§B3指数関数と対数関数全12項目

概要

本単元は、指数を有理数から実数へ広げ、指数関数と対数関数の性質と導関数を扱います。底を正の数に限って有理数乗を定め、指数を少し動かしたときに有理数乗がどれだけ変わるかを不等式で押さえて、実数乗を定義します。そのうえで、指数関数のグラフと狭義単調性を調べ、その逆関数として対数関数を定めて常用対数による桁数の評価へ進み、指数関数の微分に現れる極限が$1$になる底として$e$を定めて、自然対数と対数微分法まで進みます。最後に、単元全体を通して何を認めて用いたかを整理します。

本単元は、微分を扱う「関数の性質」の後に読む単元です。$a^{x}$を導関数の定義にしたがって微分すると、$a^{x}$と、$h$を$0$に近づけたときの$\dfrac{a^{h}-1}{h}$の極限との積が現れ、この極限は$x$によりません。この極限が$1$になる底として$e$を定めます。この定め方は、指数関数を微分する規則を先に用意している場合にかぎって用いることができます。数列$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$の極限が$e$に等しいことは、$e$を定めた後に示す定理として扱います。

本単元が想定する読者は、関数を定義域と値域をもつ対応として扱う枠組みと、導関数の定義および積、商、合成関数の微分法を一通り身につけ、指数と対数をその枠組みの中で扱う段階へ進む人です。

この単元のねらい

本単元は、読者が次に掲げる能力を習得することを目標とします。

• 有理数乗を累乗根によって定義し、底を$a>0$に限る理由を、$a=0$では負の指数が定まらないこと、および$a<0$では分母が偶数である指数に対応する累乗根が実数の範囲に無いことによって説明することができます。
• 同じ有理数を別の分数で表しても有理数乗の値が変わらないことを示し、指数法則が有理数乗のままで成り立つことを証明することができます。
• ベルヌーイの不等式から、$a \geq 1$とどの正の整数$N$についても$0 \leq a^{1/N} - 1 \leq \dfrac{a-1}{N}$が成り立つという評価を導くことができます。
• この評価によって有理数乗の変動を上から押さえ、無理数へ収束する有理数の列をどのように取っても対応する有理数乗の列が同じ値へ近づくことを説明し、その極限として実数乗を定義することができます。
• 底が$a>1$のときと$0<a<1$のときに分けて指数関数の狭義単調性を述べ、値域が正の数全体になることを中間値の定理から示して、指数を含む方程式と不等式を解くことができます。
• $a^{x}$の導関数に現れる極限が$1$になる底として$e$を定め、$(e^{x})' = e^{x}$と$(a^{x})' = a^{x}\log a$（$\log$は$e$を底とする対数です）を導くことができます。
• 対数関数を指数関数の逆関数として定義し、真数が正であることと底が正で$1$でないことを保ちながら、積、商、累乗についての性質と底の変換公式を用いて式を変形することができます。
• 常用対数を用いて、$1$以上の数の桁数と、$1$より小さい正の数を小数で表したときに$0$でない数字が最初に現れる位を求めることができます。
• 対数関数の連続性を示したうえで差の商を直接書き直し、$x>0$について$(\log x)' = \dfrac{1}{x}$を導きます。また、逆関数の微分法でも同じ式が得られることを確かめ、対数微分法によって、積、商、累乗が入り混じった式や、指数に変数が現れる式を微分することができます。
• 本単元のどの主張が実数の連続性を認めたうえで成り立つのかを、区別して述べることができます。

前提知識

本単元は、「数と式の計算」で扱う平方根と根号の計算、根号の中が負にならない条件の確認、および不等式の基本操作を用います。有理数乗の定義そのものが累乗根によるものであり、指数と対数を含む方程式・不等式の解法も、これらの計算に帰着します。

本単元は、「関数の性質」で扱う内容を三つの場面で用います。第一に、関数を定義域と値域をもつ対応として扱う枠組みとグラフの読み方を、指数関数と対数関数のグラフを調べる場面で用います。第二に、全単射と逆関数の定義を、対数関数を指数関数の逆関数として定める場面で用います。第三に、導関数の定義と、積、商、合成関数の微分法を、指数関数と対数関数の導関数を求める場面で用います。

本単元は、「数列と極限」で扱う数列の極限、極限の四則計算、はさみうちの原理、および中間値の定理を用います。実数乗を有理数乗の極限として定義する段では、これらを本論の証明に用いるので、外すと実数乗が定まりません。

