解の継続法 | 数値解析 I | 天游ヶ丘数理学院

定義 1.1. $n\in\NN$ 、 $U\subseteq\R^n\times\R$ を開集合、 $F\colon U\to\R^n$ を $C^1$ 級の写像とする。 $(x,\lambda)\in U$ について、 $D_xF(x,\lambda)\in\R^{n\times n}$ と $D_\lambda F(x,\lambda)\in\R^n$ を、任意の $h\in\R^n$ 、 $\mu\in\R$ について $D_xF(x,\lambda)h=DF(x,\lambda)(h,0)$ 、 $D_\lambda F(x,\lambda)\mu=DF(x,\lambda)(0,\mu)$ を満たす行列とする。 $(x_0,\lambda_0)\in U$ が $F(x_0,\lambda_0)=0$ を満たし、 $D_xF(x_0,\lambda_0)$ が正則であるとし、 $\Delta\lambda\in\R$ とする。

$\dot x_0\in\R^n$ を一次方程式 $D_xF(x_0,\lambda_0)\dot x_0=-D_\lambda F(x_0,\lambda_0)$ のただ一つの解とする。 $x_0+\Delta\lambda\,\dot x_0$ を刻み $\Delta\lambda$ の接線予測 (tangent predictor) といい、 $x_0$ を刻み $\Delta\lambda$ の零次予測 (trivial predictor) という。
$\lambda_1:=\lambda_0+\Delta\lambda$ と置き、 $\hat x$ を刻み $\Delta\lambda$ の接線予測または零次予測とする。開集合 $\{x\in\R^n\mid(x,\lambda_1)\in U\}$ 上の写像 $x\mapsto F(x,\lambda_1)$ に対する Newton 法を初期値 $\hat x$ から反復し、停止判定が出力した点を $x_1$ とする。 $(x_0,\lambda_0)$ から $(x_1,\lambda_1)$ を得るこの手続きを自然なパラメータによる継続 (natural parameter continuation) の一歩といい、その Newton 法の反復を修正 (corrector) という。

補題 1.2. $k\in\NN$ 、 $Q\subseteq\R^k\times\R$ を開集合、 $G\colon Q\to\R^k$ を $C^1$ 級の写像とし、 $(w,p)\in Q$ について $D_uG(w,p)\in\R^{k\times k}$ を、任意の $h\in\R^k$ について $D_uG(w,p)h=DG(w,p)(h,0)$ を満たす行列とする。 $p\in\R$ について $Q_p:=\{w\in\R^k\mid(w,p)\in Q\}$ と置き、 $G_p\colon Q_p\to\R^k$ を $G_p(w):=G(w,p)$ で定める。 $(u_0,p_0)\in Q$ について $M_0:=D_uG(u_0,p_0)$ が正則であるとし、 $\beta_0:=\lVert M_0^{-1}\rVert_2$ と置く。 $V\subseteq\R$ を $p_0$ の開近傍、 $u\colon V\to\R^k$ を連続写像とし、 $u(p_0)=u_0$ であり、任意の $p\in V$ について $(u(p),p)\in Q$ かつ $G(u(p),p)=0$ であるとする。 $r_0>0$ 、 $\delta_0>0$ 、 $\gamma\ge0$ が、 $\lvert p-p_0\rvert\le\delta_0$ を満たす任意の $p$ について $\overline B(u_0,2r_0)\subseteq Q_p$ と

\lVert D_uG(v,p)-D_uG(w,p)\rVert_2\le\gamma\lVert v-w\rVert_2\qquad(v,w\in\overline B(u_0,2r_0))

を満たすとし、 $\rho_1:=\min\{r_0,1/(4\beta_0\gamma)\}$ （ $\gamma=0$ のときは $\rho_1:=r_0$ ）と置く。 $\hat u\colon[p_0-\delta_0,p_0+\delta_0]\to\R^k$ を、 $p_0$ で連続で $\hat u(p_0)=u_0$ を満たす写像とする。このとき $\delta_1\in(0,\delta_0]$ が存在して $[p_0-\delta_1,p_0+\delta_1]\subseteq V$ であり、 $\lvert p-p_0\rvert\le\delta_1$ を満たす任意の $p$ について次が成り立つ。

$u(p)$ は $G_p$ の正則零点であって、半径 $r_0$ 、定数 $\gamma$ の Lipschitz 条件を満たし、 $\lVert D_uG(u(p),p)^{-1}\rVert_2\le2\beta_0$ である。 $G_p$ の $\overline B(u(p),\rho_1)$ に属する零点は $u(p)$ だけである。
$w_0:=\hat u(p)$ から $G_p$ に対する Newton 法の反復列 $(w_j)_{j\in\N}$ が定まり、すべての $j\in\N$ について $\lVert w_{j+1}-u(p)\rVert_2\le2\beta_0\gamma\lVert w_j-u(p)\rVert_2^2,\qquad\lVert w_{j+1}-u(p)\rVert_2\le\frac12\lVert w_j-u(p)\rVert_2$ が成り立ち、 $w_j\to u(p)$ である。

証明. $p\mapsto D_uG(u(p),p)$ は $V$ 上で連続であり、 $\hat u$ は $p_0$ で連続で $\hat u(p_0)=u(p_0)=u_0$ であるから、 $\delta_1\in(0,\delta_0]$ を、 $[p_0-\delta_1,p_0+\delta_1]\subseteq V$ であり、 $\lvert p-p_0\rvert\le\delta_1$ を満たす任意の $p$ について

\lVert u(p)-u_0\rVert_2\le r_0,\qquad\lVert D_uG(u(p),p)-M_0\rVert_2\le\frac1{2\beta_0},\qquad\lVert\hat u(p)-u(p)\rVert_2\le\rho_1

が成り立つようにとることができる。 $\lvert p-p_0\rvert\le\delta_1$ を満たす $p$ を固定する。 $G_p$ は開集合 $Q_p$ 上の写像であり、§E4.3 定理 1.1により $C^1$ 級で $DG_p(w)=D_uG(w,p)$ である。

$D:=D_uG(u(p),p)$ と置く。 $M_0^{-1}D=I-M_0^{-1}(M_0-D)$ であり、 $\lVert M_0^{-1}(M_0-D)\rVert_2\le\beta_0\cdot\frac1{2\beta_0}=\frac12$ であるから、§E4.7 補題 1.1により $M_0^{-1}D$ は正則であって、その逆行列のノルムは $2$ 以下である。 $D=M_0(M_0^{-1}D)$ は正則行列の積であるから正則であり、 $\lVert D^{-1}\rVert_2\le2\beta_0$ である。 $G_p(u(p))=0$ であるから、 $u(p)$ は $G_p$ の正則零点である。 $\lVert u(p)-u_0\rVert_2\le r_0$ と三角不等式から $\overline B(u(p),r_0)\subseteq\overline B(u_0,2r_0)\subseteq Q_p$ であり、仮定の不等式から $u(p)$ は半径 $r_0$ 、定数 $\gamma$ の Lipschitz 条件を満たす。

