§E20.43多項式の非負性と平方和証明書

証明.$p=\sum_{i=1}^mf_i^2$ならば、すべての$a\in\R^n$に対して$p(a)=\sum_{i=1}^mf_i(a)^2\ge0$であるから、(1)が成り立つ。$p=\sum_{t=1}^md_tg_t^2$が有理平方和表示ならば、$d_t\ge0$であるから$p=\sum_{t=1}^m(\sqrt{d_t}\,g_t)^2$であり、(2)が成り立つ。(3)の両辺はともに$f_1^2g_1^2+f_1^2g_2^2+f_2^2g_1^2+f_2^2g_2^2$に展開される。▨

証明.$\alpha\in\N^n$に対して$|\alpha|=\alpha_1+\cdots+\alpha_n$とおく。$\N^n$上の全順序$\prec$を、$|\alpha|<|\beta|$であるか、$|\alpha|=|\beta|$かつ$\beta-\alpha$の零でない最初の成分が正であるとき$\alpha\prec\beta$と定める。$|\alpha+\gamma|-|\beta+\gamma|=|\alpha|-|\beta|$かつ$(\beta+\gamma)-(\alpha+\gamma)=\beta-\alpha$であるから、$\alpha\prec\beta$ならば任意の$\gamma\in\N^n$に対して$\alpha+\gamma\prec\beta+\gamma$である。$f_i=\sum_\alpha c_{i\alpha}x^\alpha$と書く。

(2)を示す。零でない$f_i$に対して、$c_{i\alpha}\ne0$を満たす$\alpha$の$\prec$に関する最大元を$\mu_i$とする。$\prec$はまず$|\cdot|$を比べるので$|\mu_i|=\deg f_i$である。$\mu_i$の最大元を$\mu$とし、$I=\{i\mid f_i\ne0,\ \mu_i=\mu\}$とおく。$I$は空でなく、$|\mu|=e$である。$f_i\ne0$とし、$\alpha+\beta=2\mu$かつ$c_{i\alpha}c_{i\beta}\ne0$とする。$\alpha\preceq\mu_i\preceq\mu$かつ$\beta\preceq\mu$である。$\alpha\prec\mu$ならば$\alpha+\beta\prec\mu+\beta\preceq2\mu$となり、$\alpha+\beta=2\mu$と両立しない。したがって$\alpha=\mu$であり、同様に$\beta=\mu$である。よって$f_i^2$の$x^{2\mu}$の係数は$c_{i\mu}^2$であり、$c_{i\mu}\ne0$は$i\in I$と同値である。ゆえに$\sum_{i=1}^mf_i^2$の$x^{2\mu}$の係数は$\sum_{i\in I}c_{i\mu}^2>0$である。一方、$f_i^2$に現れる単項式$x^{\alpha+\beta}$は$|\alpha+\beta|\le2\deg f_i\le2e$を満たす。$|2\mu|=2e$であるから$\sum_{i=1}^mf_i^2$の次数は$2e$である。$n=1$のとき$\mu=e$であり、$I$は次数$e$の$f_i$の添字の集合であるから、最高次係数$\sum_{i\in I}c_{ie}^2$は正である。

(1)を示す。すべての$f_i$が零ならば$\sum_{i=1}^mf_i^2=0$である。ある$f_i$が零でないならば、(2)の証明により$\sum_{i=1}^mf_i^2$の$x^{2\mu}$の係数は正であり、$\sum_{i=1}^mf_i^2\ne0$である。

(3)を示す。$\sum_{i=1}^mf_i^2=0$ならば(1)によりすべての$f_i$は零である。そうでなければ、ある$f_i$は零でなく、(2)により$2e\le2d$である。▨

証明.$f=\sum_{k=0}^mc_kx^k$と書く。$k\ge1$に対して$x^k-a^k=(x-a)\sum_{j=0}^{k-1}a^jx^{k-1-j}$であるから、$h=\sum_{k=1}^mc_k\sum_{j=0}^{k-1}a^jx^{k-1-j}$とおけば$f-f(a)=\sum_{k=1}^mc_k(x^k-a^k)=(x-a)h$である。▨

