§E2.9コンパクト距離空間

証明.$X$の開集合$U$に対して、$K\cap U$は制限距離に関して開である。実際、$x\in K\cap U$のまわりで$B_d(x,r)\subseteq U$となる$r>0$をとると、§E2.1 命題 2.2により$B_{d_K}(x,r)=K\cap B_d(x,r)\subseteq K\cap U$となる。したがって、$K$がコンパクトならば、$X$の開集合による$K$の被覆を$K$と交わらせて得る開被覆を有限化することにより、(2)が従う。

逆に(2)を仮定し、$K$の開被覆$\mathcal V$をとる。各$V\in\mathcal V$に対して

とおく。$U_V$は$X$の開集合であり、$K\cap U_V\subseteq V$である。$V$が制限距離に関して開であることと開球の等式により、各$x\in V$に対して上の合併に現れる球があるので、$V\subseteq K\cap U_V$でもある。ゆえに$K\cap U_V=V$である。族$(U_V)_{V\in\mathcal V}$は$K$を覆うから、その有限部分族が$K$を覆う。対応する有限個の$V$が$K$を覆い、$K$はコンパクトである。▨

証明.$F$を覆う$X$の開集合族に開集合$X\setminus F$を加えると、$X$の開被覆となる。その有限部分被覆から$X\setminus F$を除いても$F$は覆われる。命題 1.4により$F$はコンパクトである。▨

証明.$f(X)$を覆う$Y$の開集合族をとる。§E2.4 定理 2.1により、それらの逆像は$X$の開被覆をなす。有限個の逆像が$X$を覆うので、対応する有限個の開集合が$f(X)$を覆う。命題 1.4により$f(X)$はコンパクトである。▨

証明.定理 1.6により$K=f(X)$は空でないコンパクト部分集合である。$K$が最大元をもたないと仮定すると、各$s\in K$に対して$s<t$となる$t\in K$が存在するから、$\{(-\infty,t):t\in K\}$は$K$を覆う。命題 1.4により、有限個の$t_1,\ldots,t_m\in K$で

となる。$K\ne\emptyset$より$m\ge1$であり、$\max_i t_i\in K$がこの包含に反する。したがって$K$は最大元をもつ。写像$t\mapsto-t$は連続であり、§E2.4 命題 2.4により$-f$は連続である。$-f$にも同じ議論を適用すると、$K$は最小元ももつ。像の最大元と最小元の逆像をとれば、$f$の最大点と最小点を得る。▨

証明. 共通部分が空であると仮定すると、$\{X\setminus F_n:n\in\NN\}$は$X$の可算開被覆である。$F_1\ne\emptyset$より$X\ne\emptyset$なので、その有限部分被覆に現れる添字の最大値$N$をとることができる。$F_n$が減少することから$X=X\setminus F_N$となり、$F_N\ne\emptyset$に反する。▨

証明.$X$の任意の点列は、点列コンパクト性により収束する部分列をもち、§E2.5 命題 1.2により Cauchy 部分列をもつ。したがって、§E2.8 定理 2.1が与える Cauchy 部分列による特徴づけから$X$は全有界である。▨

証明.$X=\emptyset$ならば、$\delta=1$に対して Lebesgue 数の条件が空虚に成り立つ。$X\ne\emptyset$とし、Lebesgue 数が存在しないと仮定する。各$n\in\NN$に対して、$B(x_n,1/n)$が$\mathcal U$のどの元にも含まれないような点$x_n\in X$をとる。点列コンパクト性により、$x_{n_k}\to x$を満たす部分列と点$x\in X$が存在する。$x\in U_0$を満たす$U_0\in\mathcal U$をとると、§E2.2 定義 1.1により、ある$r>0$に対して$B(x,r)\subseteq U_0$となる。$1/n_k<r/2$かつ$d(x_{n_k},x)<r/2$を満たす$k$をとれば、三角不等式により

