実代数的数と終結式 | 数値解析 I

定義 1.1.

$\Q$ 上代数的な実数を実代数的数 (real algebraic number) という。
$p\in\Q[x]$ を平方自由とし、有理数 $a<b$ について $(a,b)$ が $p$ の分離区間であるとする。 $(a,b)$ に属する $p$ のただ一つの実根を $\alpha$ とするとき、三つ組 $(p,a,b)$ を $\alpha$ の表示 (isolating representation) といい、 $(p,a,b)$ は $\alpha$ を表すという。
$(p,a,b)$ を $\alpha$ の表示とする。 $(a_0,b_0):=(a,b)$ と置き、 $k\in\NN$ に対して、 $p$ と $(a_{k-1},b_{k-1})$ と $\tau=2^{-k}$ に§E20.39 定義 5.5 (3)を適用した出力を $(a_k,b_k)$ とする。§E20.39 命題 5.6 (3)により各 $(a_k,b_k)$ は $p$ の分離区間であるから、この列は帰納的に定まる。 $(a_k,b_k)_{k\in\N}$ を $(p,a,b)$ の精密化列 (refinement sequence) という。

補題 1.2. $K$ を $\R$ の部分体とする。

$q\in K[x]$ が平方自由であり、次数が $1$ 以上の $e\in K[x]$ が $q$ を割り切るならば、 $e$ は平方自由であり、 $e$ の実根はすべて $q$ の実根である。
$f\in K[x]$ の次数を $1$ 以上とし、 $\operatorname{lc}(f)^{-1}f$ に§E20.39 定理 3.4 (2)を適用して得る $w_1$ を考える。 $w_1$ は平方自由であり、任意の実数 $c$ に対して、 $f(c)=0$ であることと $w_1(c)=0$ であることは同値である。

証明.(1)を示す。 $P$ と $v_p$ を§E20.39 補題 3.3のものとする。§E20.39 補題 3.3 (3)と§E20.39 定理 3.4 (1)により、任意の $p\in P$ に対して $v_p(e)\le v_p(q)\le1$ であるから、§E20.39 定理 3.4 (1)により $e$ は平方自由である。 $q=ek$ と書くと、 $e(c)=0$ を満たす実数 $c$ について $q(c)=e(c)k(c)=0$ である。

(2)を示す。§E20.39 定理 3.4 (4)により $w_1$ は平方自由である。§E20.39 補題 3.3 (2)により $v_p(\operatorname{lc}(f)^{-1}f)=v_p(f)$ であるから、§E20.39 定理 3.4 (2)により $w_1=\prod_{p\in P,\ v_p(f)\ge1}p$ であり、§E20.39 補題 3.3 (1)により $f=\operatorname{lc}(f)\prod_{p\in P}p^{v_p(f)}$ である。 $\R$ は体であるから、実数 $c$ について $f(c)=0$ であることと、 $v_p(f)\ge1$ を満たすある $p$ で $p(c)=0$ であることは同値であり、後者は $w_1(c)=0$ と同値である。▨

命題 1.3.

実数 $\alpha$ が実代数的数であることは、 $\alpha$ の表示が存在することと同値である。
$(p,a,b)$ を $\alpha$ の表示とし、 $(a_k,b_k)_{k\in\N}$ をその精密化列とする。任意の $k\in\N$ に対して $(p,a_k,b_k)$ は $\alpha$ の表示であり、 $k\ge1$ ならば $[a_k,b_k]\subset[a_{k-1},b_{k-1}]$ かつ $b_k-a_k\le2^{-k}$ である。任意の実数 $\varepsilon>0$ に対して、 $b_k-a_k<\varepsilon$ を満たす $k$ が存在する。
$(p,a,b)$ を $\alpha$ の表示とし、 $c$ を有理数、 $V$ を $p$ の Sturm 列から定めたものとする。 $c\le a$ ならば $c<\alpha$ であり、 $b\le c$ ならば $\alpha<c$ である。 $a<c<b$ かつ $p(c)=0$ ならば $\alpha=c$ である。 $a<c<b$ かつ $p(c)\ne0$ ならば $V(a)-V(c)\in\{0,1\}$ であり、 $\alpha<c$ であることと $V(a)-V(c)=1$ であることは同値である。

