§D1.17リーマン積分の定義

証明.$P$に分割点$y$を一つ挿入し、$y\in(x_{k-1},x_k)$とする。$[x_{k-1},y]$と$[y,x_k]$における$f$の下限は、いずれも$[x_{k-1},x_k]$における下限$m_k$以上である。したがって、挿入後の二項が下和へ与える寄与は

以上であり、下和は減少しない。同様に、二つの小区間における上限はいずれも$M_k$以下であるから、上和は増加しない。$L(f,Q)\leq U(f,Q)$は各小区間における下限と上限の大小から従う。$Q\setminus P$は有限集合であるから、その点を一つずつ挿入して以上の不等式を有限回適用すれば主張を得る。▨

証明.$P$と$Q$の分割点の和集合を昇順に並べると、$[a,b]$の分割$R$を得る。補題 1.3により

である。▨

証明.$f$の下界$m$と上界$M$をとる。すべての分割$P$について$m(b-a)\leq L(f,P)\leq U(f,P)\leq M(b-a)$であり、分割全体は空でないから、実数の完備性によって下積分と上積分は実数として存在する。分割$Q$を任意に固定する。補題 1.4により、すべての分割$P$について$L(f,P)\leq U(f,Q)$である。したがって$U(f,Q)$は下和全体の上界であり、

である。この不等式はすべての$Q$について成り立つので、左辺は上和全体の下界である。再び実数の完備性を用いると、左辺は上和全体の最大下界以下である。▨

証明. 下積分は下和全体の上限であり、上積分は上和全体の下限である。したがって、任意の分割$P$に対して

である。▨

証明.(2)$\Rightarrow$(1)を示す。命題 2.2と上積分・下積分の定義により、条件を満たす分割$P$に対して

である。この不等式が任意の$\varepsilon>0$について成り立つので、上積分と下積分は一致する。

(1)$\Rightarrow$(2)を示す。共通の積分値を$I$とする。上限と下限の定義により、$L(f,P_1)>I-\varepsilon/2$を満たす分割$P_1$と、$U(f,P_2)<I+\varepsilon/2$を満たす分割$P_2$が存在する。共通細分$P=P_1\cup P_2$をとると、補題 1.3により

である。したがって$U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon$である。▨

証明.§D1.13 定理 2.1を区間$[a,b]$へ適用すると、$f$は最大値と最小値をとるので有界である。さらに、§D1.15 定理 3.1により$f$は$[a,b]$で一様連続である。任意の$\varepsilon>0$をとる。一様連続性により、ある$\delta>0$が存在して、$x,y\in[a,b]$かつ$|x-y|<\delta$ならば

となる。§D1.4 系 2.2により、$\Delta=(b-a)/n<\delta$となる正の整数$n$をとり、$[a,b]$を$n$等分する分割$P:a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$を考える。

各小区間$[x_{i-1},x_i]$において、§D1.13 定理 2.1により$f$は最大値$M_i$と最小値$m_i$をとる。その二つの値をとる点をそれぞれ$u_i,v_i$とすると、$|u_i-v_i|\leq\Delta<\delta$である。したがって$M_i-m_i=|f(u_i)-f(v_i)|<\varepsilon/(b-a)$である。よって

となる。定理 2.4により、$f$はリーマン可積分である。▨

証明.$\varepsilon>0$をとる。定理 2.4により、$U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon$を満たす$[a,b]$の分割$P$が存在する。$Q=P\cup\{c\}$とおくと、補題 1.3により$U(f,Q)-L(f,Q)<\varepsilon$である。$Q$が$[a,c]$と$[c,b]$に誘導する分割をそれぞれ$Q_1,Q_2$とすると、

右辺の二項はいずれも非負であるから、それぞれが$\varepsilon$未満である。両制限は有界であり、定理 2.4により可積分である。▨

証明. 実数$\alpha$と分割$P$に対して、$\alpha\geq0$ならば

であり、$\alpha<0$ならば

である。負の定数倍では各小区間の上限と下限が交換されるためである。したがって、すべての$\alpha$について

また、各小区間で上限と下限を比較すると、

である。

$\varepsilon>0$をとり、$\eta=\varepsilon/(1+|\lambda|+|\mu|)$とおく。$f$と$g$の可積分性から、Darboux 差が$\eta$未満である分割$P_f,P_g$をとる。共通細分$P=P_f\cup P_g$に対して前の不等式を適用すると、

定理 2.4により$\lambda f+\mu g$は可積分である。

$I_f=\int_a^b f$とおく。$\alpha\geq0$の場合、下和の上限と上和の下限をとると

である。$\alpha<0$の場合は上限と下限が交換され、

となる。したがって$\int_a^b\alpha f=\alpha I_f$である。

最後に、$f$と$g$を任意の可積分関数とする。下和をそれぞれの積分値へ任意に近づけ、二つの分割の共通細分をとると、$L(f+g,P)\geq L(f,P)+L(g,P)$と命題 2.3から

を得る。同様に上和を用いると逆向きの不等式を得る。したがって積分は和を保ち、この加法性を$\lambda f$と$\mu g$へ適用すれば主張の等式を得る。▨

証明. 連続関数はリーマン可積分である。したがって$u,v$に定理 3.2を適用すればよい。▨

証明. 任意の分割$P$とその各小区間において、$f\leq g$から$\inf f\leq\inf g$である。したがって$L(f,P)\leq L(g,P)$である。下和全体の上限をとると

を得る。▨

証明. 小区間$I$における$f$の上限と下限を$M_I,m_I$とする。任意の$x,y\in I$について

であるから、$I$における$|f|$の上限と下限の差は$M_I-m_I$以下である。したがって任意の分割$P$に対して

$f$の可積分性と定理 2.4により、$|f|$も可積分である。

点ごとに$-|f|\leq f\leq|f|$である。定理 3.2と命題 3.4により

したがって主張の不等式が成り立つ。▨

証明.命題 3.1により、$f$の二つの制限は可積分である。$[a,c]$の分割$P_1$と$[c,b]$の分割$P_2$の和集合$P=P_1\cup P_2$は$[a,b]$の分割であり、

である。

$\varepsilon>0$をとる。二つの制限の下和がそれぞれの積分値との差$\varepsilon/2$未満になるように$P_1,P_2$を選ぶ。上の下和の等式と命題 2.3により

である。同様に、二つの制限の上和を用いると

である。$\varepsilon$は任意であるから主張の等式を得る。▨

証明.$a=b=c$の場合は三つの積分がすべて$0$である。三点のうちちょうど二点が一致する場合は、零長積分が$0$であることと定義 3.7の反対称性から従う。三点が相異なる場合、それらを$r<s<t$と並べる。定理 3.6により

である。定義 3.7による$\int_y^x f=-\int_x^y f$をこの等式へ適用すると、三点$r,s,t$を$a,b,c$へ割り当てる六通りのいずれについても、$a$から$b$を経て$c$へ進む二つの積分の和は$a$から$c$への積分に等しくなる。▨

証明.$a=b$の場合、向き付き積分の定義により左辺と右辺はともに$0$である。

$a<b$の場合、定数関数$M$の任意の上和と下和はともに$M(b-a)$であるから、その積分値も$M(b-a)$である。定理 3.5と命題 3.4により

である。$a>b$の場合は定義 3.7により積分の符号が反転するが絶対値は変わらず、正向きの区間$[b,a]$に対する評価から

を得る。▨