§E20.21適応的数値積分

証明.$m$と$M$は§D1.13 定理 2.1により存在する。§E20.20 定理 2.4 (1)を$h=H/2$として適用すると、$(H/2)^5/90=H^5/2880$から第一の等式を満たす$\xi_1\in(\alpha,\beta)$を得る。$S^{(2)}_J(f)$は§E20.20 定義 1.1の複合 Simpson 則の$N=4$、$h=H/4$の場合であり、§E20.20 定理 2.4 (2)を適用すると、$H(H/4)^4/180=H^5/46080$から第二の等式を満たす$\xi_2\in(\alpha,\beta)$を得る。$15E_J(f)=\bigl(\int_\alpha^\beta f-S^{(1)}_J(f)\bigr)-\bigl(\int_\alpha^\beta f-S^{(2)}_J(f)\bigr)$に二つの等式を代入し、$2880\cdot16=46080$、$46080\cdot15=691200$を用いると第三の等式を得る。

(2)は、(1)の第二の等式と$\lvert f^{(4)}(\xi_2)\rvert\le M_4$から従う。

(1)により

であり、$\lvert f^{(4)}(\xi_1)-f^{(4)}(\xi_2)\rvert\le M-m$から(3)を得る。

(4)を示す。$f^{(4)}$は$J$上で符号が一定であり、$\lvert f^{(4)}(\xi_2)\rvert\ge\mu>0$であるから、(1)の第二の等式により$\int_\alpha^\beta f-S^{(2)}_J(f)\ne0$である。第二と第三の等式により

であり、分子の絶対値は$16(M-m)$以下、分母の絶対値は$15\mu$以上である。▨

証明.$\eta:=\min\{1/2,\ 15\varepsilon/64\}$と置く。$f^{(4)}$は$x$で連続であるから、$\delta>0$が存在して、$\lvert y-x\rvert<\delta$を満たす任意の$y\in[a,b]$で$\lvert f^{(4)}(y)-f^{(4)}(x)\rvert\le\eta\lvert f^{(4)}(x)\rvert$が成り立つ。$x\in J$、$|J|<\delta$ならば$J$の各点$y$は$\lvert y-x\rvert<\delta$を満たすから、$J$上の$f^{(4)}$の最小値$m$と最大値$M$は$f^{(4)}(x)\pm\eta\lvert f^{(4)}(x)\rvert$の間にある。$\eta\le1/2$であるから、$m$と$M$は$f^{(4)}(x)$と同じ符号をもち、$\min\{\lvert m\rvert,\lvert M\rvert\}\ge\lvert f^{(4)}(x)\rvert/2$、$M-m\le2\eta\lvert f^{(4)}(x)\rvert$である。命題 1.2 (4)により、比と$1$の差の絶対値は

以下である。▨

証明.§D1.17 定理 3.6を$K-1$回適用して$\int_a^bf=\sum_{k=1}^K\int_{t_{k-1}}^{t_k}f$を得る。したがって$\int_a^bf-\sum_kQ_k=\sum_k\bigl(\int_{t_{k-1}}^{t_k}f-Q_k\bigr)$であり、三角不等式により左辺の絶対値は$\sum_k\tau_k\le\tau$以下である。▨

証明.(1)を更新の回数に関する帰納法で示す。初期状態では現在の区間族は$\{[a,b]\}$、評価点は$x_{[a,b],0},\dots,x_{[a,b],4}$の$5$点であり、$n=5$である。規則定義 3.2 (1)、定義 3.2 (2)、定義 3.2 (3)は区間を$\mathcal P$から$\mathcal A$または$\mathcal U$へ移すか停止するだけであり、現在の区間族、評価点、$n$を変えない。規則定義 3.2 (4)は現在の区間族の$J=[\alpha,\beta]$を$J^-$、$J^+$に替える。$J^-$と$J^+$の内部は交わらず、和集合は$J$であり、$J^\pm$は$[a,b]$から$J$より一回多い二等分で得られる。$H:=|J|$と置くと、$x_{J^-,i}=\alpha+iH/8$、$x_{J^+,i}=\alpha+(4+i)H/8$（$0\le i\le4$）であるから、