証明.条件 (b)$\Rightarrow$(c)は平方和の定義から、条件 (c)$\Rightarrow$(a)は補題 1.2 (1)から従う。

条件 (a)$\Rightarrow$(b)を示す。$p=0$ならば$p=0^2+0^2$である。零でない非負多項式$p$について、$\deg p$に関する帰納法で$p$が二平方の和であることを示す。$\deg p=0$ならば$p$は定数$c$であり、$c=p(0)\ge0$かつ$c\ne0$であるから$p=(\sqrt c)^2+0^2$である。$\deg p\ge1$とし、次数が$\deg p$より小さい零でない非負多項式は二平方の和であると仮定する。

$p$が実根$a$をもつ場合を考える。補題 2.1により$p=(x-a)q$を満たす$q\in\R[x]$が存在する。$q(a)\ne0$と仮定する。$q$は連続であるから、ある$\delta>0$が存在して、$|s|<\delta$を満たすすべての$s\in\R$に対して$q(a+s)q(a)>0$である。このとき$q(a+\delta/2)\,q(a-\delta/2)>0$であり、

である。一方で$p$は非負であるから$p(a+\delta/2)\,p(a-\delta/2)\ge0$であり、二つの不等式は両立しない。したがって$q(a)=0$であり、補題 2.1により$q=(x-a)r$を満たす$r\in\R[x]$が存在して$p=(x-a)^2r$である。$p\ne0$であるから$r\ne0$であり、$\deg r=\deg p-2$である。$b\ne a$を満たす$b\in\R$に対して$r(b)=p(b)/(b-a)^2\ge0$であり、$r$は連続であるから$r(a)=\lim_{b\to a}r(b)\ge0$である。したがって$r$は零でない非負多項式であり、帰納法の仮定により$r=A_1^2+B_1^2$を満たす$A_1,B_1\in\R[x]$が存在する。このとき$p=\bigl((x-a)A_1\bigr)^2+\bigl((x-a)B_1\bigr)^2$である。

$p$が実根をもたない場合を考える。$p$を複素係数多項式とみなすと、$\deg p\ge1$であるから§E5.9 系 4.2により$p(w)=0$を満たす$w\in\C$が存在する。$p$は実根をもたないから、$u,v\in\R$、$v\ne0$により$w=u+\mathrm iv$と書かれる。$p$の係数は実数であるから$p(\bar w)=\overline{p(w)}=0$である。補題 2.1により$p=(x-w)q_1$を満たす$q_1\in\C[x]$が存在し、$0=p(\bar w)=(\bar w-w)\,q_1(\bar w)$と$\bar w-w=-2\mathrm iv\ne0$から$q_1(\bar w)=0$である。再び補題 2.1により$q_1=(x-\bar w)r$を満たす$r\in\C[x]$が存在する。$s=(x-w)(x-\bar w)=(x-u)^2+v^2\in\R[x]$とおくと$p=sr$である。$r$の各係数を複素共役で置き換えた多項式を$\bar r$とすると、$p$と$s$の係数は実数であるから$p=s\bar r$であり、$s(r-\bar r)=0$である。$\C[x]$の零でない二元の積は零でないから、$s\ne0$より$r=\bar r$、すなわち$r\in\R[x]$である。$p\ne0$であるから$r\ne0$であり、$\deg r=\deg p-2$である。すべての$b\in\R$に対して$s(b)\ge v^2>0$であるから$r(b)=p(b)/s(b)\ge0$である。したがって$r$は零でない非負多項式であり、帰納法の仮定により$r=A_1^2+B_1^2$を満たす$A_1,B_1\in\R[x]$が存在する。補題 1.2 (3)を$f_1=x-u$、$f_2=v$、$g_1=A_1$、$g_2=B_1$に適用すると

である。▨

証明.定理 2.2により$p=A^2+B^2$を満たす$A,B\in\R[x]$が存在し、補題 1.3 (2)により$\deg p$は偶数であり、最高次係数は正である。

$a\in\R$とし、零でない二平方の和$p=A^2+B^2$について、$\deg p$に関する帰納法で$p=(x-a)^{2k}g$、$g(a)\ne0$を示す。$p(a)\ne0$ならば$k=0$、$g=p$とすればよい。$p(a)=0$ならば$A(a)^2+B(a)^2=0$から$A(a)=B(a)=0$であり、補題 2.1により$A=(x-a)A_1$、$B=(x-a)B_1$を満たす$A_1,B_1\in\R[x]$が存在する。$p_1=A_1^2+B_1^2$とおくと$p=(x-a)^2p_1$であり、$p_1\ne0$、$\deg p_1=\deg p-2$である。帰納法の仮定により$p_1=(x-a)^{2k}g$、$g(a)\ne0$を満たす$k$と$g$が存在し、$p=(x-a)^{2k+2}g$である。▨