証明.(1)を示す。 $(p,a,b)$ が $\alpha$ の表示ならば、零でない $p\in\Q[x]$ が $p(\alpha)=0$ を満たすので、 $\alpha$ は実代数的数である。逆に $\alpha$ を実代数的数とし、 $m:=m_{\alpha,\Q}$ と置く。§E8.2 定理 2.1により $m$ はモニック既約であるから、 $m$ 自身が $m$ のモニック既約分解であり、§E20.39 補題 3.3の指数は $v_m(m)=1$ 、 $p\ne m$ で $v_p(m)=0$ である。§E20.39 定理 3.4 (1)により $m$ は平方自由である。 $m$ と $\tau=1$ に§E20.39 系 6.4を適用すると、§E20.39 系 6.4 (1)と§E20.39 系 6.4 (2)により、実根 $\alpha$ はある $(c_\ell,d_\ell)$ に属し、 $(c_\ell,d_\ell)$ は $m$ の分離区間である。したがって $(m,c_\ell,d_\ell)$ は $\alpha$ の表示である。

(2)を示す。 $k\ge1$ とし、 $(p,a_{k-1},b_{k-1})$ が $\alpha$ の表示であるとする。§E20.39 命題 5.6 (3)により $(a_k,b_k)$ は $[a_k,b_k]\subset[a_{k-1},b_{k-1}]$ と $b_k-a_k\le2^{-k}$ を満たす $p$ の分離区間であり、 $(a_{k-1},b_{k-1})$ に属する $p$ の実根 $\alpha$ を含む。 $k$ に関する帰納法により前半が成り立つ。実数 $\varepsilon>0$ に対して、§D1.4 命題 2.1により $k>1/\varepsilon$ を満たす正の整数 $k$ が存在し、 $2^k>k$ であるから $b_k-a_k\le2^{-k}<1/k<\varepsilon$ である。

(3)を示す。 $\alpha\in(a,b)$ であるから、 $c\le a$ ならば $c<\alpha$ 、 $b\le c$ ならば $\alpha<c$ である。 $a<c<b$ かつ $p(c)=0$ ならば、 $c$ は $(a,b)$ に属する $p$ の実根であるから $c=\alpha$ である。 $a<c<b$ かつ $p(c)\ne0$ とする。§E20.39 補題 3.2 (1)により $p$ は $\R[x]$ の元として平方自由であり、 $p(a)p(c)\ne0$ であるから、§E20.39 定理 4.3 (3)により $V(a)-V(c)=N_p((a,c))$ である。 $(a,c)\subset(a,b)$ に属する $p$ の実根は $\alpha$ だけでありうるので、 $N_p((a,c))\in\{0,1\}$ であり、 $N_p((a,c))=1$ であることは $\alpha\in(a,c)$ 、すなわち $\alpha<c$ と同値である。▨

命題 1.4. $(p,a,b)$ を $\alpha$ の表示、 $(q,c,d)$ を $\beta$ の表示とし、 $\Q[x]$ における $p$ と $q$ のモニック最大公約元を $D$ とする。

$e:=\max\{a,c\}$ 、 $e':=\min\{b,d\}$ と置く。 $\alpha=\beta$ であることは、 $e<e'$ であり、 $D$ の次数が $1$ 以上であり、 $D$ の Sturm 列から定めた $V_D$ について $V_D(e)-V_D(e')=1$ であることと同値である。
$\alpha\ne\beta$ とし、 $(a_k,b_k)_{k\in\N}$ と $(c_k,d_k)_{k\in\N}$ をそれぞれ $(p,a,b)$ と $(q,c,d)$ の精密化列とする。 $[a_k,b_k]\cap[c_k,d_k]=\emptyset$ を満たす $k$ が存在する。そのような $k$ に対して、 $\alpha<\beta$ であることと $b_k<c_k$ であることは同値である。

証明.(1)を示す。§E6.28 命題 3.1により、ある $u,v\in\Q[x]$ が存在して $D=up+vq$ となる。 $D$ の次数が $1$ 以上ならば、補題 1.2 (1)により $D$ は平方自由であり、 $D$ は $p$ と $q$ を割り切り $p(a)q(c)\ne0$ かつ $p(b)q(d)\ne0$ であるから $D(e)D(e')\ne0$ である。このとき $e<e'$ ならば、§E20.39 補題 3.2 (1)と§E20.39 定理 4.3 (3)により $V_D(e)-V_D(e')=N_D((e,e'))$ である。