$\beta:=\lVert D^{-1}\rVert_2$ と置き、 $G_p$ 、 $u(p)$ について§E20.23 定義 2.1が定める半径を $\rho$ とする。 $\beta\le2\beta_0$ から $\rho=\min\{r_0,1/(2\beta\gamma)\}\ge\rho_1$ である（ $\gamma=0$ のときは $\rho=r_0=\rho_1$ ）。§E20.23 命題 3.1 (3)により $G_p$ の $\overline B(u(p),\rho)$ に属する零点は $u(p)$ だけであり、 $\overline B(u(p),\rho_1)\subseteq\overline B(u(p),\rho)$ であるから、(1)が従う。 $\lVert\hat u(p)-u(p)\rVert_2\le\rho_1\le\rho$ であるから、§E20.23 定理 2.5 (2)を $w_0=\hat u(p)$ に適用して、反復列が定まり、 $\lVert w_{j+1}-u(p)\rVert_2\le\beta\gamma\lVert w_j-u(p)\rVert_2^2\le2\beta_0\gamma\lVert w_j-u(p)\rVert_2^2$ と $\lVert w_{j+1}-u(p)\rVert_2\le\frac12\lVert w_j-u(p)\rVert_2$ と $w_j\to u(p)$ を得る。これで(2)は示された。▨

命題 1.3. $n$ 、 $U$ 、 $F$ 、 $D_xF$ 、 $D_\lambda F$ 、 $(x_0,\lambda_0)$ 、 $\dot x_0$ を定義 1.1のとおりとする。

$\lambda_0$ を含む開区間 $V$ 、 $x_0$ の開近傍 $B\subseteq\R^n$ 、 $C^1$ 級写像 $x\colon V\to B$ が存在して、 $x(\lambda_0)=x_0$ であり、任意の $\lambda\in V$ について $F(x(\lambda),\lambda)=0$ かつ $D_xF(x(\lambda),\lambda)$ は正則であり、 $(w,\lambda)\in U$ 、 $w\in B$ 、 $\lambda\in V$ 、 $F(w,\lambda)=0$ ならば $w=x(\lambda)$ である。さらに $x'(\lambda)$ は一次方程式 $D_xF(x(\lambda),\lambda)x'(\lambda)=-D_\lambda F(x(\lambda),\lambda)$ のただ一つの解であり、特に $x'(\lambda_0)=\dot x_0$ である。
$\Delta\lambda\to0$ のとき $\frac{\lVert x_0+\Delta\lambda\,\dot x_0-x(\lambda_0+\Delta\lambda)\rVert_2}{\lvert\Delta\lambda\rvert}\to0,\qquad\frac{\lVert x_0-x(\lambda_0+\Delta\lambda)\rVert_2}{\lvert\Delta\lambda\rvert}\to\lVert\dot x_0\rVert_2$ である。
$r_0>0$ 、 $\delta_0>0$ 、 $\gamma\ge0$ が、 $\lvert\lambda-\lambda_0\rvert\le\delta_0$ を満たす任意の $\lambda$ について $\overline B(x_0,2r_0)\times\{\lambda\}\subseteq U$ と $\lVert D_xF(v,\lambda)-D_xF(w,\lambda)\rVert_2\le\gamma\lVert v-w\rVert_2$ （ $v,w\in\overline B(x_0,2r_0)$ ）を満たすとし、 $\beta_0:=\lVert D_xF(x_0,\lambda_0)^{-1}\rVert_2$ と置く。このとき $\delta_1>0$ が存在して、 $\lvert\Delta\lambda\rvert\le\delta_1$ を満たす任意の $\Delta\lambda$ について、刻み $\Delta\lambda$ の接線予測と零次予測のいずれを初期値としても、写像 $x\mapsto F(x,\lambda_0+\Delta\lambda)$ に対する Newton 法の反復列 $(w_j)_{j\in\N}$ が定まり、 $x_*:=x(\lambda_0+\Delta\lambda)$ について $\lVert w_{j+1}-x_*\rVert_2\le2\beta_0\gamma\lVert w_j-x_*\rVert_2^2,\qquad\lVert w_{j+1}-x_*\rVert_2\le\frac12\lVert w_j-x_*\rVert_2$ がすべての $j\in\N$ で成り立ち、 $w_j\to x_*$ である。

証明.(1)を示す。§E20.22 命題 5.1を $k=n$ 、 $q=1$ 、 $Q=U$ 、 $G=F$ 、 $(u_0,p_0)=(x_0,\lambda_0)$ に適用すると、 $\lambda_0$ の開近傍 $V_0$ 、 $x_0$ の開近傍 $B$ 、 $C^1$ 級写像 $x\colon V_0\to B$ が得られ、§E20.22 命題 5.1 (1)の性質と、§E20.22 命題 5.1 (2)を $\dot p=1$ に適用した一次方程式が成り立つ。 $V$ を $\lambda_0$ を含み $V_0$ に含まれる開区間とし、 $x$ を $V$ へ制限する。 $\lambda=\lambda_0$ における一次方程式は $\dot x_0$ を定める方程式であり、その解はただ一つであるから $x'(\lambda_0)=\dot x_0$ である。

(2)を示す。 $x$ は $\lambda_0$ で微分可能で $x'(\lambda_0)=\dot x_0$ であるから、 $\bigl(x(\lambda_0+\Delta\lambda)-x_0-\Delta\lambda\,\dot x_0\bigr)/\Delta\lambda\to0$ である。これは第一の極限であり、 $\bigl(x_0-x(\lambda_0+\Delta\lambda)\bigr)/\Delta\lambda\to-\dot x_0$ とノルムの連続性から第二の極限を得る。

(3)を示す。 $\hat u_1(\lambda):=x_0+(\lambda-\lambda_0)\dot x_0$ と $\hat u_2(\lambda):=x_0$ は連続であり、 $\hat u_1(\lambda_0)=\hat u_2(\lambda_0)=x_0$ である。 $i=1,2$ について、補題 1.2を $k=n$ 、 $Q=U$ 、 $G=F$ 、 $(u_0,p_0)=(x_0,\lambda_0)$ 、(1)の $V$ と $x$ 、 $\hat u=\hat u_i$ に適用して得られる $\delta_1$ を $\delta_1^{(i)}$ とする。 $D_uG=D_xF$ であり、 $\delta_1:=\min\{\delta_1^{(1)},\delta_1^{(2)}\}$ について補題 1.2 (2)が主張の結論である。▨

