§E20.17有理近似と初等関数の計算

証明.$0\le i<N$を満たす任意の$i$に対して$g_i=0$であるとする。このとき$g(x)=x^N\sum_{i=N}^dg_ix^{i-N}$であり、$M:=\sum_{i=N}^d\lvert g_i\rvert$、$\delta:=1$と置けば、$\lvert x\rvert<1$を満たす任意の$x$に対して$\lvert g(x)\rvert\le M\lvert x\rvert^N$が成り立つ。

逆に、$\delta>0$と$M\ge0$が不等式を満たし、$g_i\ne0$を満たす整数$0\le i<N$が存在すると仮定する。そのような$i$の最小値を$l$とし、$h(x):=\sum_{i=l+1}^dg_ix^{i-l-1}$（$l=d$ならば$h=0$）と置くと、$g(x)=x^l\bigl(g_l+xh(x)\bigr)$である。$0<\lvert x\rvert<\delta$ならば

であり、$N-l\ge1$であるから右辺は$x\to0$で$0$に収束する。多項式$h$は連続であるから左辺は$x\to0$で$\lvert g_l\rvert$に収束するので、$\lvert g_l\rvert\le0$が成り立つ。$\lvert g_l\rvert\le0$と$g_l\ne0$は両立しない。▨

証明.(1)を示す。$N:=m+n+1$、$T(x):=\sum_{i=0}^{N-1}c_ix^i$と置き、$[-\delta_0,\delta_0]\subset I$を満たす$\delta_0>0$をとる。$\lvert x\rvert\le\delta_0$を満たす各$x$に対して、§D1.16 定理 2.1を$a=0$と$n=N$に適用すると、$\lvert\xi\rvert\le\lvert x\rvert$を満たす実数$\xi$が存在して$f(x)-T(x)=f^{(N)}(\xi)x^N/N!$が成り立つ。$f^{(N)}$と$q$は$[-\delta_0,\delta_0]$で連続であるから、$L:=\max_{\lvert t\rvert\le\delta_0}\lvert f^{(N)}(t)\rvert$と$Q:=\max_{\lvert t\rvert\le\delta_0}\lvert q(t)\rvert$が存在し、$\lvert x\rvert\le\delta_0$ならば

である。三角不等式により、$(p,q)$が定義 1.1 条件 (c)を満たすことと、ある$\delta>0$と$M\ge0$が存在して$\lvert x\rvert<\delta$ならば$\lvert q(x)T(x)-p(x)\rvert\le M\lvert x\rvert^N$が成り立つことは同値である。$qT-p$は多項式であるから、補題 1.2により、後者は$qT-p$の$0\le i\le N-1$次の係数がすべて$0$であることと同値である。$0\le i\le N-1$に対して$qT$の$i$次の係数は$\sum_{j=0}^{\min\{i,n\}}b_jc_{i-j}$であり、$p$の$i$次の係数は$i\le m$ならば$a_i$、$m<i\le N-1$ならば$0$である。$m+1\le i\le m+n$に対しては、$b_0=1$であり、$j>i$ならば$c_{i-j}=0$であるから、$\sum_{j=0}^{\min\{i,n\}}b_jc_{i-j}=c_i+\sum_{j=1}^nc_{i-j}b_j$である。したがって係数が$0$である条件は二つの等式系に一致する。

(2)を示す。二つ目の等式系は、$i$を$m+i$に置き換えると$\sum_{j=1}^nc_{m+i-j}b_j=-c_{m+i}$（$1\le i\le n$）、すなわち$C_{m,n}(b_1,\dots,b_n)^{\mathsf T}=-(c_{m+1},\dots,c_{m+n})^{\mathsf T}$である。$n=0$ならばこの等式系は空であり、$C_{m,n}$が正則ならば解$(b_1,\dots,b_n)$はただ一つである。いずれの場合も、一つ目の等式系は$a_0,\dots,a_m$をただ一通りに定める。(1)により、定義 1.1 条件 (a)と定義 1.1 条件 (b)を満たす組のうち定義 1.1 条件 (c)を満たすものは、このようにして定まる組だけである。▨

証明.$k=1,2$について、定義 1.1 条件 (c)を満たす$\delta_k>0$と$M_k\ge0$をとる。$\delta:=\min\{\delta_1,\delta_2,1\}$、$Q_k:=\max_{\lvert t\rvert\le1}\lvert q_k(t)\rvert$と置く。$g:=p_1q_2-p_2q_1$は$I$の上で

を満たすので、$\lvert x\rvert<\delta$ならば$\lvert g(x)\rvert\le(Q_1M_2+Q_2M_1)\lvert x\rvert^{m+n+1}$である。定義 1.1 条件 (a)により$g$の次数は$m+n$以下であるから、補題 1.2を$N=m+n+1$として適用すると$g$のすべての係数は$0$であり、$p_1q_2=p_2q_1$が成り立つ。$q_1(0)=q_2(0)=1$であるから$q_1$と$q_2$は$0$でない多項式であり、両辺を$q_1q_2$で割って$\R(x)$における等式と、$q_1(x)q_2(x)\ne0$を満たす$x$における値の等式を得る。▨

証明.(1)を示す。$f=\exp$について$c_0=c_1=1$、$c_2=1/2$であり、$C_{1,1}=(c_1)=(1)$は正則である。補題 1.3 (1)の二つ目の等式系$c_1b_1=-c_2$から$b_1=-1/2$であり、一つ目の等式系から$a_0=c_0=1$、$a_1=c_1+b_1c_0=1/2$である。補題 1.3 (2)により、三条件を満たす組は$(1+x/2,\,1-x/2)$だけである。

