§E20.14直交多項式と二乗平均最良近似

証明.(1)を示す。§D1.13 定理 2.1により$H:=\max_{x\in[c,d]}\lvert h(x)\rvert$は有限であり、Riemann 可積分な$w$は有界であるから$K:=\sup_{x\in[c,d]}\lvert w(x)\rvert$は有限である。したがって$hw$は有界である。$[c,d]$の部分区間$I$と関数$g$に対して$\operatorname{osc}_Ig:=\sup_Ig-\inf_Ig$と置く。$x,y\in I$ならば

であるから、$\operatorname{osc}_I(hw)\le H\operatorname{osc}_Iw+K\operatorname{osc}_Ih$である。$\varepsilon>0$をとる。§D1.15 定理 3.1により$h$は$[c,d]$で一様連続であるから、$\delta>0$であって、$x,y\in[c,d]$、$\lvert x-y\rvert<\delta$ならば$\lvert h(x)-h(y)\rvert<\varepsilon$となるものが存在する。§D1.17 定理 2.4により$[c,d]$の分割$P$であって$U(w,P)-L(w,P)<\varepsilon$を満たすものが存在する。$P$に分割点を加えて、各小区間の長さが$\delta$未満である分割$Q$をとると、§D1.17 補題 1.3により$U(w,Q)-L(w,Q)<\varepsilon$であり、$Q$の各小区間$I$で$\operatorname{osc}_Ih\le\varepsilon$である。$Q$の小区間について和をとると

である。$\varepsilon>0$は任意であるから、§D1.17 定理 2.4により$hw$は$[c,d]$で Riemann 可積分である。

(2)を示す。$w>0$であるから、§D1.17 命題 3.4により$\int_c^dw\,dx\ge0$である。$\int_c^dw\,dx=0$と仮定する。閉区間$[c_k,d_k]$（$k\in\N$）を、$c_k<d_k$、$[c_{k+1},d_{k+1}]\subseteq[c_k,d_k]$、$w$の$[c_k,d_k]$への制限は Riemann 可積分でその積分は$0$、$k\ge1$ならば$\sup_{[c_k,d_k]}w<1/k$を満たすように帰納的に定める。$[c_0,d_0]:=[c,d]$とする。$[c_k,d_k]$が定まったとき、$[c_k,d_k]$上の$w$の上積分は積分$0$に等しいから、$[c_k,d_k]$の分割$P$であって$U(w,P)<(d_k-c_k)/(k+1)$を満たすものが存在する。$P$の小区間の長さの和は$d_k-c_k$であるから、$P$の小区間のうち$w$の上限が$1/(k+1)$未満であるものが存在し、それを$[c_{k+1},d_{k+1}]$とする。§D1.17 命題 3.1と§D1.17 定理 3.6により、$w$の$P$の各小区間への制限は Riemann 可積分であり、それらの積分の和は$0$である。§D1.17 命題 3.4によりそれらの積分はすべて$0$以上であるから、すべて$0$であり、$[c_{k+1},d_{k+1}]$上の積分も$0$である。

区間が入れ子であるから、任意の$k,j\in\N$に対して$c_k\le d_j$である。$x^*:=\sup_kc_k$と置くと、任意の$k\in\N$に対して$c_k\le x^*\le d_k$である。したがって任意の$k\in\NN$に対して$w(x^*)\le\sup_{[c_k,d_k]}w<1/k$であり、$w(x^*)\le0$である。これは$w(x^*)>0$と両立しないから、$\int_c^dw\,dx>0$である。▨

証明.(1)を示す。$a<c<d<b$とする。$w>0$であるから、§D1.17 定理 3.6と§D1.17 命題 3.4により$\int_c^dw\,dx$は$c$について減少し$d$について増加し、その極限$\mu_0$以下である。$g\colon[a,b]\to\R$を任意の$x\in[a,b]$に対して$0\le g(x)\le\lVert h\rVert_\infty$を満たす連続関数とし、$a<e<b$を一つ固定する。補題 1.2 (1)により$gw$は$(a,b)$に含まれる各閉区間で Riemann 可積分であるから、$a<c<e$に対して$G_-(c):=\int_c^eg(x)w(x)\,dx$、$e<d<b$に対して$G_+(d):=\int_e^dg(x)w(x)\,dx$と置くことができる。$gw\ge0$であるから、§D1.17 定理 3.6と§D1.17 命題 3.4により$G_-$は減少し$G_+$は増加する。$gw\le\lVert h\rVert_\infty w$であるから、§D1.17 命題 3.4により$G_-(c)\le\lVert h\rVert_\infty\int_c^ew\,dx\le\lVert h\rVert_\infty\mu_0$、$G_+(d)\le\lVert h\rVert_\infty\int_e^dw\,dx\le\lVert h\rVert_\infty\mu_0$である。単調で有界な関数の片側極限は存在するから、$\lim_{c\to a+}G_-(c)$と$\lim_{d\to b-}G_+(d)$は有限な値として存在する。$a<c<e<d<b$ならば§D1.17 定理 3.6により$\int_c^dgw\,dx=G_-(c)+G_+(d)$であるから、$gw$の広義積分は存在する。

