連続な問題を有限精度の計算機でどう解くか、という問いから始める。浮動小数点と条件数で「計算結果がどれだけ信用できるか」を測ったあと、二分法・ニュートン法による求根、補間・数値積分と進み、線形方程式・固有値問題を反復法で解く段階に至る。後半では常微分方程式の数値解法とその安定性、最適化の数値的手法までを見渡し、最後に計算実験そのものを再現可能な形で検証・可視化する視点で締めくくる。偏微分方程式の離散化は、その基本理論を学んだ後の発展段階に置く。
前提知識
- 近似の対象になる連続な計算（微積分の応用まで）: 関数・積分・微分方程式という、近似する対象そのものをすでに計算できることが前提になる。
- 行列計算と固有値問題（線形代数 I・線形代数 II）: 反復法で近似的に解く対象を、まず厳密な計算として扱えることが要る。
- 常微分方程式の厳密解（常微分方程式）: 数値解を比較する基準として、方程式の厳密解の挙動を先に知っている必要がある。
- 収束や誤差評価の言葉（実解析 II）: 誤差や収束を精密に述べるための解析の道具を使う。
学ぶ順序とねらい
| 段階 | 主題 | この段階で新たにできること |
|---|---|---|
| 誤差と近似 | 浮動小数点と前進・後退誤差・条件数、二分法・ニュートン法と収束判定、補間・多項式近似・数値積分 | 計算結果の桁を無批判に信じず、誤差と条件数を区別して評価する |
| 線形系・ODEと安定性 | 線形方程式・固有値問題の反復法、Euler法・Runge–Kutta法と局所・大域誤差、安定性・整合性・収束の関係 | 連続な問題を離散化したとき、解法が安定に収束する条件を見極める |
| 最適化と再現性 | 最適化の数値的アルゴリズム、計算実験の再現性・検証・可視化 | 離散化の結果を検証し、計算実験として再現可能な形にまとめる |
| 偏微分方程式への展開 | 偏微分方程式の差分法・有限要素法の入口 | PDE の古典解・弱解の理論を踏まえて、離散化の仮定と誤差評価の役割を読み分ける |
この先につながること
数値解析の技法は、凸最適化が扱う勾配法・内点法などのアルゴリズムを実際に動かし、収束を確かめる場面の基礎になる。
偏微分方程式の基本を学んだ後は、その方程式を差分法・有限要素法で近似する発展段階へ進める。
この単元で扱わないこと
高度な有限要素法や大規模計算（HPC）は扱わない。実務水準の実装や大規模並列計算の技法は、この単元が与える誤差・安定性・収束の基礎を踏まえたうえで、専門的な学習に委ねる。