例 2.1. $F\colon\R\times\R\to\R$ を $F(x,\lambda):=x^2-\lambda$ で定める。 $D_xF(x,\lambda)=2x$ 、 $D_\lambda F(x,\lambda)=-1$ であり、 $F^{-1}(0)=\{(x,x^2)\mid x\in\R\}$ である。

$(x_0,\lambda_0)\in F^{-1}(0)$ で $x_0\ne0$ ならば $D_xF(x_0,\lambda_0)=2x_0\ne0$ であり、定義 1.1の $\dot x_0$ は $\dot x_0=1/(2x_0)$ である。 $x_0\to0$ のとき $\lvert\dot x_0\rvert\to\infty$ である。
$(0,0)$ では $D_xF(0,0)=0$ である。 $\lambda<0$ ならば任意の $x$ について $F(x,\lambda)=x^2-\lambda>0$ であるから、 $0$ を含む開区間 $V$ 上の写像 $x$ で、任意の $\lambda\in V$ について $F(x(\lambda),\lambda)=0$ を満たすものは存在しない。
任意の $\varepsilon>0$ と $0<\lambda<\varepsilon^2$ について、 $\sqrt\lambda$ と $-\sqrt\lambda$ は $(-\varepsilon,\varepsilon)$ に属する $F(\cdot,\lambda)$ の相異なる零点である。したがって $(0,0)$ のどの近傍でも、零点は $\lambda$ から一意に定まらない。 $[0,\infty)$ 上の写像 $\lambda\mapsto\sqrt\lambda$ は $F(\sqrt\lambda,\lambda)=0$ を満たすが、 $\lambda\to+0$ のとき $(\sqrt\lambda-0)/\lambda=\lambda^{-1/2}\to\infty$ であり、 $0$ で右微分可能でない。

定義 3.1. $n\in\NN$ 、 $U\subseteq\R^{n+1}$ を開集合、 $F\colon U\to\R^n$ を $C^1$ 級の写像とし、全微分 $DF(z)$ を $n\times(n+1)$ 行列と同一視して、 $F$ の $z$ における拡大 Jacobi 行列 (augmented Jacobian matrix) という。 $\R^n\times\R$ を $\R^{n+1}$ と同一視して $z=(x,\lambda)$ と書くときは、 $DF(z)=\begin{pmatrix}D_xF(z)&D_\lambda F(z)\end{pmatrix}$ である。

$\operatorname{rank}DF(z)=n$ である $z\in U$ を $F$ の正則点 (regular point) といい、 $\operatorname{rank}DF(z)<n$ である $z\in U$ を $F$ の特異点 (singular point) という。
$z$ を $F$ の正則点とする。次元定理により $\ker DF(z)$ は一次元であり、そのノルム $1$ の元はちょうど二つあって、互いに他の $-1$ 倍である。そのそれぞれを $F$ の $z$ における単位接ベクトル (unit tangent vector) という。

命題 3.2. $n$ 、 $U$ 、 $F$ を定義 3.1のとおりとし、 $z_0\in F^{-1}(0)$ を $F$ の正則点とする。このとき $z_0$ の開近傍 $W\subseteq U$ 、 $0$ を含む開区間 $I$ 、単射な $C^1$ 級写像 $c\colon I\to W$ が存在して、次が成り立つ。

$c(0)=z_0$ であり、 $F^{-1}(0)\cap W=c(I)$ である。
任意の $\sigma\in I$ について、 $c(\sigma)$ は $F$ の正則点であり、 $c'(\sigma)\ne0$ かつ $\ker DF(c(\sigma))=\R c'(\sigma)$ である。

証明. $\operatorname{rank}DF(z_0)=n$ であるから、 $DF(z_0)$ の $n+1$ 個の列のうち $n$ 個で一次独立なものがある。残る列の番号を $j$ とし、線形同型 $P\colon\R^n\times\R\to\R^{n+1}$ を

P(w,p):=(w_1,\dots,w_{j-1},p,w_j,\dots,w_n)

で定める。 $Q:=P^{-1}(U)$ は開集合であり、 $G:=F\circ P\colon Q\to\R^n$ は§E4.3 定理 1.1により $C^1$ 級で、 $DG(w,p)(h,\mu)=DF(P(w,p))P(h,\mu)$ である。したがって、§E20.22 命題 5.1の記号で $D_uG(w,p)$ は $DF(P(w,p))$ から第 $j$ 列を除いた $n$ 次正方行列である。 $(w_0,p_0):=P^{-1}(z_0)$ と置くと $G(w_0,p_0)=0$ であり、 $D_uG(w_0,p_0)$ は正則である。§E20.22 命題 5.1を $k=n$ 、 $q=1$ として適用し、 $p_0$ の開近傍 $V_0$ 、 $w_0$ の開近傍 $B$ 、 $C^1$ 級写像 $u\colon V_0\to B$ をとる。 $V\subseteq V_0$ を $p_0$ を含む開区間とし、

I:=\{\sigma\in\R\mid p_0+\sigma\in V\},\qquad W:=P\bigl((B\times V)\cap Q\bigr),\qquad c(\sigma):=P\bigl(u(p_0+\sigma),p_0+\sigma\bigr)

と置く。 $I$ は $0$ を含む開区間、 $W$ は $z_0$ を含む $U$ の開集合であり、 $G(u(p),p)=0$ から $(u(p),p)\in Q$ であるので $c(I)\subseteq W$ である。 $c$ は $C^1$ 級であり、 $c(\sigma)$ の第 $j$ 成分は $p_0+\sigma$ であるから $c$ は単射である。

(1)を示す。 $u(p_0)=w_0$ から $c(0)=z_0$ であり、§E20.22 命題 5.1 (1)により $F(c(\sigma))=G(u(p_0+\sigma),p_0+\sigma)=0$ である。逆に $z\in F^{-1}(0)\cap W$ とし、 $(w,p):=P^{-1}(z)$ と置くと、 $w\in B$ 、 $p\in V$ 、 $(w,p)\in Q$ 、 $G(w,p)=0$ であるから、§E20.22 命題 5.1 (1)により $w=u(p)$ であり、 $z=c(p-p_0)$ である。

(2)を示す。 $\sigma\in I$ とし、 $p:=p_0+\sigma$ と置く。§E20.22 命題 5.1 (2)により $D_uG(u(p),p)$ は正則であるから、 $DF(c(\sigma))$ の第 $j$ 列以外の $n$ 列は一次独立であり、 $c(\sigma)$ は $F$ の正則点である。 $c'(\sigma)=P(u'(p),1)$ の第 $j$ 成分は $1$ であるから $c'(\sigma)\ne0$ である。 $I$ 上で $F\circ c=0$ であるから、§E4.3 定理 1.1により $DF(c(\sigma))c'(\sigma)=0$ である。 $\ker DF(c(\sigma))$ は一次元であるから $\ker DF(c(\sigma))=\R c'(\sigma)$ である。▨