$\alpha=\beta$ とする。 $\alpha\in(a,b)\cap(c,d)=(e,e')$ であるから $e<e'$ である。 $D(\alpha)=u(\alpha)p(\alpha)+v(\alpha)q(\alpha)=0$ であり、 $D$ はモニックであるから次数が $1$ 以上である。補題 1.2 (1)により $D$ の実根は $p$ の実根であるから、 $(e,e')\subset(a,b)$ に属する $D$ の実根は $\alpha$ だけであり、 $N_D((e,e'))=1$ である。

逆に $e<e'$ 、 $\deg D\ge1$ 、 $V_D(e)-V_D(e')=1$ とし、 $(e,e')$ に属する $D$ の実根を $\gamma$ とする。 $D$ は $p$ を割り切るので $\gamma$ は $(a,b)$ に属する $p$ の実根であり、 $\gamma=\alpha$ である。同様に $\gamma=\beta$ であるから、 $\alpha=\beta$ である。

(2)を示す。 $\eta:=|\alpha-\beta|>0$ と置く。命題 1.3 (2)により、 $b_k-a_k<\eta/2$ かつ $d_k-c_k<\eta/2$ を満たす $k$ が存在する。 $y\in[a_k,b_k]\cap[c_k,d_k]$ が存在すると仮定すると、 $\alpha,y\in[a_k,b_k]$ と $\beta,y\in[c_k,d_k]$ から $\eta\le|\alpha-y|+|y-\beta|<\eta$ となり、 $\eta<\eta$ は成り立たない。したがってこの $k$ で閉区間は交わらない。閉区間が交わらない $k$ では $b_k<c_k$ または $d_k<a_k$ であり、前者ならば $\alpha<b_k<c_k<\beta$ 、後者ならば $\beta<d_k<a_k<\alpha$ である。▨

定理 2.1. $P\in\Z[x]$ を次数 $n\ge2$ の原始的多項式とする。 $1\le d\le\lfloor n/2\rfloor$ を満たす整数 $d$ に対して、 $P$ が零にならない非負整数を小さい順に $d+1$ 個取って $x_0<\cdots<x_d$ とし、 $P(x_i)$ を割り切る整数（負のものを含む）の集合を $D_i$ とする。 $(y_0,\ldots,y_d)\in D_0\times\cdots\times D_d$ に対して節点 $x_0,\ldots,x_d$ の Lagrange 基底 $\ell_0,\ldots,\ell_d$ による $\sum_{i=0}^dy_i\ell_i$ の全体を $T_d$ とする。

$x_0,\ldots,x_d$ は $\{0,1,\ldots,n+d\}$ の中に取ることができ、 $T_d$ は $\Q[x]$ の有限部分集合である。
$P$ が $\Q[x]$ で可約であることは、ある $d$ とある $L\in T_d$ が存在して、 $L\in\Z[x]$ 、 $\deg L\ge1$ であり、 $\Q[x]$ において $L$ が $P$ を割り切ることと同値である。
零でない $f\in\Q[x]$ に対して、次の手続きを考える。 $F:=\operatorname{lc}(f)^{-1}f$ と置く。 $f$ が定数ならば $F=1$ であり、空列を出力する。 $f$ が定数でなければ、 $F$ の係数の分母の積を $N$ として $P_f:=NF/\operatorname{cont}(NF)$ と置く。 $\deg P_f=1$ ならば $(F)$ を出力する。 $\deg P_f\ge2$ であり、(2)の条件を満たす $L$ が存在しなければ $(F)$ を出力する。存在すれば、その一つ $L$ と、 $P_f$ の $L$ による除法の商 $P_f/L$ のそれぞれにこの手続きを適用し、二つの出力を並べたものを出力する。この手続きは有理数の四則演算と比較の有限回で停止し、出力はモニック既約多項式の列であって、その積（空列の積は $1$ ）は $F$ に等しい。

証明.(1)を示す。§E20.39 命題 2.1 (1)により $P$ の実根は高々 $n$ 個であるから、 $n+d+1$ 個の整数 $0,1,\ldots,n+d$ のうち少なくとも $d+1$ 個で $P$ は零にならない。 $P(x_i)$ は零でない整数であるから、その約数は $|P(x_i)|$ 以下の絶対値をもち、 $D_i$ は有限集合である。したがって $T_d$ は有限集合であり、 $x_i$ と $y_i$ は有理数であるから $T_d\subset\Q[x]$ である。