となる。これは$x_{n_k}$の選び方に反する。したがって、$\mathcal U$は Lebesgue 数$\delta$をもつ。$S\subseteq B(y,\delta)$の場合には、定義 2.2から$B(y,\delta)\subseteq U$を満たす$U\in\mathcal U$が存在するため、$S\subseteq U$となる。▨

証明.(1)$\Rightarrow$(4)を示す。可算開被覆も開被覆であるから、コンパクト性の定義により有限部分被覆をもつ。

(4)$\Rightarrow$(2)を示す。$X$が可算コンパクトであると仮定し、$(x_n)_{n\ge1}$を$X$の点列とする。各$n\in\NN$に対して

とおく。$x_n\in T_n\subseteq F_n$であるから各$F_n$は空でない。§E2.2 命題 2.3により$F_n$は$T_n$を含む最小の閉集合であり、$T_{n+1}\subseteq T_n\subseteq F_n$であるから$F_{n+1}\subseteq F_n$である。したがって$(F_n)_{n\ge1}$は空でない閉集合の減少列であり、補題 1.8により$x\in\bigcap_{n\ge1}F_n$を満たす点$x\in X$が存在する。

$N\in\NN$と$\varepsilon>0$をとる。$x\in F_N=\overline{T_N}$であるから、§E2.2 命題 2.6により$B(x,\varepsilon)\cap T_N\ne\emptyset$である。すなわち、$n\ge N$かつ$d(x_n,x)<\varepsilon$を満たす$n\in\NN$が存在する。そこで

と定める。前段を$N=1$と$\varepsilon=1$に適用すると第一の集合は空でなく、$N=n_k+1$と$\varepsilon=1/(k+1)$に適用すると第二の集合も空でないから、これらの最小値は存在する。$(n_k)$は狭義単調増加であるから、§E2.3 定義 2.1により$(x_{n_k})$は$(x_n)$の部分列である。任意の$\varepsilon>0$に対して$1/K<\varepsilon$を満たす$K\in\NN$をとれば、$k\ge K$のとき

であるから$x_{n_k}\to x$となる。ゆえに$X$は点列コンパクトである。

(2)$\Rightarrow$(3)を示す。 Cauchy 列$(x_n)$は、点列コンパクト性により$x_{n_k}\to x$を満たす部分列をもつ。任意の$\varepsilon>0$に対して、Cauchy 性から$m,n\ge N$ならば$d(x_m,x_n)<\varepsilon/2$となる$N$をとる。§E2.3 補題 2.2と部分列の収束により、$n_k\ge N$かつ$d(x_{n_k},x)<\varepsilon/2$となる$k$をとる。$n\ge N$ならば

であるから$x_n\to x$となる。ゆえに$X$は完備である。また、系 2.1により$X$は全有界である。

(3)$\Rightarrow$(1)を示す。$X$が完備かつ全有界であるとし、$\mathcal U$を$X$の開被覆とする。$X=\emptyset$の場合には空の部分族が有限部分被覆である。$X\ne\emptyset$とする。$X$の任意の点列は、§E2.8 定理 2.1により Cauchy 部分列をもち、その Cauchy 部分列は$X$の完備性により$X$の点へ収束する。ゆえに$X$は点列コンパクトであり、補題 2.3により$\mathcal U$の Lebesgue 数$\delta>0$が存在する。$X$の全有界性により

を満たす有限個の点$x_1,\ldots,x_m\in X$が存在する。各$i$について、$B(x_i,\delta)\subseteq U_i$を満たす$U_i\in\mathcal U$をとれば、$U_1,\ldots,U_m$は$X$の有限部分被覆である。

四条件は一巡の含意で結ばれたから、互いに同値である。▨

証明.定理 3.1 (1)$\Leftrightarrow$(3)より従う。▨

証明.$Y$は完備であるから、系 3.3により$Y$のコンパクト性は全有界性と同値である。§E2.8 命題 3.3により、$Y$の全有界性は$X$の全有界性と同値である。▨