定義 3.3. $n\in\NN$ 、 $U\subseteq\R^n\times\R$ を開集合、 $F\colon U\to\R^n$ を $C^1$ 級の写像とする。 $z_0\in F^{-1}(0)$ が $F$ の正則点であり、 $D_xF(z_0)$ が正則でないとき、 $z_0$ を $F$ の折返し点 (turning point) という。

命題 3.4. $n$ 、 $U$ 、 $F$ を定義 3.3のとおりとし、 $z_0\in F^{-1}(0)$ を $F$ の正則点、 $t=(t_x,t_\lambda)\in\R^n\times\R$ を $z_0$ における単位接ベクトルとする。

$z_0$ が折返し点であることと $t_\lambda=0$ は同値である。
命題 3.2の $c$ の最後の成分を $c_\lambda$ と書く。 $z_0$ が折返し点であることと $c_\lambda'(0)=0$ は同値である。

証明.(1)の証明は演習とする（問題 7.1）。命題 3.2 (2)により $c'(0)=\alpha t$ を満たす $\alpha\ne0$ があり、 $c_\lambda'(0)=\alpha t_\lambda$ であるから、(2)は(1)から従う。▨

注意 3.5. 折返し点の定義は $c_\lambda'(0)=0$ だけを課し、 $c_\lambda$ が $0$ で極値をとることを課さない。例 2.1の $F(x,\lambda)=x^2-\lambda$ では、 $c(\sigma)=(\sigma,\sigma^2)$ について $c_\lambda$ は $0$ で狭義の極小をとる。 $F(x,\lambda):=x^3-\lambda$ では、 $DF(0,0)=\begin{pmatrix}0&-1\end{pmatrix}$ であるから $(0,0)$ は折返し点であり、 $c(\sigma)=(\sigma,\sigma^3)$ について $c_\lambda$ は $0$ で極値をとらない。この $F$ では、各 $\lambda$ について $F(\cdot,\lambda)$ の零点は $\lambda^{1/3}$ だけであり、 $\lambda\mapsto\lambda^{1/3}$ は $0$ で微分可能でない。

定理 4.1. $n$ 、 $U$ 、 $F$ を定義 3.1のとおりとし、 $z\in U$ 、 $w\in\R^{n+1}$ とする。 $e_{n+1}$ を $\R^{n+1}$ の第 $n+1$ 標準基底ベクトルとし、 $n+1$ 次正方行列

M(z,w):=\begin{pmatrix}DF(z)\\w^{\mathsf T}\end{pmatrix}

を考える。

$z$ が $F$ の特異点ならば、任意の $w$ について $M(z,w)$ は正則でない。
$z$ が $F$ の正則点であり、 $t$ が $z$ における単位接ベクトルであるとき、 $M(z,w)$ が正則であることと $w^{\mathsf T}t\ne0$ は同値である。特に $M(z,t)$ は正則であり、 $\lVert w\rVert_2=1$ かつ $\lVert w-t\rVert_2<\sqrt2$ ならば $M(z,w)$ は正則である。
$M(z,w)$ が正則ならば、 $z$ は $F$ の正則点であり、 $v:=M(z,w)^{-1}e_{n+1}$ は $w^{\mathsf T}v=1$ を満たす $\ker DF(z)$ の元であって、 $v/\lVert v\rVert_2$ は $z$ における単位接ベクトルである。

証明.(1)を示す。 $M(z,w)$ の最初の $n$ 行が張る部分空間の次元は $\operatorname{rank}DF(z)\le n-1$ であるから、 $\operatorname{rank}M(z,w)\le n<n+1$ であり、 $M(z,w)$ は正則でない。

(2)を示す。 $w^{\mathsf T}t\ne0$ とし、 $v\in\R^{n+1}$ が $M(z,w)v=0$ を満たすとする。 $DF(z)v=0$ であり、 $\ker DF(z)=\R t$ であるから、ある $\alpha\in\R$ について $v=\alpha t$ である。 $0=w^{\mathsf T}v=\alpha\,w^{\mathsf T}t$ から $\alpha=0$ であり、 $v=0$ である。正方行列 $M(z,w)$ の核は $\{0\}$ であるから、 $M(z,w)$ は正則である。逆に $w^{\mathsf T}t=0$ ならば、 $M(z,w)t=\bigl(DF(z)t,\,w^{\mathsf T}t\bigr)=0$ かつ $t\ne0$ であるから、 $M(z,w)$ は正則でない。 $t^{\mathsf T}t=1\ne0$ であるから $M(z,t)$ は正則である。 $\lVert w\rVert_2=1$ ならば $2w^{\mathsf T}t=\lVert w\rVert_2^2+\lVert t\rVert_2^2-\lVert w-t\rVert_2^2=2-\lVert w-t\rVert_2^2$ であり、 $\lVert w-t\rVert_2<\sqrt2$ のとき $w^{\mathsf T}t>0$ である。

(3)を示す。(1)により $z$ は $F$ の特異点でないから、正則点である。 $M(z,w)v=e_{n+1}$ は $DF(z)v=0$ かつ $w^{\mathsf T}v=1$ を意味する。特に $v\ne0$ であり、 $v/\lVert v\rVert_2$ は $\ker DF(z)$ のノルム $1$ の元であるから、 $z$ における単位接ベクトルである。▨

定義 4.2. $n$ 、 $U$ 、 $F$ を定義 3.1のとおりとし、 $M(z,w)$ と $e_{n+1}$ を定理 4.1のとおりとする。 $z_0\in U$ 、 $\lVert t_0\rVert_2=1$ を満たす $t_0\in\R^{n+1}$ 、 $\Delta s\in\R$ をとり、 $\tau\ge0$ と $k_{\max}\in\N$ を定める。