(2)を示す。 $L\in T_d$ が条件を満たし $P=LH$ と書くとする。 $L$ は次数が $d$ 以下の多項式の一次結合であるから $\deg L\le d\le n/2<n$ であり、§E6.28 命題 1.2により $\deg H=n-\deg L\ge1$ である。§E6.28 命題 1.3により $L$ と $H$ は単元でないので、 $P$ は $\Q[x]$ で可約である。

逆に $P$ が $\Q[x]$ で可約であるとする。§E6.28 定理 7.5により、正の次数をもつ $g,h\in\Z[x]$ が存在して $P=gh$ となる。 $\deg g\le\deg h$ としてよく、§E6.28 命題 1.2により $d:=\deg g$ は $1\le d\le\lfloor n/2\rfloor$ を満たす。各 $i$ について $g(x_i)h(x_i)=P(x_i)\ne0$ は整数の積であるから、 $g(x_i)\in D_i$ である。 $g$ は次数が $d$ 以下の実係数多項式であり、節点 $x_0,\ldots,x_d$ は相異なるので、§E20.12 定理 1.3により $g=\sum_{i=0}^dg(x_i)\ell_i\in T_d$ である。 $L:=g$ は条件を満たす。

(3)を示す。 $f$ が定数ならば、空列の積 $1$ は $F$ に等しい。以下、定数でない $f$ について $\deg f$ に関する強帰納法を用いる。 $N$ は正の整数であり $NF\in\Z[x]$ は零でないから、§E6.28 命題 7.2により $P_f$ は原始的であり、 $P_f=cF$ を満たす $c\in\Q^\times$ が存在する。§E6.28 命題 1.3により $c$ は $\Q[x]$ の単元であるから、 $F$ が既約であることと $P_f$ が既約であることは同値であり、 $\deg P_f=\deg F$ である。 $\deg F=1$ ならば、§E6.28 命題 1.2により $F$ は二つの正の次数の多項式の積でないので既約であり、出力 $(F)$ は主張を満たす。 $\deg F\ge2$ であり条件を満たす $L$ が存在しないならば、(2)により $P_f$ は既約であり、出力 $(F)$ は主張を満たす。条件を満たす $L$ が存在するならば、(2)の証明の前半により $L$ と $P_f/L$ の次数は $1$ 以上 $\deg f$ 未満である。帰納法の仮定により二つの手続きは停止し、出力の積はそれぞれ $\operatorname{lc}(L)^{-1}L$ と $\operatorname{lc}(P_f/L)^{-1}(P_f/L)$ に等しい。§E6.28 命題 1.2によりこの二つの積は $\operatorname{lc}(P_f)^{-1}P_f$ であり、 $P_f=cF$ と $F$ がモニックであることから $\operatorname{lc}(P_f)^{-1}P_f=F$ である。各段で行う操作は、(1)の有限集合の列挙、Lagrange 基底の係数の計算、§E6.28 定理 2.1の除法であり、いずれも有理数の四則演算と比較の有限回で終わる。▨

命題 2.2. $(p,a,b)$ を $\alpha$ の表示とし、 $\operatorname{lc}(p)^{-1}p$ に定理 2.1 (3)を適用して得るモニック既約多項式を $p_1,\ldots,p_r$ とする。 $p_j$ の Sturm 列から定めた $V_j$ について $V_j(a)-V_j(b)=1$ を満たす $j$ はただ一つであり、その $j$ について $p_j=m_{\alpha,\Q}$ であって、 $(p_j,a,b)$ は $\alpha$ の表示である。