$h^\pm:=\max\{\pm h,0\}$と置くと、$h^+$、$h^-$、$\lvert h\rvert=h^++h^-$は$[a,b]$上の連続関数であり、その値は$0$以上$\lVert h\rVert_\infty$以下である。上の議論を$g=\lvert h\rvert$に適用すると$\lvert hw\rvert=\lvert h\rvert w$の広義積分が存在し、$g=h^+$、$g=h^-$に適用すると$h^+w$と$h^-w$の広義積分が存在する。$hw=h^+w-h^-w$であるから、§D1.17 定理 3.2により$a<c<d<b$に対して$\int_c^dhw\,dx=\int_c^dh^+w\,dx-\int_c^dh^-w\,dx$であり、$hw$の広義積分も存在する。したがって$hw$の広義積分は絶対収束する。§D1.17 定理 3.5と§D1.17 命題 3.4により$\bigl|\int_c^dhw\,dx\bigr|\le\int_c^d\lvert h\rvert w\,dx\le\lVert h\rVert_\infty\int_c^dw\,dx\le\lVert h\rVert_\infty\mu_0$であり、$c\to a+$、$d\to b-$として評価を得る。

(2)を示す。$h$は$x_0$で連続であるから、$a<c<d<b$を満たす$c,d$であって、任意の$x\in[c,d]$に対して$h(x)\ge h(x_0)/2$となるものが存在する。補題 1.2 (1)により$hw$は$[c,d]$で Riemann 可積分であり、$[c,d]$上で$hw\ge(h(x_0)/2)\,w$であるから、§D1.17 命題 3.4と補題 1.2 (2)により$\int_c^dhw\,dx\ge(h(x_0)/2)\int_c^dw\,dx>0$である。$h\ge0$であるから、$a<c'\le c<d\le d'<b$ならば$\int_{c'}^{d'}hw\,dx\ge\int_c^dhw\,dx$である。$c'\to a+$、$d'\to b-$として$\int_a^bhw\,dx\ge(h(x_0)/2)\int_c^dw\,dx>0$を得る。▨

証明. 広義積分は被積分関数について線形であるから、$\langle\cdot,\cdot\rangle_w$は対称な双線形形式である。$f\in C([a,b])$に対して$f^2\ge0$であるから、補題 1.3 (1)を$h=f^2$に適用して$0\le\langle f,f\rangle_w\le\mu_0\lVert f^2\rVert_\infty=\mu_0\lVert f\rVert_\infty^2$を得る。$f\ne0$ならば$f(x_0)^2>0$を満たす$x_0\in[a,b]$が存在し、補題 1.3 (2)により$\langle f,f\rangle_w>0$である。したがって$\langle\cdot,\cdot\rangle_w$は正定値である。

$p\in\mathcal P_n$の$[a,b]$への制限が$0$ならば、$p$は$[a,b]$の相異なる$n+1$点で$0$になるから、§E20.12 補題 1.2 (2)を$k_i=1$、$K=n+1$、$m=n$として適用して$p=0$を得る。$1,x,\dots,x^n$は$\mathcal P_n$の基底であるから、その制限は一次独立である。▨

証明.命題 1.5により$1,x,\dots,x^n$は内積空間$(C([a,b]),\langle\cdot,\cdot\rangle_w)$の一次独立な元であり、これに§D3.14 定理 2.1を適用すると、$\mathcal P_n$を張る正規直交系$e_0,\dots,e_n$を得る。$p:=\sum_{k=0}^n\langle f,e_k\rangle_we_k$と置く。§D3.14 命題 3.2により、$f-p$は$\mathcal P_n$のすべての元に直交し、任意の$q\in\mathcal P_n$に対して$\lVert f-p\rVert_w\le\lVert f-q\rVert_w$であって、等号は$q=p$のときに限る。これで(1)は示された。