この単元を貫く4つの方針

本単元の各記事は、次の4点を共通の方針とします。

1. 底を正の数に限り、その理由を確かめます。 指数を有理数、実数へと広げるどの段階でも、底が$a>0$であることを条件として書き出します。関数として扱うときは、これに$a \neq 1$を加えます。対数を扱うときは、底の条件と真数が正であることを、式を変形する前に書き出します。
2. 拡張のたびに、指数法則と狭義単調性が保たれることを確かめます。 指数を広げることは、$a^{x}$という記号の意味を新しく定めることです。定めた後に、指数法則$a^{x}a^{y}=a^{x+y}$、$(a^{x})^{y}=a^{xy}$と狭義単調性が、広げた範囲でも成り立つことを示します。
3. 証明せずに認めて用いる事実を、そのつど明示します。 本単元が認めて用いるのは、$\varepsilon$-$N$論法と$\varepsilon$-$\delta$論法に伴うアルキメデスの性質、差の評価から収束を結論する手続き、および極限の変数変換からなる第一群と、$a^{h}$から$1$を引いて$h$で割った値の極限が$1$になる底がただ一つ存在するという第二群と、区間の全体で導関数が$0$である関数が定数になるという第三群です。中間値の定理と、広義単調増加であって上に有界な数列が収束することは、認めごとではありません。どちらも「数列と極限」が区間縮小法から証明したものを引きます。認めた箇所は各記事とまとめの記事で一覧にし、$\varepsilon$を用いた精密な扱いは「ε-論法と基礎解析」が扱います。この三群、および前段で証明元を示した中間値の定理と単調収束定理以外の主張は、本単元の中で証明します。
4. $e$を、極限からではなく微分から定めます。$a^{x}$の導関数に現れる極限が$1$になる底がただ一つ存在することを認めて、その底を$e$と定めます。数列$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$の極限が$e$に等しいことは、この定め方から導く定理として扱います。

難易度区分

本単元は、12記事を「基礎」11記事と「参考」1記事に分けます。

基礎は、有理数乗を定めるところから始め、ベルヌーイの不等式による評価を経て実数乗を構成します。そのうえで指数関数のグラフと狭義単調性を調べ、その逆関数として対数関数を定義して常用対数まで進み、続いて微分に現れる極限から$e$を定めて指数関数の導関数を求め、自然対数、対数関数の微分へ進んで、最後に単元全体を振り返ります。基礎の11記事は、本単元で必ず読む内容であり、順に読むことを想定しています。

ベルヌーイの不等式を実数乗より前に置くのは、有理数乗の変動を押さえる評価が、この不等式から導かれるためです。対数関数を指数関数の直後に置くのは、指数関数が実数全体から正の数全体への全単射であることを示した直後に、その逆関数として対数関数を定めるためです。ネイピア数を常用対数の後に置くのは、$e$を定める極限が指数関数を微分する計算の中で現れるものであり、微分する相手と対数の計算が先に済んでいるほうが、読者の経路として自然だからです。