証明. 各 $p_j$ は $p$ を割り切り次数が $1$ 以上であるから、補題 1.2 (1)により平方自由であり、その実根は $p$ の実根である。 $p(a)p(b)\ne0$ から $p_j(a)p_j(b)\ne0$ であり、§E20.39 補題 3.2 (1)と§E20.39 定理 4.3 (3)により $V_j(a)-V_j(b)=N_{p_j}((a,b))$ である。 $(a,b)$ に属する $p$ の実根は $\alpha$ だけであるから、 $N_{p_j}((a,b))=1$ であることは $p_j(\alpha)=0$ と同値である。 $p(\alpha)=\operatorname{lc}(p)p_1(\alpha)\cdots p_r(\alpha)=0$ であるから、 $p_j(\alpha)=0$ を満たす $j$ が存在する。そのような $j$ について、§E8.2 定理 2.1により $m_{\alpha,\Q}$ は $p_j$ を割り切り、 $p_j$ は既約で $m_{\alpha,\Q}$ は定数でないので商は零でない定数であり、両者がモニックであるから $p_j=m_{\alpha,\Q}$ である。 $p$ は平方自由であるから、§E20.39 定理 3.4 (1)により $m_{\alpha,\Q}$ は $p_1,\ldots,p_r$ に一度だけ現れ、この $j$ はただ一つである。 $p_j$ は平方自由で $p_j(a)p_j(b)\ne0$ であり、 $(a,b)$ に属する $p_j$ の実根は $\alpha$ だけであるから、 $(p_j,a,b)$ は $\alpha$ の表示である。▨

命題 3.1. $\alpha$ を実代数的数とし、 $m:=m_{\alpha,\Q}$ 、 $n:=\deg m$ と置く。 $\Q[x]$ の元で、零であるか次数が $n$ 未満であるものの全体を $\Q[x]_{<n}$ と書く。

$\Q(\alpha)$ の任意の元 $\gamma$ に対して、 $\gamma=r(\alpha)$ を満たす $r\in\Q[x]_{<n}$ がただ一つ存在する。
$r,s\in\Q[x]_{<n}$ とする。 $r+s\in\Q[x]_{<n}$ かつ $r(\alpha)+s(\alpha)=(r+s)(\alpha)$ である。 $rs$ の $m$ による除法の剰余を $\rho$ とすると、 $\rho\in\Q[x]_{<n}$ かつ $r(\alpha)s(\alpha)=\rho(\alpha)$ である。
$r\in\Q[x]_{<n}$ について、 $r(\alpha)=0$ であることと $r=0$ であることは同値である。
零でない $r\in\Q[x]_{<n}$ について、 $\Q[x]$ における $m$ と $r$ のモニック最大公約元は $1$ である。 $um+vr=1$ を満たす $u,v\in\Q[x]$ を取り、 $v$ の $m$ による除法の剰余を $\bar v$ とすると、 $r(\alpha)^{-1}=\bar v(\alpha)$ である。

証明.§E8.2 定理 3.1により、 $f+(m)\mapsto f(\alpha)$ は $\Q[x]/(m)$ から $\Q(\alpha)$ への同型であり、 $1,\alpha,\ldots,\alpha^{n-1}$ は $\Q(\alpha)$ の $\Q$ 上の基底である。 $\gamma\in\Q(\alpha)$ の基底に関する座標を係数とする多項式が $r$ であるから、(1)が成り立ち、 $\gamma=0$ に適用すると(3)が成り立つ。 $r+s$ の係数は $r$ と $s$ の係数の和であるから $r+s\in\Q[x]_{<n}$ である。 $rs=hm+\rho$ と書くと、§E6.28 定理 2.1により $\rho\in\Q[x]_{<n}$ であり、 $m(\alpha)=0$ から $r(\alpha)s(\alpha)=\rho(\alpha)$ である。

(4)を示す。 $m$ と $r$ のモニック最大公約元 $D$ は既約多項式 $m$ を割り切るので、 $D=1$ であるか、 $D$ は $m$ と同伴でモニックであるから $D=m$ である。 $D$ は零でない $r$ を割り切り、 $\deg r<\deg m$ であるから、§E6.28 命題 1.2により $D=m$ ではない。したがって $D=1$ であり、§E6.28 命題 3.1により $um+vr=1$ を満たす $u,v$ が存在する。 $x=\alpha$ を代入すると $v(\alpha)r(\alpha)=1$ であり、 $v=hm+\bar v$ と書くと $v(\alpha)=\bar v(\alpha)$ である。▨

補題 3.2. $n\in\NN$ とし、 $E$ を $n$ 変数の式、 $X$ を $E(X)$ が定まる $\R^n$ の箱とする。ある実数 $L\ge0$ が存在して、任意の箱 $X'\subset X$ に対して

w(E(X'))\le L\max_{1\le i\le n}w(X'_i)

が成り立つ。

証明.