(2)を示す。(1)の元$p$について$f-p$が$\mathcal P_n$に直交することは上で示した。逆に$p'\in\mathcal P_n$が任意の$q\in\mathcal P_n$に対して$\langle f-p',q\rangle_w=0$を満たすとする。$p-p'\in\mathcal P_n$であるから、$\lVert p-p'\rVert_w^2=\langle f-p',p-p'\rangle_w-\langle f-p,p-p'\rangle_w=0$であり、$p'=p$である。

(3)を示す。$f-q=(f-p)+(p-q)$であり、$p-q\in\mathcal P_n$であるから(2)により$\langle f-p,p-q\rangle_w=0$である。$\lVert f-q\rVert_w^2$を展開して等式を得る。

(4)を示す。$p=\sum_jc_j\varphi_j$と置く。$\mathcal P_n$は$\varphi_0,\dots,\varphi_n$で張られるから、(2)の条件は$\langle f-p,\varphi_i\rangle_w=0$（$0\le i\le n$）と同値であり、これは$\langle f,\varphi_i\rangle_w=\sum_jc_j\langle\varphi_j,\varphi_i\rangle_w$（$0\le i\le n$）と同値である。

(5)を示す。基底の元は$0$でないから$\lVert\varphi_i\rVert_w^2>0$である。(4)の方程式は$\lVert\varphi_i\rVert_w^2c_i=\langle f,\varphi_i\rangle_w$となり、係数の式を得る。(3)を$q=0$として適用すると$\lVert f\rVert_w^2=\lVert f-p\rVert_w^2+\lVert p\rVert_w^2$であり、$\varphi_i$が互いに直交するから$\lVert p\rVert_w^2=\sum_ic_i^2\lVert\varphi_i\rVert_w^2=\sum_i\langle f,\varphi_i\rangle_w^2/\lVert\varphi_i\rVert_w^2$である。▨

証明.(1)を示す。$0$次のモニック多項式は$1$だけであり、$k=0$では直交の条件は課されない。$k\ge1$とする。$k$次のモニック多項式は、$r\in\mathcal P_{k-1}$によって$x^k-r$とただ一通りに書かれる。定理 1.6 (2)を$f=x^k$、$n=k-1$として適用すると、任意の$q\in\mathcal P_{k-1}$に対して$\langle x^k-r,q\rangle_w=0$であることと$r=\Pi_{k-1}^w(x^k)$であることは同値である。したがって$\pi_k$はただ一つ存在し、$\pi_k=x^k-\Pi_{k-1}^w(x^k)$である。

(2)を示す。$i<j$ならば$\pi_i\in\mathcal P_{j-1}$であるから$\langle\pi_j,\pi_i\rangle_w=0$である。$\pi_i\ne0$であるから、$\sum_ic_i\pi_i=0$と$\pi_j$の内積をとって$c_j\lVert\pi_j\rVert_w^2=0$、すなわち$c_j=0$を得る。したがって$\pi_0,\dots,\pi_n$は$n+1$次元の$\mathcal P_n$の一次独立な$n+1$個の元であり、基底である。展開式は定理 1.6 (5)であり、$n\ge1$のときの等式は$n$と$n-1$の展開式の差である。

(3)を示す。$p-c\pi_n$の$x^n$の係数は$0$であるから$p-c\pi_n\in\mathcal P_{n-1}$である。$p$と$\pi_n$はともに$\mathcal P_{n-1}$のすべての元に直交するから、$\lVert p-c\pi_n\rVert_w^2=\langle p-c\pi_n,p-c\pi_n\rangle_w=0$であり、$p=c\pi_n$である。▨

証明.(1)を示す。$k\in\N$とし、$r:=x\pi_k-\pi_{k+1}$と置く。$x\pi_k$と$\pi_{k+1}$はともに$k+1$次のモニック多項式であるから$r\in\mathcal P_k$であり、命題 2.2 (2)により$r=\sum_{j=0}^kd_j\pi_j$と書かれる。$\pi_i$（$0\le i\le k$）との内積をとると$d_i\lVert\pi_i\rVert_w^2=\langle r,\pi_i\rangle_w$である。$\pi_{k+1}$は$\mathcal P_k$に直交し、被積分関数の等式$x\pi_k(x)\pi_i(x)w(x)=\pi_k(x)\cdot x\pi_i(x)w(x)$により