方程式 $t_0^{\mathsf T}(z-z_0)=\Delta s$ を、 $z_0$ 、 $t_0$ 、刻み $\Delta s$ の擬似弧長条件 (pseudo-arclength condition) という。 $H\colon U\to\R^{n+1}$ を $H(z):=\begin{pmatrix}F(z)\\t_0^{\mathsf T}(z-z_0)-\Delta s\end{pmatrix}$ で定める。 $H$ は $C^1$ 級であり、 $DH(z)=M(z,t_0)$ である。
$\hat z:=z_0+\Delta s\,t_0$ を予測点とし、 $H$ に対する Newton 法を $\hat z$ から反復する。残差判定 $\lVert H(z)\rVert_2\le\tau$ が $k_{\max}$ 回以内の反復で成り立ち、その点 $z_1$ で $M(z_1,t_0)$ が正則ならば、 $v:=M(z_1,t_0)^{-1}e_{n+1}$ 、 $t_1:=v/\lVert v\rVert_2$ と置いて $(z_1,t_1)$ と反復回数を出力し、そうでなければ失敗を出力する。 $(z_0,t_0)$ から $(z_1,t_1)$ を得るこの手続きを、刻み $\Delta s$ の擬似弧長法 (pseudo-arclength continuation) の一歩という。
$\Delta s>0$ とし、 $\Delta s_{\max}\ge\Delta s$ と $k_{\mathrm{low}}\in\N$ を定める。一歩が失敗を出力したときは、 $\Delta s$ を $\Delta s/2$ に替えて同じ $(z_0,t_0)$ から一歩をやり直す。一歩が $(z_1,t_1)$ を出力したときは、その反復回数が $k_{\mathrm{low}}$ 以下ならば $(z_1,t_1)$ からの次の一歩の刻みを $\min\{2\Delta s,\Delta s_{\max}\}$ とし、そうでなければ $\Delta s$ とする。

注意 4.3. $t_0^{\mathsf T}(\hat z-z_0)=\Delta s\,t_0^{\mathsf T}t_0=\Delta s$ であるから、擬似弧長条件を満たす $z\in\R^{n+1}$ の全体は、予測点 $\hat z=z_0+\Delta s\,t_0$ を通り $t_0$ に直交する超平面である。 $H$ の零点は $F^{-1}(0)$ とこの超平面の共通部分の点であり、修正はその点を求める反復である。 $H$ の零点 $z$ について、 $\Delta s$ は $z-z_0$ の $t_0$ 方向への符号付きの射影の長さであり、一般には $z_0$ から $z$ までの距離とも解曲線の弧長とも異なる。Cauchy–Schwarz の不等式から $\lvert\Delta s\rvert=\lvert t_0^{\mathsf T}(z-z_0)\rvert\le\lVert z-z_0\rVert_2$ である。 $F(x,\lambda):=x^2-\lambda$ 、 $z_0:=(0,0)$ 、 $t_0:=(1,0)$ では $DF(0,0)t_0=\begin{pmatrix}0&-1\end{pmatrix}t_0=0$ であり、 $H(x,\lambda)=(x^2-\lambda,\,x-\Delta s)$ の零点は $(\Delta s,\Delta s^2)$ だけである。 $\Delta s\ne0$ ならば $\lVert(\Delta s,\Delta s^2)\rVert_2=\lvert\Delta s\rvert\sqrt{1+\Delta s^2}>\lvert\Delta s\rvert$ であり、解曲線 $\sigma\mapsto(\sigma,\sigma^2)$ に沿う $(0,0)$ から $(\Delta s,\Delta s^2)$ までの弧長は $\int_0^{\lvert\Delta s\rvert}\sqrt{1+4\sigma^2}\,d\sigma>\lvert\Delta s\rvert$ である。

命題 4.4. $n$ 、 $U$ 、 $F$ を定義 3.1のとおりとし、 $M(z,w)$ と $e_{n+1}$ を定理 4.1のとおりとする。 $z_0\in F^{-1}(0)$ を $F$ の正則点、 $t_0$ を $z_0$ における単位接ベクトルとし、 $\Delta s\in\R$ について定義 4.2 (1)の $H$ を $H_{\Delta s}$ と書く。 $r_0>0$ 、 $\gamma\ge0$ が $\overline B(z_0,2r_0)\subseteq U$ と

\lVert DF(v)-DF(w)\rVert_2\le\gamma\lVert v-w\rVert_2\qquad(v,w\in\overline B(z_0,2r_0))

を満たすとし、 $\beta_0:=\lVert M(z_0,t_0)^{-1}\rVert_2$ 、 $\rho_1:=\min\{r_0,1/(4\beta_0\gamma)\}$ （ $\gamma=0$ のときは $\rho_1:=r_0$ ）と置く。このとき $0$ を含む開区間 $V$ 、 $C^1$ 級写像 $\zeta\colon V\to U$ 、 $[-s_1,s_1]\subseteq V$ を満たす $s_1>0$ が存在して、次が成り立つ。

$\zeta(0)=z_0$ 、 $\zeta'(0)=t_0$ であり、任意の $\Delta s\in V$ について $F(\zeta(\Delta s))=0$ かつ $t_0^{\mathsf T}(\zeta(\Delta s)-z_0)=\Delta s$ である。特に $\Delta s\to0$ のとき $\lVert z_0+\Delta s\,t_0-\zeta(\Delta s)\rVert_2/\lvert\Delta s\rvert\to0$ である。
$\lvert\Delta s\rvert\le s_1$ ならば、 $\zeta(\Delta s)$ は $H_{\Delta s}$ の正則零点であり、 $H_{\Delta s}$ の $\overline B(\zeta(\Delta s),\rho_1)$ に属する零点は $\zeta(\Delta s)$ だけである。さらに、予測点 $w_0:=z_0+\Delta s\,t_0$ から $H_{\Delta s}$ に対する Newton 法の反復列 $(w_j)_{j\in\N}$ が定まり、すべての $j\in\N$ について $\lVert w_{j+1}-\zeta(\Delta s)\rVert_2\le2\beta_0\gamma\lVert w_j-\zeta(\Delta s)\rVert_2^2,\qquad\lVert w_{j+1}-\zeta(\Delta s)\rVert_2\le\frac12\lVert w_j-\zeta(\Delta s)\rVert_2$ が成り立ち、 $w_j\to\zeta(\Delta s)$ である。
$\lvert\Delta s\rvert\le s_1$ ならば、 $\zeta(\Delta s)$ は $F$ の正則点であり、 $M(\zeta(\Delta s),t_0)$ は正則である。 $v:=M(\zeta(\Delta s),t_0)^{-1}e_{n+1}$ について、 $t_1:=v/\lVert v\rVert_2$ は $\zeta(\Delta s)$ における単位接ベクトルであり、 $t_0^{\mathsf T}t_1>0$ を満たす。

証明. $Q:=U\times\R$ と置き、 $G\colon Q\to\R^{n+1}$ を $G(z,s):=H_s(z)=\bigl(F(z),\,t_0^{\mathsf T}(z-z_0)-s\bigr)$ で定める。 $G$ は $C^1$ 級であり、§E20.22 命題 5.1の記号で $D_uG(z,s)=M(z,t_0)$ 、 $D_pG(z,s)=-e_{n+1}$ である。 $F(z_0)=0$ から $G(z_0,0)=0$ であり、定理 4.1 (2)により $M(z_0,t_0)$ は正則である。