参考の1記事は必修ではなく、読者は関心に応じて選んで読むことができます。

基礎

読者が指数を実数へ広げ、指数関数と対数関数の性質と導関数を扱うことができるようにする段階です。各記事が扱う内容は、次のとおりです。

• 有理数乗 — 整数乗の定義を有理数乗へ広げ、底を$a>0$に限ります。$a=0$では負の指数が定まらず、$a<0$では分母が偶数である既約分数の指数に対応する累乗根が実数の範囲に無いことを確かめます。奇数分母の既約分数だけなら部分的に定めることができる一方、有理数全体には同じ定義式を適用できないことを区別します。同じ有理数を別の分数で表しても値が変わらないことを示し、指数法則が有理数乗のままで成り立つことを証明します。さらに、積・商・合成関数の微分法を用いて、$x>0$の範囲で$x$の有理数乗の導関数を求めます。
• ベルヌーイの不等式 — 正の整数$n$と、$-1$より大きい実数$h$に対して$(1+h)^{n} \geq 1+nh$が成り立つという不等式を復習し、応用的な使い方を示します。数学的帰納法によるこの不等式の証明は数学的帰納法が与えています。本記事では、$a \geq 1$のとき$0 \leq a^{1/N} - 1 \leq \dfrac{a-1}{N}$という評価を導きます。
• 実数乗 —$a>0$の有理数乗が指数を少し動かしたときにどれだけ変わるかを不等式で押さえ、無理数へ収束する有理数の列をどのように取っても、対応する有理数乗の列が同じ値へ近づくことを示して、その極限を実数乗と定義します。指数法則と狭義単調性が実数乗でも成り立つことを、有理数の列を取って両辺の極限を取ることで証明します。実数の連続性は認めて用い、精密な扱いは「ε-論法と基礎解析」が扱います。
• 指数関数 — 実数乗によって定まる、底を$a>0$かつ$a \neq 1$とする指数関数のグラフを調べます。$a>1$では狭義単調増加であり、$0<a<1$では狭義単調減少であること、および値域が正の数全体になることを中間値の定理から示し、この狭義単調性を用いて指数を含む方程式と不等式を解きます。
• 対数関数 — 指数関数が実数全体から正の数全体への全単射であることから、その逆関数として対数関数を定義し、真数が正であることと、底が正で$1$でないことを条件として明示します。積、商、累乗についての性質と底の変換公式を導き、グラフを描いて、対数を含む方程式と不等式を解きます。性質を用いた変形で定義域が変わる例を、変形の前に書き出した真数条件と照合します。
• 常用対数 — 底を$10$とする常用対数を用いて、$1$以上の数の桁数と、$1$より小さい正の数を小数で表したときに$0$でない数字が最初に現れる位を求めます。$1$以上の数の桁数が、その常用対数を超えない最大の整数に$1$を足したものになることを示し、与えられた対数の値から大きな累乗の桁数を評価します。
• ネイピア数 — 導関数の定義にしたがって$a^{x}$を微分すると、$a^{x}$と、$h$を$0$に近づけたときの$\dfrac{a^{h}-1}{h}$の極限との積が現れます。この極限が$1$になる底がただ一つ存在することを認めて、その底を$e$と定めます。数列$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$の極限がこの$e$に等しいことを定理として証明し、変数を実数として動かした形の極限も求めます。
• 指数関数の微分 —$e^{x}$の導関数が自分自身に等しいことを示し、$e^{x}$が$y'=y$と$y(0)=1$をともに満たす関数であることを確かめます。一般の底$a>0$については、$a$を$e$の累乗として表すことで、$a^{x}$の導関数を求めます。あわせて、$x \geq 0$のとき$e^{x}$が$1 + x + \dfrac{x^{2}}{2!} + \cdots + \dfrac{x^{n}}{n!}$以上になることを、帰納法と増減の判定から示します。
• 自然対数 — 底を$e$とする対数を自然対数と定め、$e^{x}$と自然対数が互いに逆の対応であることを確かめます。底の変換公式によって、一般の底の対数を自然対数へ直します。負の数や複素数の対数は正式には「複素解析」が扱うので、本記事は、よく知られた等式を話題として述べるにとどめます。
• 対数関数の微分 — 合成関数の微分法から逆関数の微分法を導きます。自然対数の導関数が正の$x$について$\dfrac{1}{x}$になることは、差の商を書き直して直接示し、そこで用いる対数関数の連続性を中間値の定理から導きます。底が$e$でない場合は、底の変換公式から求めます。「指数関数の微分」が定数$c$のまま書いた一般の底の導関数を、$c$が$a$の自然対数に等しいことを確かめて見慣れた形へ直し、対数に関わる基本極限も求めます。積、商、累乗が入り混じった式、指数に変数が現れる式、指数が実数である累乗は、両辺の対数をとってから微分します。
• まとめ — 単元全体を振り返り、有理数乗から実数乗へ広げるときに何を認めたか、$e$をどのように定めたか、指数関数と対数関数が互いに逆の対応であることを整理して、導関数を一覧にします。実数の連続性を認めて用いた箇所を改めて示し、その精密な扱いは「ε-論法と基礎解析」が扱います。

参考

本単元が採った立場を、他の課程の立場と並べて眺める段階です。必修ではなく、読者は関心に応じて選んで読むことができます。

• 諸外国における指数関数の取り扱い — 日本、中国、韓国、フランス、イギリス、ドイツ、米国の課程を、$e$をどこから定めるか、指数を実数へ広げることを扱うかどうか、指数関数と対数関数のどちらの導関数を先に導くかという三つの観点で比べます。本単元は、微分に現れる極限から$e$を定める立場を採り、実数乗を構成する点で日本の課程を超えることを述べます。