主張 3.2.1. $A,B\in\mathbb{I}\R$ に対して $w(A\cdot B)\le\operatorname{mag}A\,w(B)+\operatorname{mag}B\,w(A)$ である。また $A\subset A'$ を満たす $A'\in\mathbb{I}\R$ に対して $\operatorname{mag}A\le\operatorname{mag}A'$ である。

証明.§E20.36 定理 2.3 (1)により、 $A\cdot B$ の端点は $A$ の端点と $B$ の端点の積であるから、ある $a,a'\in A$ と $b,b'\in B$ によって $w(A\cdot B)=a'b'-ab$ と書くことができる。 $a'b'-ab=a'(b'-b)+b(a'-a)$ である。§E20.36 補題 1.2 (2)により $|b'-b|\le w(B)$ かつ $|a'-a|\le w(A)$ であり、 $Y\in\mathbb{I}\R$ の元 $y$ は $|y|\le\operatorname{mag}Y$ を満たすので、 $w(A\cdot B)\le\operatorname{mag}A\,w(B)+\operatorname{mag}B\,w(A)$ である。 $A$ の端点は $A'$ に属するので、 $\operatorname{mag}A\le\operatorname{mag}A'$ である。▨

$X'\subset X$ を箱とし、 $h:=\max_iw(X'_i)$ と置く。§E20.36 定理 4.2 (2)により、 $E$ の部分式 $G$ で $G(X)$ が定まるものについて、 $G(X')$ も定まり $G(X')\subset G(X)$ である。 $E(X)$ が定まる式 $E$ に対して、 $X'$ によらず $w(E(X'))\le L_Eh$ を満たす実数 $L_E\ge0$ を、式の構成に関する帰納法で定める。 $E=\xi_i$ ならば $w(E(X'))=w(X'_i)\le h$ であり、 $L_E=1$ と取る。 $E$ が定数ならば $w(E(X'))=0$ であり、 $L_E=0$ と取る。

$E=(E'\circ E'')$ とし、 $E'$ と $E''$ について主張が成り立つとする。 $A:=E'(X')$ 、 $B:=E''(X')$ と置くと、 $A\subset E'(X)$ かつ $B\subset E''(X)$ である。 $\circ\in\{+,-\}$ ならば、§E20.36 定理 2.3 (1)により $w(E(X'))=w(A)+w(B)\le(L_{E'}+L_{E''})h$ である。 $\circ=\cdot$ ならば、主張 3.2.1により

w(E(X'))\le\operatorname{mag}E'(X)\,L_{E''}h+\operatorname{mag}E''(X)\,L_{E'}h

である。 $\circ={/}$ ならば、 $0\notin E''(X)$ であるから $\mu:=\min\{|\inf E''(X)|,\ |\sup E''(X)|\}>0$ であり、 $E''(X)$ の元 $y$ はすべて同符号で $|y|\ge\mu$ を満たす。 $B=[\beta_1,\beta_2]$ と書くと、§E20.36 定理 2.3 (1)により $A/B=A\cdot[1/\beta_2,1/\beta_1]$ であり、 $\beta_1\beta_2\ge\mu^2$ から

w([1/\beta_2,1/\beta_1])=\frac{\beta_2-\beta_1}{\beta_1\beta_2}\le\frac{w(B)}{\mu^2},\qquad\operatorname{mag}[1/\beta_2,1/\beta_1]\le\frac1\mu

である。主張 3.2.1により $w(E(X'))\le\bigl(\operatorname{mag}E'(X)\,L_{E''}/\mu^2+L_{E'}/\mu\bigr)h$ である。いずれの場合も係数は $X'$ によらない。▨

命題 3.3. $n\in\NN$ とし、 $E$ を $n$ 変数の式、 $y\in\R^n$ とする。 $\R^n$ の箱の列 $(X^{(k)})_{k\in\N}$ が、任意の $k$ で $y\in X^{(k)}\subset X^{(0)}$ を満たし、 $E(X^{(0)})$ が定まり、任意の実数 $\varepsilon>0$ に対して $\max_iw(X^{(k)}_i)<\varepsilon$ を満たす $k$ が存在するとする。このとき $y\in D_E$ である。 $f_E(y)\ne0$ ならば、 $0\notin E(X^{(k)})$ を満たす $k$ が存在し、そのような任意の $k$ について $f_E(y)$ は $\inf E(X^{(k)})$ と同符号である。 $E$ の定数と各 $X^{(k)}$ の端点が有理数ならば、 $E(X^{(k)})$ の端点は有理数の四則演算と比較の有限回で得られる。