(1)を示す。§E20.22 命題 5.1を $k=n+1$ 、 $q=1$ 、 $(u_0,p_0)=(z_0,0)$ に適用して得る写像を、 $0$ を含む開区間 $V$ へ制限したものを $\zeta$ とする。§E20.22 命題 5.1 (1)の $\zeta(0)=z_0$ と $G(\zeta(\Delta s),\Delta s)=0$ （ $\Delta s\in V$ ）は、 $\zeta(\Delta s)\in U$ 、 $F(\zeta(\Delta s))=0$ 、 $t_0^{\mathsf T}(\zeta(\Delta s)-z_0)=\Delta s$ を意味する。§E20.22 命題 5.1 (2)を $\dot p=1$ に適用すると、 $\zeta'(0)$ は $M(z_0,t_0)\zeta'(0)=e_{n+1}$ のただ一つの解である。 $M(z_0,t_0)t_0=\bigl(DF(z_0)t_0,\,t_0^{\mathsf T}t_0\bigr)=e_{n+1}$ であるから $\zeta'(0)=t_0$ である。 $\zeta$ は $0$ で微分可能であるから、 $\bigl(\zeta(\Delta s)-z_0-\Delta s\,t_0\bigr)/\Delta s\to0$ である。

(2)を示す。 $v,w\in\overline B(z_0,2r_0)$ と $s\in\R$ について $D_uG(v,s)-D_uG(w,s)$ は、 $DF(v)-DF(w)$ の下に零の行を加えた行列である。任意の $y\in\R^{n+1}$ についてその行列と $y$ の積のノルムは $\lVert(DF(v)-DF(w))y\rVert_2$ に等しいから、 $\lVert D_uG(v,s)-D_uG(w,s)\rVert_2=\lVert DF(v)-DF(w)\rVert_2\le\gamma\lVert v-w\rVert_2$ である。また、任意の $s$ について $Q_s=U\supseteq\overline B(z_0,2r_0)$ である。補題 1.2を $k=n+1$ 、 $(u_0,p_0)=(z_0,0)$ 、 $u=\zeta$ 、 $\delta_0=1$ 、 $\hat u(s):=z_0+st_0$ に適用する。 $M_0=M(z_0,t_0)$ であるから、補題の $\beta_0$ 、 $\rho_1$ はここでの $\beta_0$ 、 $\rho_1$ に一致する。補題が与える $\delta_1$ を $s_1$ とすると、 $G_{\Delta s}=H_{\Delta s}$ であるから、補題 1.2 (1)と補題 1.2 (2)が主張の結論である。

(3)を示す。 $\lvert\Delta s\rvert\le s_1$ とする。補題 1.2 (1)により $D_uG(\zeta(\Delta s),\Delta s)=M(\zeta(\Delta s),t_0)$ は正則である。定理 4.1 (3)により $\zeta(\Delta s)$ は $F$ の正則点であり、 $v$ は $t_0^{\mathsf T}v=1$ を満たす $\ker DF(\zeta(\Delta s))$ の元であって、 $t_1$ は単位接ベクトルである。 $t_0^{\mathsf T}t_1=1/\lVert v\rVert_2>0$ である。▨

例 4.5. $F(x,\lambda):=x^2-\lambda$ とする。 $DF(0,0)=\begin{pmatrix}0&-1\end{pmatrix}$ の階数は $1$ であり、 $D_xF(0,0)=0$ であるから、 $z_0:=(0,0)$ は折返し点である。 $t_0:=(1,0)$ は $z_0$ における単位接ベクトルであり、 $M(z_0,t_0)=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ は直交行列であるから $\beta_0=1$ である。任意の $\Delta s\in\R$ について $H_{\Delta s}(x,\lambda)=(x^2-\lambda,\,x-\Delta s)$ の零点は $(\Delta s,\Delta s^2)$ だけである。予測点 $w_0=(\Delta s,0)$ では $H_{\Delta s}(w_0)=(\Delta s^2,0)$ 、 $DH_{\Delta s}(w_0)=\begin{pmatrix}2\Delta s&-1\\1&0\end{pmatrix}$ であり、Newton 修正量 $d$ は $2\Delta s\,d_x-d_\lambda=-\Delta s^2$ 、 $d_x=0$ から $d=(0,\Delta s^2)$ である。したがって一回の反復で $w_1=(\Delta s,\Delta s^2)$ となる。 $M(w_1,t_0)v=e_2$ の解は $v=(1,2\Delta s)$ であり、 $t_1=(1,2\Delta s)/\sqrt{1+4\Delta s^2}$ は $w_1$ における単位接ベクトルである。 $(0,0)$ の近くでは例 2.1のとおり $\lambda$ を独立変数とする零点の表示が無いが、擬似弧長法の一歩は任意の $\Delta s$ について一回の反復で $H_{\Delta s}$ の零点に達する。

定義 5.1. $n$ 、 $U$ 、 $F$ を定義 3.1のとおりとする。 $z_0\in F^{-1}(0)$ について、 $\varepsilon>0$ と $C^1$ 級写像 $\gamma_1,\gamma_2\colon(-\varepsilon,\varepsilon)\to U$ が存在して、 $i=1,2$ について $F\circ\gamma_i=0$ かつ $\gamma_i(0)=z_0$ であり、 $\gamma_1'(0)$ と $\gamma_2'(0)$ が一次独立であるとき、 $z_0$ を $F$ の枝の交差点 (branch crossing point) という。

命題 5.2. $n$ 、 $U$ 、 $F$ を定義 3.1のとおりとし、 $M(z,w)$ を定理 4.1のとおりとする。

$z_0\in F^{-1}(0)$ 、 $\varepsilon>0$ とし、 $C^1$ 級写像 $\gamma\colon(-\varepsilon,\varepsilon)\to U$ が $F\circ\gamma=0$ と $\gamma(0)=z_0$ を満たすならば、 $\gamma'(0)\in\ker DF(z_0)$ である。特に $z_0$ が $F$ の正則点で $t$ が $z_0$ における単位接ベクトルならば、 $\gamma'(0)\in\R t$ である。
$F$ の枝の交差点 $z_0$ は $F$ の特異点であり、任意の $w\in\R^{n+1}$ について $M(z_0,w)$ は正則でない。 $\R^{n+1}=\R^n\times\R$ と書くとき、 $z_0$ は $F$ の折返し点でない。

証明.(1)は、 $F\circ\gamma=0$ に§E4.3 定理 1.1を適用した $DF(\gamma(0))\gamma'(0)=0$ と、正則点で $\ker DF(z_0)=\R t$ であることから従う。(2)を示す。定義 5.1の $\gamma_1'(0)$ 、 $\gamma_2'(0)$ は(1)により $\ker DF(z_0)$ に属する一次独立な二つのベクトルであるから、 $\dim\ker DF(z_0)\ge2$ であり、次元定理により $\operatorname{rank}DF(z_0)\le n-1$ である。定理 4.1 (1)により任意の $w$ について $M(z_0,w)$ は正則でない。折返し点は正則点であるから、 $z_0$ は折返し点でない。▨

例 5.3.