である。新しい四点は$J$の内部にあり、$x_{J,0},\dots,x_{J,4}$のいずれとも異なる。現在の区間族の$J$以外の区間は$J$と端点でしか交わらないから、それらの区間の点は新しい四点のいずれとも異なる。帰納法の仮定により、更新後の評価点の集合は更新後の区間族の各区間の五点の和集合であり、その個数は$4k+1+4=4(k+1)+1$であって、$n$も$4$増える。

(2)を示す。規則定義 3.2 (4)は$n+4\le n_{\max}$のときだけ実行され、$n$を$4$増やすから、各段階で$n=5+4D'\le n_{\max}$である。ここで$D'$はそれまでの実行回数である。したがって$D\le\lfloor(n_{\max}-5)/4\rfloor$である。規則定義 3.2 (4)は$\mathcal P$の長さを$1$増やし、規則定義 3.2 (1)と定義 3.2 (2)は$1$減らす。$\mathcal P$の長さは初めに$1$であり、負にならないから、後者の二規則の実行回数は$D+1$以下である。規則定義 3.2 (3)の実行は停止を伴い、高々一回である。したがって更新の回数は$2D+2$以下である。

(3)を示す。$\mathcal P$が空になって停止したとき、現在の区間族は$\mathcal A\cup\mathcal U=\mathcal K$である。規則定義 3.2 (3)で停止したとき、現在の区間族は$\mathcal A\cup\mathcal U\cup\{J\}\cup\mathcal P=\mathcal K$である。いずれの場合も(1)により$\mathcal K$は$[a,b]$の分割をなし、評価回数は$n=4\lvert\mathcal K\rvert+1$である。▨

証明.命題 3.3 (3)により$\mathcal K$は$[a,b]$の分割をなし、$Q=\sum_{K\in\mathcal K}S^{(2)}_K(f)$である。各$K\in\mathcal K$について、命題 1.2 (2)を$M_4=B(K)$として適用すると$\bigl\lvert\int_Kf-S^{(2)}_K(f)\bigr\rvert\le B(K)|K|^5/46080$である。補題 2.1を、各$K$の$\tau_K:=B(K)|K|^5/46080$と、全体の許容誤差$\sum_{K\in\mathcal K}\tau_K$に適用して(1)を得る。終了理由が「受理」ならば$\mathcal U=\emptyset$であり、$\mathcal K=\mathcal A$の各区間$K$は上界による判定を満たすから、$\tau_K\le\tau|K|/(b-a)$である。$\mathcal K$は$[a,b]$の分割であるから$\sum_K\tau_K\le\tau$であり、(1)から(2)が従う。▨

証明. 上界による判定を満たさない区間$J$は$B(J)|J|^4>46080\tau/(b-a)$を満たし、$B(J)\le M_4$から$|J|^4>\lambda^4$、すなわち$|J|>\lambda$である。したがって判定を満たさない区間は$\mathcal D$に属し、規則定義 3.2 (2)は実行されない。$[a,b]$以外の区間は判定を満たさない区間の二等分で現れるから、その長さは$\lambda/2$より大きい。規則定義 3.2 (4)または定義 3.2 (3)の条件が調べられる区間$J$は判定を満たさず、$|J|>\lambda$であるから$J^\pm$の長さは$\lambda/2$より大きい。現在の区間族を$k$個の区間とすると、$J$を$J^-$、$J^+$に替えた$k+1$個の区間は$[a,b]$の分割をなし（命題 3.3 (1)）、いずれも長さが$\lambda/2$より大きいから、$(k+1)\lambda/2<b-a$である。$n=4k+1$であるから$n+4=4(k+1)+1<8(b-a)/\lambda+1\le n_{\max}$であり、規則定義 3.2 (3)は実行されない。したがって終了理由は「受理」である。規則定義 3.2 (4)が一度も実行されなければ評価回数は$5$である。一度以上実行されれば$\mathcal K$の各区間の長さは$\lambda/2$より大きく、$\lvert\mathcal K\rvert<2(b-a)/\lambda$であるから、命題 3.3 (3)により評価回数$4\lvert\mathcal K\rvert+1$は$8(b-a)/\lambda+1$より小さい。$8(b-a)/\lambda=8\bigl(M_4(b-a)^5/(46080\tau)\bigr)^{1/4}$である。▨

証明. 演習とする（問題 7.1）。▨