である。$i\le k-2$ならば$x\pi_i\in\mathcal P_{k-1}$であるから$d_i=0$である。$i=k$ならば$d_k=\alpha_k$である。$k\ge1$かつ$i=k-1$ならば、$x\pi_{k-1}-\pi_k\in\mathcal P_{k-1}$であるから$\langle\pi_k,x\pi_{k-1}\rangle_w=\lVert\pi_k\rVert_w^2$であり、$d_{k-1}=\beta_k$である。以上により$r=\alpha_k\pi_k+\beta_k\pi_{k-1}$であり（$k=0$では$\pi_{-1}=0$により$r=\alpha_0\pi_0$）、漸化式を得る。$k\ge1$ならば$\lVert\pi_k\rVert_w^2>0$、$\lVert\pi_{k-1}\rVert_w^2>0$であるから$\beta_k>0$である。

(2)を示す。(1)の等式との差をとると$(\alpha_k-\alpha)\pi_k=(\beta-\beta_k)\pi_{k-1}$である。命題 2.2 (2)により$\pi_{k-1}$と$\pi_k$は一次独立であるから、$\alpha=\alpha_k$、$\beta=\beta_k$である。▨

証明.$\pi_n\ne0$であるから、§E20.12 補題 1.2 (2)により$\pi_n$の$(a,b)$における零点は高々$n$個である。それらを$y_1<\dots<y_r$（$0\le r\le n$）とし、$y_0:=a$、$y_{r+1}:=b$と置く。$0\le j\le r$について、$\pi_n$は開区間$(y_j,y_{j+1})$に零点をもたないから、中間値の定理によりこの区間で一定の符号$\varepsilon_j\in\{1,-1\}$をとる。$1\le j\le r$のうち$\varepsilon_{j-1}\ne\varepsilon_j$を満たす$j$に対応する$y_j$を小さい順に$z_1<\dots<z_m$とし、$q:=\prod_{i=1}^m(x-z_i)$（$m=0$のとき$q:=1$）と置く。

$1\le j\le r$について、$y_j$を$\pi_n$の$k_j$重の零点とし、$\pi_n=(x-y_j)^{k_j}g_j$、$g_j(y_j)\ne0$と書くと、$g_j$は$y_j$を含む開区間で符号が一定であるから、$\varepsilon_{j-1}\ne\varepsilon_j$であることは$k_j$が奇数であることと同値である。したがって$\pi_n$は$(a,b)$で奇数重複の零点$z_1,\dots,z_m$でだけ符号を変える。$q$は各$z_i$で一位の零点をもち、$q/(x-z_i)=\prod_{l\ne i}(x-z_l)$は$z_i$で$0$でないから、$q$は$(a,b)$で$z_1,\dots,z_m$でだけ$0$になり、各$z_i$で符号を変える。$\pi_n$と$q$は$(a,b)$の同じ点$z_1,\dots,z_m$でだけ符号を変えるので、$\pi_nq$は$(a,b)$から$y_1,\dots,y_r$を除いた集合で一定の符号$\varepsilon\in\{1,-1\}$をとり、$h:=\varepsilon\,\pi_nq$はこの集合で正である。$h$は$[a,b]$で連続であるから、任意の$x\in[a,b]$に対して$h(x)\ge0$であり、$h$は$(y_0,y_1)$で正である。補題 1.3 (2)により$\langle\pi_n,q\rangle_w=\varepsilon\int_a^bh(x)w(x)\,dx\ne0$である。

$m\le n-1$と仮定すると$q\in\mathcal P_{n-1}$であり、直交多項式の定義により$\langle\pi_n,q\rangle_w=0$である。これは$\langle\pi_n,q\rangle_w\ne0$と両立しないから、$m\ge n$である。$z_1,\dots,z_n$は$(a,b)$の相異なる零点であるから、§E20.12 補題 1.2 (3)を$k_i=1$、$K=n$として適用すると、$\pi_n$の$x^n$の係数が$1$であることから$\pi_n=\prod_{i=1}^n(x-z_i)$を得る。この積表示から、$\pi_n$の複素数の零点は$z_1,\dots,z_n$だけであり、積の微分により$\pi_n'(z_i)=\prod_{j\ne i}(z_i-z_j)$である。▨