証明.§E20.36 定理 4.2 (1)と§E20.36 定理 4.2 (2)により、 $X^{(0)}\subset D_E$ であり、各 $E(X^{(k)})$ が定まって $f_E(y)\in E(X^{(k)})$ である。 $f_E(y)\ne0$ とし、補題 3.2の $L$ を $X^{(0)}$ について取る。 $\varepsilon:=|f_E(y)|/(L+1)$ に対して $\max_iw(X^{(k)}_i)<\varepsilon$ を満たす $k$ を取ると、 $w(E(X^{(k)}))\le L\varepsilon<|f_E(y)|$ である。 $0\in E(X^{(k)})$ と仮定すると、§E20.36 補題 1.2 (2)を $\hat y=0$ で用いて $|f_E(y)|\le w(E(X^{(k)}))$ となり、 $w(E(X^{(k)}))<|f_E(y)|$ に反する。したがって $0\notin E(X^{(k)})$ である。 $0\notin E(X^{(k)})$ を満たす $k$ について、§E20.36 命題 7.1を $S=\{y\}$ に適用すると、 $f_E(y)$ は $\inf E(X^{(k)})$ と同符号である。端点が有理数の場合の主張は、§E20.36 定理 2.3 (1)の端点の式から従う。▨

系 3.4. $(p,a,b)$ を $\alpha$ の表示、 $(a_k,b_k)_{k\in\N}$ をその精密化列とし、 $r=\sum_{i=0}^sc_ix^i\in\Q[x]$ が $r(\alpha)\ne0$ を満たすとする。一変数の式を $E^{(s)}:=c_s$ 、 $0\le i<s$ について $E^{(i)}:=E^{(i+1)}\cdot\xi_1+c_i$ で定め、 $E_r:=E^{(0)}$ と置く。 $0\notin E_r([a_k,b_k])$ を満たす $k$ が存在し、そのような任意の $k$ について $r(\alpha)$ は $\inf E_r([a_k,b_k])$ と同符号である。 $p=m_{\alpha,\Q}$ であり $r$ が零でなく $\deg r<\deg p$ を満たすならば、命題 3.1 (3)により $r(\alpha)\ne0$ である。

証明. $E_r$ は除算を含まないので、任意の箱 $X$ で $E_r(X)$ が定まり、 $D_{E_r}=\R$ である。 $i$ に関する下向きの帰納法により $f_{E^{(i)}}(x)=\sum_{j=i}^sc_jx^{j-i}$ であるから、 $f_{E_r}(x)=r(x)$ である。命題 1.3 (2)により、 $\alpha\in[a_k,b_k]\subset[a_0,b_0]$ であり、任意の実数 $\varepsilon>0$ に対して $b_k-a_k<\varepsilon$ を満たす $k$ が存在するので、命題 3.3を $y=\alpha$ 、 $X^{(k)}=[a_k,b_k]$ に適用すると主張を得る。▨

定義 4.1. $A$ を単位元をもつ可換環、 $n\in\NN$ とし、 $M=(m_{ij})$ を成分が $A$ に属する $n$ 次正方行列とする。

\det M:=\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)\,m_{1\sigma(1)}m_{2\sigma(2)}\cdots m_{n\sigma(n)}

と定める。ここで $\operatorname{sgn}(\sigma)\in\{1,-1\}$ は $A$ の元 $1$ または $-1$ とみなす。

補題 4.2. $A$ を単位元をもつ可換環、 $M=(m_{ij})$ を成分が $A$ に属する $n$ 次正方行列とする。

$\psi\colon A\to A'$ を単位元を保つ環準同型とし、 $\psi(M):=(\psi(m_{ij}))$ と置くと、 $\det\psi(M)=\psi(\det M)$ である。
$\det M^\top=\det M$ である。
$\det M$ は各行と各列について $A$ -線形である。二つの行または二つの列を入れ替えると $\det M$ は $-1$ 倍になり、ある行に他の行の $c$ 倍（ $c\in A$ ）を加えても、ある列に他の列の $c$ 倍を加えても、 $\det M$ は変わらない。
$i>j$ ならば $m_{ij}=0$ であるとき、 $\det M=m_{11}m_{22}\cdots m_{nn}$ である。