$\lvert x\rvert\le\rho\le1$ならば$x/2\le\rho/2\le1/2$であるから、(2)が成り立つ。

(3)を示す。実数$y$に対して$g(y):=(1-y/2)e^y-(1+y/2)$と置く。

であり、$g(0)=g'(0)=g''(0)=0$である。§D1.16 定理 2.1を$a=0$と$n=3$に適用すると、各$y$に対して$\lvert\eta\rvert\le\lvert y\rvert$を満たす実数$\eta$が存在して$g(y)=g'''(\eta)y^3/6=-(1+\eta)e^\eta y^3/12$が成り立つ。(2)により$1-x/2>0$であり、

である。$y=x$に対する$\eta$を$\xi$、$y=-x$に対する$\eta$を$\xi'$とすると、$g(-x)=(1+\xi')e^{\xi'}x^3/12$であるから、二つの等式が成り立つ。関数$t\mapsto(1+t)e^t$の導関数は$(2+t)e^t$であり、$[-1,\infty)$で正であるから、この関数は$[-1,\infty)$で増加し、$-1\le t\le\rho$ならば$0\le(1+t)e^t\le(1+\rho)e^\rho$である。$\lvert\xi\rvert,\lvert\xi'\rvert\le\rho\le1$と(2)により、二つの誤差の絶対値はどちらも

以下である。$K(1/2)=(3/2)e^{1/2}/(6\cdot3/2)=e^{1/2}/6$であり、$e^{1/2}<1.65$から$K(1/2)<0.275$である。▨

証明. 演習とする（問題 5.1）。▨

証明.(1)を示す。$j=0$では$z_0=y_0=e^r(1+\varepsilon_0)$である。$z_j=e^{2^jr}(1+\varepsilon_0)^{2^j}$ならば$z_{j+1}=z_j^2=e^{2^{j+1}r}(1+\varepsilon_0)^{2^{j+1}}$であり、$j$に関する帰納法により主張が成り立つ。

(2)を示す。$y_j\in F$であり、厳密な積$y_j\cdot y_j$は正規範囲にあるから、§E20.1 系 3.2 (2)により$\lvert\delta_j\rvert\le u$を満たす$\delta_j$が存在して$y_{j+1}=y_j^2(1+\delta_j)$である。$y_j=e^{2^jr}(1+\eta_j)$を代入すると$e^{2^{j+1}r}(1+\eta_{j+1})=e^{2^{j+1}r}(1+\eta_j)^2(1+\delta_j)$であり、両辺を$e^{2^{j+1}r}>0$で割って漸化式を得る。$1+\eta_j=(1+\varepsilon_0)^{2^j}\prod_{i=0}^{j-1}(1+\delta_i)^{2^{j-1-i}}$ならば、漸化式により

であり、$j=0$の場合は空積の表示として成り立つので、$j$に関する帰納法により$j=s$の表示を得る。

(3)を示す。$\sigma_0=b$であり、$\sigma_{j+1}=2\sigma_j+u$であるから、$0\le\sigma_0\le\sigma_1\le\dots\le\sigma_s<1$である。$u=\beta^{1-p}/2\le1/2$であり、$\lvert\delta_j\rvert\le u$から$1-u\le1+\delta_j\le1+u\le(1-u)^{-1}$である。最後の不等式は$(1+u)(1-u)=1-u^2\le1$による。$j=0$では仮定により$1-\sigma_0\le1+\eta_0\le(1-\sigma_0)^{-1}$である。$j<s$とし、$1-\sigma_j\le1+\eta_j\le(1-\sigma_j)^{-1}$が成り立つとする。$1-\sigma_j>0$であるから$(1-\sigma_j)^2\le(1+\eta_j)^2\le(1-\sigma_j)^{-2}$であり、(2)の漸化式により

である。補題 3.2を$t_1=t_2=\sigma_j$、$t_3=u$に適用すると$(1-\sigma_j)^2(1-u)\ge1-2\sigma_j-u=1-\sigma_{j+1}>0$であるから、$1-\sigma_{j+1}\le1+\eta_{j+1}\le(1-\sigma_{j+1})^{-1}$が成り立つ。$j$に関する帰納法により、$0\le j\le s$を満たす各$j$で一つ目の不等式が成り立つ。このとき$\eta_j\le(1-\sigma_j)^{-1}-1=\sigma_j/(1-\sigma_j)$であり、$-\eta_j\le\sigma_j\le\sigma_j/(1-\sigma_j)$である。$\lvert\varepsilon_0\rvert\le b$ならば$1-b\le1+\varepsilon_0\le1+b$であり、$(1+b)(1-b)=1-b^2\le1$から$1+b\le(1-b)^{-1}$である。▨

証明.$s_1=2^{2-p}$であるから$2=2^{p-1}s_1$であり、$1\le e_{\max}$から$2$は指数$1$の正規化数である。$N_{\max}=2^{e_{\max}+1}(1-2^{-p})\ge8\cdot7/8=7$であり、$\lvert r\rvert\le1$から$1\le2\pm r\le3\le N_{\max}$である。$F=-F$であるから$-r\in F$であり、§E20.1 系 3.3により$\lvert\alpha_1\rvert,\lvert\alpha_2\rvert\le u$を満たす$\alpha_1,\alpha_2$が存在して$\hat n=(2+r)(1+\alpha_1)$、$\hat d=(2-r)(1+\alpha_2)$である。$u\le1/8$であるから$\hat d\ge1-u>0$であり、$(1-u)/(1+u)\ge7/9$から

である。$2^{e_{\min}}\le1/4$かつ$4<N_{\max}$であるから$\hat n/\hat d$は正規範囲にあり、§E20.1 系 3.2 (2)により$\lvert\alpha_3\rvert\le u$を満たす$\alpha_3$が存在して$\hat y=(\hat n/\hat d)(1+\alpha_3)$である。したがって