0$、$x+3>0$であるから$y>0$である。また、$\sqrt{x+2}=(x+2)^{1/2}$は§B3.1 定理 5.2と§B2.10 定理 4.1により$x>-2$で微分可能であるから、$y$は§B2.10 定理 2.1と§B2.10 定理 3.1により$x>-1$で微分可能である。

§B3.5 定理 2.1を底$e$に適用し、$\sqrt{x+2}=(x+2)^{1/2}$であることを用いると

である。両辺を$x$で微分する。左辺は公式 5.1の 2 により$\dfrac{y'}{y}$であり、右辺の各項は§B2.10 定理 4.1と定理 2.1によって計算すると

である。したがって

である。$x=0$で値を確かめる。$y=\dfrac{1\cdot\sqrt2}{27}$であり、括弧の中は$2+\dfrac14-1=\dfrac54$であるから$y'=\dfrac{5\sqrt2}{108}=0.06547\dots$である。もとの式に数値を入れると$x=0$では$y=0.05237\dots$、$x=0.1$では$y=0.05885\dots$であり、二つの差を$0.1$で割ると$0.0648\dots$である。いま求めた導関数の値に近い。

例 5.3 (指数に変数が現れる式).$x>0$の範囲で$y=x^{x}$の導関数を求める。§B3.9 定理 1.3により$x = e^{\log x}$であるから、§B3.3 定理 6.1の 4 により

である。例 2.4のとおり$g(x)=x\log x$は$x>0$で微分可能で$g'(x) = \log x + 1$であるから、公式 5.1の 1 により$y$は$x>0$で微分可能であり

である。

値を確かめる。$x=1$では$\log 1 = 0$であるから$y'=1\cdot(0+1)=1$である。$x=\dfrac1e$では$\log x = -1$であるから$y'=0$である。§B3.5 定理 3.1により、$0<x<\dfrac1e$では$\log x+1<0$、$x>\dfrac1e$では$\log x+1>0$であり、§B3.3 定理 6.1の 1 により$x^{x}>0$であるから、導関数の符号は$x=\dfrac1e$で負から正へ変わる。したがって$y$はこの点で極小値をとる。

例 5.4 (指数が実数である累乗の導関数).$\alpha$を実数とする。$x>0$の範囲で$y=x^{\alpha}$の導関数を求める。前の例と同じく$x = e^{\log x}$と§B3.3 定理 6.1の 4 により$x^{\alpha} = e^{\alpha\log x}$である。$g(x)=\alpha\log x$は$x>0$で微分可能で$g'(x)=\dfrac{\alpha}{x}$であるから、公式 5.1の 1 により

である。最後の等号は§B3.3 定理 6.1の 2 による。

「有理数乗」の§B3.1 定理 5.2は、この式を指数が有理数である場合について示していた。指数が無理数である場合も同じ式になることが、いま分かった。たとえば$\left(x^{\sqrt2}\right)' = \sqrt2\,x^{\sqrt2-1}$である。