証明.(1)を示す。$z^{\mathsf T}Qz=\sum_{\alpha,\beta\in\mathcal M_d}Q_{\alpha\beta}x^{\alpha+\beta}$であるから、$x^\gamma$の係数は与えた和であり、$|\gamma|>2d$のときこの和は空である。$p$は零であるか次数$2d$以下であるから、$|\gamma|>2d$に対して$p_\gamma=0$である。多項式の等式は全係数の一致であるから、主張が従う。

(2)を示す。

必要性を示す。$p=\sum_{i=1}^mf_i^2$とする。補題 1.3 (3)により零でない各$f_i$の次数は$d$以下であるから、$f_i=c_i^{\mathsf T}z$を満たす$c_i\in\R^{\mathcal M_d}$が存在する。$Q=\sum_{i=1}^mc_ic_i^{\mathsf T}$は実対称行列であり、$z^{\mathsf T}Qz=\sum_{i=1}^m(c_i^{\mathsf T}z)^2=p$である。すべての$v\in\R^{\mathcal M_d}$に対して$v^{\mathsf T}Qv=\sum_{i=1}^m(c_i^{\mathsf T}v)^2\ge0$であるから、$Q$は半正定値である。

十分性を示す。$Q$を半正定値な実対称行列とし、$p=z^{\mathsf T}Qz$とする。$\mathcal M_d$の元の個数を$N$とし、$\mathcal M_d$に全順序を一つ固定する。$\R^{\mathcal M_d}$上の二次形式$v\mapsto v^{\mathsf T}Qv$に§E3.40 定理 1.1を適用すると、$\R^{\mathcal M_d}$の基底$u_1,\dots,u_N$と整数$s,r\ge0$が存在して、すべての$y\in\R^N$に対して

が成り立つ。$r\ge1$ならば$u_{s+1}^{\mathsf T}Qu_{s+1}=-1<0$となり、$Q$が半正定値であることと両立しないから、$r=0$である。$u_1,\dots,u_N$を列とする行列を$U$とし、$U^{-1}$の最初の$s$行からなる行列を$C$とする。$v\in\R^{\mathcal M_d}$に対して$y=U^{-1}v$とおけば$v=\sum_ky_ku_k$であるから、$v^{\mathsf T}Qv=\sum_{k=1}^sy_k^2=v^{\mathsf T}C^{\mathsf T}Cv$である。実対称行列$Q'$は等式$2v^{\mathsf T}Q'w=(v+w)^{\mathsf T}Q'(v+w)-v^{\mathsf T}Q'v-w^{\mathsf T}Q'w$により二次形式$v\mapsto v^{\mathsf T}Q'v$から定まるので、$Q=C^{\mathsf T}C$である。$C$の第$k$行を$c_k^{\mathsf T}$とすると$p=z^{\mathsf T}C^{\mathsf T}Cz=\sum_{k=1}^s(c_k^{\mathsf T}z)^2$であり、$p$は平方和である。▨

証明.(1)を示す。$(a,b)\in\R^2$とし、$s,t\ge0$を$s^3=a^4b^2$、$t^3=a^2b^4$を満たす実数とする。$(st)^3=(a^2b^2)^3$かつ$st\ge0$、$a^2b^2\ge0$であるから$st=a^2b^2$である。実数$s,t,r$に対する恒等式