証明.$K=\emptyset$ならば、$K$は有界かつ閉である。$K\ne\emptyset$とし、$a\in K$をとる。$X$の開集合族$\{B(a,n)\mid n\in\NN\}$は$K$を覆うため、命題 1.4により有限部分被覆をもつ。現れる正の整数の最大値を$N$とすれば、$K\subseteq B(a,N)$である。したがって$K$は有界である。

$x\in X\setminus K$をとる。集合族

は$K$を覆う$X$の開集合族である。命題 1.4により、中心が$y_1,\ldots,y_m$である有限部分被覆をとり、$r=\min_i d(x,y_i)/2>0$とおく。任意の$z\in K$に対して、ある$i$が$d(z,y_i)<d(x,y_i)/2$を満たすため、

となる。したがって$B(x,r)\cap K=\emptyset$である。各$x\in X\setminus K$のまわりに$X\setminus K$に含まれる開球が存在するので、$X\setminus K$は開集合であり、$K$は閉集合である。▨

証明.$K$がコンパクトならば、系 4.1により$K$は有界かつ閉である。$K$が有界かつ閉であると仮定する。$K=\emptyset$ならば$K$はコンパクトであるため、$K\ne\emptyset$とする。$\R^n$は§E2.5 命題 4.2により完備であり、$K$は閉集合であるから、§E2.5 定理 3.2により$K$は完備である。

$K$は有界であるから、§E2.8 定義 1.1により$K\subseteq B(a,R)$を満たす$a\in\R^n$と$R>0$が存在する。$T=\max_{1\le i\le n}|a_i|+R>0$とおくと、§E2.1 公式 4.2の$d_\infty\le d_2$により、$x\in K$と各$i$に対して$|x_i|\le|a_i|+|x_i-a_i|\le|a_i|+d_2(x,a)<T$である。ゆえに$K\subseteq[-T,T]^n$となる。任意の$\varepsilon>0$に対して、$2nT/m<\varepsilon$を満たす正の整数$m$をとる。各$\boldsymbol k=(k_1,\ldots,k_n)\in\{0,1,\ldots,m-1\}^n$に対して

と定める。中心$c(\boldsymbol k)$は有限個である。任意の$x\in[-T,T]^n$と各$i$に対して、

を満たす$k_i\in\{0,1,\ldots,m-1\}$を選ぶことができる。このとき、$|x_i-c(\boldsymbol k)_i|\le T/m$であるから、§E2.1 公式 4.2の$d_2\le d_1$により

となる。したがって$[-T,T]^n$は全有界であり、§E2.8 命題 3.1により$K$も全有界である。系 3.3により$K$はコンパクトである。▨

証明.$X=\emptyset$ならば、任意の$\varepsilon>0$に対して$\delta=1$とすれば一様連続性の条件が空虚に成り立つ。$X\ne\emptyset$とし、$\varepsilon>0$をとる。各$a\in X$に対して§E2.2 補題 1.2により$B(f(a),\varepsilon/2)$は$Y$の開集合であり、§E2.4 定理 2.1により$f^{-1}(B(f(a),\varepsilon/2))$は$X$の開集合である。$a$はこの集合に属するから、

は$X$の開被覆である。

$X$はコンパクトであるから、定理 3.1により点列コンパクトであり、補題 2.3により$\mathcal U$の Lebesgue 数$\delta>0$が存在する。$x,x'\in X$が$d_X(x,x')<\delta$を満たすとし、$S=\{x,x'\}$とおく。$x\in S$であり$S\subseteq B(x,\delta)$であるから、補題 2.3により$S\subseteq U$を満たす$U\in\mathcal U$が存在する。$U=f^{-1}(B(f(a),\varepsilon/2))$となる$a\in X$をとれば$f(x),f(x')\in B(f(a),\varepsilon/2)$であるから、三角不等式により