$F\colon\R^2\to\R$ を $F(x,\lambda):=x(x-\lambda)$ で定める。 $DF(x,\lambda)=\begin{pmatrix}2x-\lambda&-x\end{pmatrix}$ であり、 $F^{-1}(0)=\{(0,\lambda)\mid\lambda\in\R\}\cup\{(\lambda,\lambda)\mid\lambda\in\R\}$ である。 $\gamma_1(\sigma):=(0,\sigma)$ 、 $\gamma_2(\sigma):=(\sigma,\sigma)$ は $F\circ\gamma_i=0$ を満たし、 $\gamma_1'(0)=(0,1)$ と $\gamma_2'(0)=(1,1)$ は一次独立であるから、 $(0,0)$ は枝の交差点であり、 $DF(0,0)=\begin{pmatrix}0&0\end{pmatrix}$ である。
(1)の $F$ について、 $\lambda\ne0$ とする。 $DF(0,\lambda)=\begin{pmatrix}-\lambda&0\end{pmatrix}$ であるから $(0,\lambda)$ は正則点で、 $D_xF(0,\lambda)\ne0$ であるから折返し点でなく、 $t:=(0,1)$ は単位接ベクトルである。 $M((0,\lambda),t)=\begin{pmatrix}-\lambda&0\\0&1\end{pmatrix}$ であるから $\beta_0=\max\{1/\lvert\lambda\rvert,1\}$ である。 $S:=\begin{pmatrix}2&-1\\-1&0\end{pmatrix}$ と置くと $DF(z)=(Sz)^{\mathsf T}$ である。 $S$ は固有値 $1\pm\sqrt2$ の実対称行列であるから $\lVert DF(v)-DF(w)\rVert_2=\lVert S(v-w)\rVert_2\le(1+\sqrt2)\lVert v-w\rVert_2$ であり、任意の $r_0>0$ について命題 4.4の仮定は $\gamma=1+\sqrt2$ で成り立つ。 $0<\lvert\lambda\rvert\le1$ のとき、 $z_0=(0,\lambda)$ に対する命題 4.4の $\rho_1$ は $\rho_1\le\lvert\lambda\rvert/\bigl(4(1+\sqrt2)\bigr)$ を満たし、 $\lambda\to0$ のとき $0$ に収束する。
$F\colon\R^2\to\R$ を $F(x,\lambda):=x^3-\lambda^3$ で定める。 $DF(0,0)=\begin{pmatrix}0&0\end{pmatrix}$ であるから $(0,0)$ は特異点である。 $x^3=\lambda^3$ と $x=\lambda$ は同値であるから $F^{-1}(0)=\{(\sigma,\sigma)\mid\sigma\in\R\}$ であり、 $F\circ\gamma=0$ 、 $\gamma(0)=(0,0)$ を満たす $C^1$ 級写像 $\gamma$ は $\gamma(\sigma)=(a(\sigma),a(\sigma))$ の形であって、 $\gamma'(0)\in\R(1,1)$ である。したがって $(0,0)$ は枝の交差点でない。特異点であることから枝の交差点であることは従わない。

注意 5.4.補題 1.2と命題 4.4は、Newton 法を適用する方程式の零点で Jacobi 行列が正則であることを仮定する。枝の交差点 $z_*$ では命題 5.2 (2)により $M(z_*,w)$ はどの $w$ についても正則でないから、 $z_*$ を零点とする拡大系にこれらの主張は適用されない。交差点の近くの正則点から擬似弧長法の一歩を進めた点がどの枝に属するかは、本記事の主張からは定まらない。交差点における枝の選択（分岐理論）は本記事で扱わない。

例 6.1. $F(x,\lambda):=x^3-x+\lambda$ とする。 $F^{-1}(0)=\{(x,x-x^3)\mid x\in\R\}$ であり、 $D_xF(x,\lambda)=3x^2-1$ は $x=\pm1/\sqrt3$ で $0$ になる。 $g(x):=x-x^3$ は $(-\infty,-1/\sqrt3]$ と $[1/\sqrt3,\infty)$ で狭義単調減少、 $[-1/\sqrt3,1/\sqrt3]$ で狭義単調増加であり、 $g(\mp1/\sqrt3)=\mp2/(3\sqrt3)$ である。 $DF=\begin{pmatrix}3x^2-1&1\end{pmatrix}$ は零にならないから、 $(\mp1/\sqrt3,\mp2/(3\sqrt3))$ は二つの折返し点である。 $\lambda<-2/(3\sqrt3)$ ならば、 $(-\infty,1/\sqrt3]$ 上で $g\ge-2/(3\sqrt3)>\lambda$ であり、 $[1/\sqrt3,\infty)$ 上で $g$ は $2/(3\sqrt3)$ から狭義単調に減少して $-\infty$ へ向かい、 $g(1)=0>\lambda$ であるから、 $F(\cdot,\lambda)$ の実零点はただ一つで、 $1$ より大きい。

$(x_0,\lambda_0)=(-1.5,1.875)$ から、刻み $\Delta\lambda=-0.25$ の接線予測を初期値とする自然なパラメータによる継続を、修正の残差判定 $\lvert F\rvert\le10^{-12}$ で、IEEE binary64 の四則演算により実行した（値は小数第 6 位に丸めて示す）。 $\lambda=-0.375$ までの 9 歩の点は $x<-1/\sqrt3$ の枝にあり、9 歩目の点は $x=-0.651388$ 、 $D_xF=0.272918$ であった。10 歩目の $\lambda=-0.625<-2/(3\sqrt3)$ では、修正の反復列は $x=1.228339$ に収束した。上の議論により、この $\lambda$ では $F(\cdot,\lambda)$ の零点は $x>1$ の一つだけであるから、どの修正も $x<-1/\sqrt3$ の枝の点を出力することができない。

例 6.2. $F(x,\lambda):=x^2-\lambda$ 、 $z_0=(-1,1)$ 、 $t_0=(1,-2)/\sqrt5$ 、 $\Delta s=0.5$ 、 $\tau=10^{-12}$ 、 $k_{\max}=10$ として、定義 4.2 (2)の一歩を刻みを変えずに 8 回、IEEE binary64 の四則演算と平方根で繰り返した。 $k_j$ は $j$ 歩目の反復回数、 $\lvert F(z_j)\rvert$ は出力点での残差であり、値は小数第 6 位に丸めて示す。