を$r=1$に適用すると、$s+t+1>0$であるから$M(a,b)=s^3+t^3+1-3st\ge0$である。

(2)を示す。$\lambda\in\R$とし、$M-\lambda=\sum_{i=1}^mf_i^2$を満たす$m\in\N$と$f_1,\dots,f_m\in\R[x,y]$が存在すると仮定する。$M-\lambda$は次数$6$の多項式であるから、補題 1.3 (3)により零でない各$f_i$の次数は$3$以下である。$\mathcal M_3=\{\alpha\in\N^2\mid\alpha_1+\alpha_2\le3\}$とし、$f_i=\sum_{\alpha\in\mathcal M_3}c_{i\alpha}x^{\alpha_1}y^{\alpha_2}$と書く。$f_i^2=\sum_{\alpha,\beta\in\mathcal M_3}c_{i\alpha}c_{i\beta}x^{\alpha_1+\beta_1}y^{\alpha_2+\beta_2}$であるから、$\gamma\in\N^2$に対して$\sum_{i=1}^mf_i^2$の$x^{\gamma_1}y^{\gamma_2}$の係数は

である。$M-\lambda$の係数と比べると、$s_{(6,0)}=s_{(4,0)}=s_{(2,0)}=0$、$s_{(0,6)}=s_{(0,4)}=s_{(0,2)}=0$、$s_{(2,2)}=-3$である。

$\alpha+\beta=(6,0)$を満たす$\alpha,\beta\in\mathcal M_3$は$\alpha=\beta=(3,0)$だけであるから、$0=s_{(6,0)}=\sum_ic_{i(3,0)}^2$であり、すべての$i$に対して$c_{i(3,0)}=0$である。$\alpha+\beta=(4,0)$を満たす$\alpha,\beta\in\mathcal M_3$は$\{\alpha,\beta\}=\{(1,0),(3,0)\}$と$\alpha=\beta=(2,0)$だけであるから、$c_{i(3,0)}=0$より$0=s_{(4,0)}=\sum_ic_{i(2,0)}^2$であり、すべての$i$に対して$c_{i(2,0)}=0$である。$\alpha+\beta=(2,0)$を満たす$\alpha,\beta\in\mathcal M_3$は$\{\alpha,\beta\}=\{(0,0),(2,0)\}$と$\alpha=\beta=(1,0)$だけであるから、$c_{i(2,0)}=0$より$0=s_{(2,0)}=\sum_ic_{i(1,0)}^2$であり、すべての$i$に対して$c_{i(1,0)}=0$である。$x$と$y$を入れ替えた同じ議論を$s_{(0,6)}$、$s_{(0,4)}$、$s_{(0,2)}$に順に適用すると、すべての$i$に対して$c_{i(0,3)}=c_{i(0,2)}=c_{i(0,1)}=0$である。

したがって、$c_{i\alpha}\ne0$を満たす$\alpha$は$E=\{(0,0),(1,1),(2,1),(1,2)\}$に属し、各$f_i$は

の形である。$s_{(2,2)}$の和のうち$\alpha\notin E$または$\beta\notin E$の項は零であり、$\alpha+\beta=(2,2)$を満たす$\alpha,\beta\in E$は$\alpha=\beta=(1,1)$だけであるから、$s_{(2,2)}=\sum_ic_{i(1,1)}^2\ge0$である。これは$s_{(2,2)}=-3$と両立しない。したがって$M-\lambda$は平方和でなく、$\lambda=0$とすれば$M$は平方和でない。▨

証明.(1)は$e_j^{\mathsf T}Re_j=R_{jj}$から従う。(2)は$v^{\mathsf T}Rv=\tau^2R_{jj}+2\tau R_{lj}+R_{ll}=-(R_{ll}+1)+R_{ll}=-1$から従う。

(3)を示す。$d\ell\ell^{\mathsf T}+\tilde S$の$(j,j)$成分は$d=R_{jj}$である。$i\in J'$に対して、$(i,j)$成分は$d\ell_i$であり、$R_{jj}>0$ならば$d\ell_i=R_{ij}$、$R_{jj}=0$ならば$d\ell_i=0=R_{ij}$である。$i,k\in J'$に対して、$(i,k)$成分は$d\ell_i\ell_k+S_{ik}=R_{ik}$である。したがって$R=d\ell\ell^{\mathsf T}+\tilde S$であり、すべての$v\in\R^J$に対して

である。$S$が半正定値ならば、$d\ge0$であるから$R$は半正定値である。$w\in\R^{J'}$とし、$v$を主張のとおりに定めると$\ell^{\mathsf T}v=v_j+\sum_{i\in J'}\ell_iw_i=0$であるから、$v^{\mathsf T}Rv=w^{\mathsf T}Sw$である。したがって$R$が半正定値ならば$S$は半正定値である。▨