となる。したがって§E2.4 定義 3.1に従って$f$は一様連続である。▨

証明.(1)を示す。§E1.14 定義 4.1に従って$z=x+iy$、$w=s+it$と書くと、実数の計算により

である。両辺は非負であるから$|zw|=|z||w|$となる。§E1.14 命題 4.2により$\C$は体であるから、$w\ne0$は逆元$w^{-1}$をもつ。§E1.14 定義 4.1の商の定義式は$zw^{-1}$の成分表示に一致するので$w\cdot(z/w)=z$であり、$|w||z/w|=|z|$より$|z/w|=|z|/|w|$を得る。

(2)を示す。§E1.14 定義 4.1に従って$z=x+iy$、$w=s+it$と書くと、成分表示から

が成り立つ。複素数を$\R^2$の点とみなすと、Euclid 距離の三角不等式により

となる。$z=(z-w)+w$にこの不等式を適用すると$|z|-|w|\le|z-w|$を得る。$z$と$w$を交換した不等式と合わせれば、逆三角不等式が従う。

(3)を示す。任意の実数$\varphi$と非負整数$k$に対して

が成り立つ。$k=0$の場合は直接に従い、$k$から$k+1$への移行は§D1.24 定理 2.1が与える加法定理から従うため、数学的帰納法を適用することができる。$\xi=a+ib$と書き、§D1.24 定義 4.4により$\theta_0=\arccos a\in[0,\pi]$とおく。§D1.24 系 2.2と$a^2+b^2=1$により、$\sin\theta_0=b$または$\sin\theta_0=-b$である。前者では$\theta=\theta_0$、後者では$\theta=-\theta_0$とおけば、$\xi=\cos\theta+i\sin\theta$となる。$u=\cos(\theta/m)+i\sin(\theta/m)$とおくと、$|u|=1$であり、上の等式により$u^m=\xi$となる。▨

証明.(1)を示す。写像$p$は、定数写像と恒等写像から複素数の和と積を有限回合成して得られるから連続である。さらに、補題 6.1 (2)が与える逆三角不等式から$z\mapsto|p(z)|$も連続である。

(2)を示す。$n\ge1$かつ$a_n\ne0$とし、$C=\sum_{k=0}^{n-1}|a_k|$とおく。$R\ge1$、$C/R<|a_n|/2$、および$(|a_n|/2)R^n>M$を同時に満たす$R$をとる。$|z|\ge R$ならば

▨

証明.$p(z)=a_nz^n+\cdots+a_0$とし、$n\ge1$、$a_n\ne0$とする。補題 6.2を$M=|p(0)|+1$に適用し、$|z|\ge R$ならば$|p(z)|>|p(0)|+1$となる$R>0$をとる。閉円板

は有界である。また、$D_R$は$\R^2$の Euclid 距離についての閉球であり、§E2.2 補題 2.5により閉集合である。したがって、定理 4.3により$D_R$はコンパクトである。補題 6.2と定理 1.7により、$|p|$は$D_R$上で最小値をとる。その最小点を$z_c$とする。$0\in D_R$である一方、$D_R$の外では$|p(z)|>|p(0)|$であるから、$z_c$は$\C$全体における$|p|$の最小点である。

$p(z_c)\ne0$と仮定する。$w=z-z_c$とおいて

と展開する。§E1.14 命題 4.2により$\C$は体であるから、各$a_k(z_c+w)^k$を$w$の冪について整理することができ、$w=0$を代入して$b_0=p(z_c)\ne0$、最高次の項を比べて$b_n=a_n\ne0$である。$b_m\ne0$を満たす最小の$m\in\{1,\ldots,n\}$をとり、

とおく。補題 6.1により$|\xi|=1$であり、$|u|=1$かつ$u^m=\xi$を満たす$u\in\C$が存在する。したがって$b_mu^m=-(b_0/|b_0|)|b_m|$となる。

$C=\sum_{j=m+1}^n|b_j|$とおき、

を満たす$r$をとる。$C=0$の場合には第三の条件は自動的に成り立つ。$w=ru$とすれば、

であり、

となる。ゆえに

を得る。これは$z_c$の最小性に反するため、$p(z_c)=0$である。▨