学習到達点の確認方法

同じ題材であっても、本単元が確かめる内容は学習の段階によって異なります。

• 指数の拡張では、読者が底を$a>0$に限る理由を述べることができるか、指数法則が広げた範囲でも成り立つことを、有理数の列を取って両辺の極限を取る手順によって示すことができるかを確かめます。あわせて、読者がどの段階で実数の連続性を認めたのかを指摘することができるかを確かめます。
• 指数関数と対数関数の性質では、読者が狭義単調性と値域を述べたうえで方程式と不等式を解くことができるか、および真数条件と底の条件を変形の前に書き出し、変形の後に照合することができるかを確かめます。常用対数については、読者が桁数の評価を不等式の変形として説明することができるかを確かめます。
• 導関数では、読者が$e$の定め方から$(e^{x})'=e^{x}$を導くことができるか、自然対数の差の商を$\dfrac1a\cdot\dfrac{u}{e^u-1}$へ書き直して$(\log x)'=\dfrac{1}{x}$を導くことができるか、および対数微分法を用いる場面を判断することができるかを確かめます。

本単元は、演習に、方程式と不等式の解、桁数、導関数のように答えが一意に定まる問題を用います。真数条件と底の条件に関わる問題では、条件を明示しないまま得た答えを誤答として扱います。証明を伴う問題では、読者が用いた不等式、その不等式が成り立つ範囲、および認めて用いた事実を示すことができているかを見ます。

前後の単元との関係

• 数と式の計算 — 同単元は、平方根と根号の計算、根号の中が負にならない条件の確認、不等式の基本操作を扱います。本単元は、これらを有理数乗の定義と、指数・対数を含む方程式と不等式の解法に用います。
• 関数の性質 — 同単元は、関数の概念とグラフ、全単射と逆関数、導関数の定義、積、商、合成関数の微分法を扱います。本単元は、対数関数を逆関数として定めることと、指数関数と対数関数の導関数を求めることを、同単元の内容の上で行います。
• 数列と極限 — 同単元は、数列の極限、極限の四則計算、はさみうちの原理、関数の極限と中間値の定理を扱います。本単元は、実数乗を有理数乗の極限として定義する段でこれらを用います。同単元の基本極限（sin x / x）は、$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$が収束することを単調収束定理から証明し、その極限値をネイピア数と呼びます。$e$をどのように定めるかと、指数関数・対数関数に関わる極限は、本単元が扱います。
• 場合の数と確率統計 — 同単元は、平均と標準偏差だけで形が定まる分布として正規分布を扱います。正規分布のグラフを与える式は$e$を底とする指数関数を含むので、本単元が定める指数関数が、その前提になります。
• 微積分 — 同単元は、$\dfrac{1}{x}$の不定積分と、指数関数・対数関数を含む定積分と面積の計算を扱います。本単元が求める導関数が、その前提になります。
• ε-論法と基礎解析 — 同単元は、実数の連続性と$\varepsilon$-$N$論法による収束の議論を扱い、本単元が認めて用いる収束の手続きを精密に正当化します。本単元は指数と対数の構成と計算を担当し、同単元はその解析上の正当化を担当します。同単元の「初等関数の厳密な定義」は、べき級数で定めた指数関数と本単元が実数乗として定めた指数関数の一致を示し、$\lim_{h\to0}(a^h-1)/h$の存在と、その値が$1$になる正の数$a$の存在および一意性を証明します。
• 複素解析 — 同単元は、変数が複素数である指数関数と対数を扱います。本単元が真数を正の数に限って定義した対数を、同単元は複素数へ広げ、値が一つに定まらなくなることを複素対数と分枝によって整理します。

この単元で扱わないこと

第一に、本単元は、実数の連続性そのものを厳密に扱いません。$\varepsilon$-$N$論法による収束の議論と、区間縮小法が成り立つことの証明は「ε-論法と基礎解析」が扱います。広義単調増加であって上に有界な数列が収束することは「数列と極限」が区間縮小法から証明しており、本単元はそれを用いて、有理数乗の列が収束することを証明します。認めた箇所は各記事で明示します。

第二に、本単元は、指数関数を級数や積分で構成する方法を扱いません。指数関数を実数の上で収束するべき級数として定義し直し、本単元で実数乗として定めた指数関数との一致を示す扱いは「ε-論法と基礎解析」が扱います。同単元は、この一致から$\lim_{h\to0}(a^h-1)/h$の存在と、その値が$1$になる正の数$a$の存在および一意性も証明します。対数を積分によって定義して指数関数をその逆関数とする構成は、本サイトでは採りません。

第三に、本単元は、複素数の指数と対数を正式には扱いません。変数が複素数である指数関数と対数は「複素解析」が扱います。本単元では、形式的な計算とよく知られた等式を話題として述べるにとどまります。