$j$	$x_j$	$\lambda_j$	$t_j$	$\lvert F(z_j)\rvert$	$k_j$
0	$-1.000000$	$1.000000$	$(0.447214,-0.894427)$	$0$	—
1	$-0.751740$	$0.565113$	$(0.553810,-0.832643)$	$2.0\times10^{-15}$	3
2	$-0.425866$	$0.181362$	$(0.761288,-0.648414)$	$0$	4
3	$0.082198$	$0.006757$	$(0.986755,0.162220)$	$6.3\times10^{-16}$	4
4	$0.541768$	$0.293513$	$(0.678211,0.734867)$	$0$	3
5	$0.837334$	$0.701129$	$(0.512685,0.858577)$	$3.7\times10^{-14}$	3
6	$1.069874$	$1.144631$	$(0.423390,0.905948)$	$2.2\times10^{-16}$	3
7	$1.266708$	$1.604550$	$(0.367156,0.930159)$	$0$	3
8	$1.440027$	$2.073679$	$(0.328006,0.944676)$	$0$	3

折返し点 $(0,0)$ は $x_2<0<x_3$ を満たす $z_2$ と $z_3$ の間にあり、 $t_j$ の第二成分の符号は $j=2$ と $j=3$ の間で負から正に変わった。

例 6.3. $F(x,\lambda):=x^3-x+\lambda$ 、 $z_0=(-1.5,1.875)$ とする。 $DF(z_0)=\begin{pmatrix}5.75&1\end{pmatrix}$ であり、第一成分が正の単位接ベクトル $t_0=(1,-5.75)/\sqrt{34.0625}$ をとる。計算の条件と表の記号は例 6.2と同じである。

$\Delta s=0.3$ で刻みを変えずに 22 歩を進めた。22 歩すべてで $k_j\le4$ 、 $\lvert F(z_j)\rvert\le5.4\times10^{-13}$ であり、 $t_j$ の第二成分の符号は $j=8,9$ の間と $j=12,13$ の間で変わった。その前後の行を示す。

$j$	$x_j$	$\lambda_j$	$t_j$	$\lvert F(z_j)\rvert$	$k_j$
7	$-0.923702$	$-0.135576$	$(0.539746,-0.841828)$	$5.3\times10^{-13}$	3
8	$-0.707529$	$-0.353342$	$(0.893786,-0.448493)$	$5.6\times10^{-17}$	4
9	$-0.348073$	$-0.305902$	$(0.843596,0.536979)$	$5.6\times10^{-17}$	4
12	$0.327400$	$0.292306$	$(0.827531,0.561420)$	$0$	3
13	$0.630531$	$0.379851$	$(0.981934,-0.189225)$	$0$	4
14	$0.896705$	$0.175682$	$(0.577887,-0.816117)$	$5.1\times10^{-15}$	3
22	$1.542031$	$-2.124705$	$(0.160912,-0.986969)$	$4.4\times10^{-16}$	3

二つの符号の変化は、それぞれ例 6.1の折返し点 $x=-0.577350$ と $x=0.577350$ を挟む。22 歩の点列は $x_0=-1.5$ から $x_{22}=1.542031$ まで $x$ について単調に進み、 $j=9,\dots,16$ の点は、例 6.1の自然なパラメータによる継続の 9 歩目の $x=-0.651388$ と 10 歩目の $x=1.228339$ の間にある。

$\Delta s=0.5$ で刻みを変えずに進めると、7 歩目の点は $z_7=(0.292011,0.267111)$ 、 $t_7=(0.802232,0.597012)$ であり、8 歩目の一歩は失敗を出力した。その Newton 法の反復 $w_0,\dots,w_{10}$ で $\lVert H(w_i)\rVert_2$ は $0.119$ 以上 $0.775$ 以下にとどまった。解曲線の点 $(x,x-x^3)$ を擬似弧長条件に代入した $\varphi(x):=t_{7,x}(x-x_7)+t_{7,\lambda}(x-x^3-\lambda_7)-0.5$ は最高次係数が $-t_{7,\lambda}<0$ の三次式であり、極大点 $x=0.883883$ での値は $-0.069218<0$ であるから、実零点は $x=-1.784054$ の一つだけである。したがってこの $H$ の零点は予測点 $z_7+0.5\,t_7=(0.693127,0.565617)$ の近くに無い。定義 4.2 (3)に従って $\Delta s=0.25$ に替えると、一歩は 3 回の反復で $(0.520073,0.379406)$ 、 $t=(0.982681,0.185305)$ を出力した。

注意 6.4. 追跡した点列が $F^{-1}(0)$ の点で構成されていることから、 $F^{-1}(0)$ に他の点が無いことは従わない。 $F(x,\lambda):=(x^2-\lambda)(x^2-\lambda+1)$ とすると、 $F^{-1}(0)$ は互いに交わらない二つの曲線 $\lambda=x^2$ と $\lambda=x^2+1$ の和集合である。 $\lambda=x^2$ の点では $DF=\bigl(2(x^2-\lambda)+1\bigr)\begin{pmatrix}2x&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x&-1\end{pmatrix}$ である。例 6.2と同じ $z_0$ 、 $t_0$ 、 $\Delta s$ と計算の条件でこの $F$ を追跡すると、8 歩の点は小数第 6 位まで同じ表の点に一致し、 $\lvert x_j^2-\lambda_j\rvert\le1.4\times10^{-15}$ であった。 $\lambda=1$ の零点 $(0,1)$ は、この点列には現れない。

問題 7.1.命題 3.4 (1)の証明を完成させよ。

問題 7.2. $F\colon\R^2\to\R$ を $F(x,\lambda):=x^2+\lambda^2-1$ で定める。 $F^{-1}(0)$ のすべての点が $F$ の正則点であることと、 $F$ の折返し点が $(0,\pm1)$ であることを示せ。 $z_0=(0,1)$ 、 $t_0=(1,0)$ とし、 $\Delta s\in\R$ について定義 4.2 (1)の $H$ の零点をすべて求め、 $\lvert\Delta s\rvert>1$ ならば零点が無いことと、 $\lvert\Delta s\rvert<1$ ならば $(\Delta s,\sqrt{1-\Delta s^2})$ が $H$ の正則零点であることを示せ。

§E20.24解の継続法

1 自然なパラメータによる継続

2 折返し

3 拡大 Jacobi 行列と解曲線

4 擬似弧長法

5 枝の交差

6 数値例

7 演習

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