第四に、本単元は、積分を扱いません。$\dfrac{1}{x}$の不定積分や、指数関数と対数関数を含む定積分と面積の計算は「微積分」が扱います。

第五に、本単元は、微分の一般の規則を扱いません。導関数の定義、積、商、合成関数の微分法は「関数の性質」が扱います。本単元では、これらを指数関数と対数関数へ適用します。ただし、逆関数の微分法は、対数関数の導関数を求めるために本単元が合成関数の微分法から導きます。

第六に、本単元は、平均値の定理を証明しません。区間の全体で導関数が$0$である関数がその区間で定数になることを認めて用い、その証明は「ε-論法と基礎解析」の微分の定義と平均値の定理が扱います。

教育課程上の位置づけと参考年次

本単元の参考年次は高等学校2年です。これは本単元を読み始める時期の目安であって、各国の課程における学年配当ではありません。日本の課程では、有理数乗、指数関数、対数関数、常用対数が数学IIに、$e$と指数関数・対数関数の導関数が数学IIIに置かれ、後半は通常3年次に履修します。

本単元は、指数を実数へ広げる部分で、日本の課程が定める水準を意図的に上回ります。高等学校学習指導要領は、数学IIで有理数乗までを扱い、指数を実数まで拡張することについては「直観的に理解できる程度とする」と定めています。本単元は、有理数乗の変動を不等式で押さえ、有理数乗の列の極限として実数乗を定義します。ただし、B3 の記事内ですべてを厳密化するのではなく、差の評価から収束を結論する手続き、$e$を定める極限の存在と一意性、および平均値の定理の系の三件を後続の記事へ委ねます。その精密な扱いは「ε-論法と基礎解析」が扱います。

$e$をどこから定めるかも国によって異なります。極限から定める課程、導関数が自分自身に等しくなるという性質から定める課程、微積分に入る前の段階で既知の定数として導入する課程があります。本単元は、$a^{x}$の微分に現れる極限が$1$になる底として$e$を定めます。

本単元の内容と各国の教育課程との主な対応は、次のとおりです。以下は、内容の配置を比較するための参考です。

• 日本 — 高等学校学習指導要領（平成30年告示）の「数学II 指数関数・対数関数」と「数学III 微分法」に主として対応します。同要領は、指数を実数まで拡張することに触れる場合には直観的に理解できる程度とし、$e$は数学IIIではじめて扱って、極限$\lim_{h \to 0}(1+h)^{1/h}$が収束することを認めたうえで、その値を$e$と定めます。導関数は、対数関数について先に求め、そこから指数関数の導関数を導きます。
• 韓国 — 2022改訂教育課程では、指数関数と対数関数を選択科目「代数（대수）」で扱い、$e$と指数関数・対数関数の導関数を微積分に関する選択科目で扱います。
• 中国 — 普通高中课程方案和语文等学科课程标准（2017年版2020年修订）の必修課程「函数」にある指数関数・対数関数と、選択性必修課程「一元函数导数及其应用」に主として対応します。
• 米国 — 連邦教育省の説明のとおり、教育基準は州が定めます。比較資料として Common Core State Standards for Mathematicsを用いると、 High Schoolの「Algebra」における対数を用いた式の扱いと、「Functions」における指数関数のモデルに対応します。同標準は$e$を底の一つとして挙げるにとどめ、導関数は含みません。微積分に入る前の課程で$e$を既知の定数として導入し、導関数はAdvanced Placementの微積分科目が扱います。
• フランス — lycée général et technologiqueの数学課程では、 premièreの専門数学における指数関数と、terminaleにおける自然対数に主として対応します。同課程は、$f'=f$と$f(0)=1$をともに満たす関数がただ一つ存在することを認めて、その関数を指数関数と定義し、自然対数をその逆関数として導入します。したがって、指数関数の導関数が対数関数の導関数より先に定まります。
• ドイツ — 各州が学校課程を定め、 KMKが全国共通の到達基準を示します。 KMKの一般大学入学資格向け数学基準では、内容領域「Funktionaler Zusammenhang（関数的な関係）」および解析（Analysis）の指数関数に関する内容に対応します。同基準は$e$の導入の仕方を定めておらず、州や教科書によって、導関数が自分自身に等しくなる底として導入する扱いと、極限として導入する扱いの双方があります。
• イギリス（England） — GCE AS and A level mathematicsの「Exponentials and logarithms」と「Differentiation」に主として対応します。同資格は、$y=e^{x}$の導関数が自分自身に等しいことを$e$の特徴づけとして扱い、自然対数を$e^{x}$の逆関数として導入します。