証明.(1)は、 $\psi$ が和と積と $\pm1$ を保つことから従う。(2)、(3)、(4)の証明は演習とする（問題 8.1）。▨

命題 4.3. $F$ を体とし、 $M$ を成分が $F$ に属する $n$ 次正方行列とする。 $\det M=0$ であることと、 $Mx=0$ を満たす零でない $x\in F^n$ が存在することは同値である。

証明. $M_0:=M$ と置き、 $1\le k\le n$ について $M_{k-1}$ から $M_k$ を次のように定める。 $M_{k-1}$ の第 $k$ 列の第 $k$ 行以下の成分がすべて零ならば $M_k:=M_{k-1}$ とする。そうでなければ、第 $k$ 列の成分が零でない第 $i$ 行（ $i\ge k$ ）を一つ取って第 $k$ 行と入れ替え、得られた行列の $(k,k)$ 成分を $\pi$ として、各 $i>k$ について第 $i$ 行に第 $k$ 行の $-\pi^{-1}\cdot(\text{第 }i\text{ 行の第 }k\text{ 成分})$ 倍を加えた行列を $M_k$ とする。第 $k$ 段の操作は、第 $k$ 行以下の二つの行の入れ替えと、第 $k$ 行より下の行に第 $k$ 行の定数倍を加える操作だけである。 $j<k$ について $M_{k-1}$ の第 $j$ 列の第 $j$ 行より下の成分が零であるとき、第 $k$ 行以下の行の第 $j$ 成分はすべて零であるから、第 $k$ 段の操作の後も零である。第 $k$ 段の後、第 $k$ 列の第 $k$ 行より下の成分は零である。したがって $k$ に関する帰納法により、 $M_k$ の第 $1$ 列から第 $k$ 列までは対角成分より下の成分が零である。 $U:=M_n$ と置くと $U$ は上三角行列であり、補題 4.2 (3)により $\det U=\pm\det M$ である。行の入れ替えと、ある行に他の行の定数倍を加える操作は、それぞれ同じ入れ替えと逆符号の定数倍の加算で元に戻るので、 $Mx=0$ の解の集合と $Ux=0$ の解の集合は一致する。補題 4.2 (4)により $\det U=u_{11}\cdots u_{nn}$ である。

すべての $i$ で $u_{ii}\ne0$ ならば $\det M\ne0$ である。このとき $Ux=0$ とすると、第 $n$ 行から $u_{nn}x_n=0$ であり、 $i$ に関する下向きの帰納法により、第 $i$ 行 $u_{ii}x_i+\sum_{j>i}u_{ij}x_j=0$ と $x_j=0$ （ $j>i$ ）から $x_i=0$ である。したがって零でない解は存在しない。

$u_{ii}=0$ を満たす $i$ が存在するならば $\det M=0$ である。そのような最小の $i$ を $s$ とすると、 $i<s$ ならば $u_{ii}\ne0$ である。 $x_s:=1$ 、 $j>s$ について $x_j:=0$ と置き、 $i=s-1,\ldots,1$ の順に $x_i:=-u_{ii}^{-1}\sum_{j=i+1}^su_{ij}x_j$ と定める。 $i<s$ ならば第 $i$ 行の値は $u_{ii}x_i+\sum_{j=i+1}^su_{ij}x_j=0$ であり、第 $s$ 行の値は $u_{ss}x_s+\sum_{j>s}u_{sj}x_j=0$ であり、 $i>s$ ならば第 $i$ 行の値は $j\ge i>s$ の $x_j=0$ だけを含むので $0$ である。したがって $x\ne0$ かつ $Ux=0$ であり、 $Mx=0$ である。▨

定義 4.4. $A$ を単位元をもつ可換環とし、 $m,n\in\N$ が $m+n\ge1$ を満たすとする。 $N:=m+n$ と置く。次数が $N-1$ 以下の $h=\sum_{i=0}^{N-1}h_ix^i\in A[x]$ に対して、 $(h_{N-1},h_{N-2},\ldots,h_0)$ を $h$ の係数ベクトルという。

$f=\sum_{i=0}^ma_ix^i$ と $g=\sum_{j=0}^nb_jx^j$ を $A[x]$ の元とする。 $1\le j\le n$ に対して第 $j$ 列が $x^{n-j}f$ の係数ベクトルであり、 $1\le j\le m$ に対して第 $n+j$ 列が $x^{m-j}g$ の係数ベクトルである $N$ 次正方行列を $S_{m,n}(f,g)$ と書き、 $f,g$ の Sylvester 行列 (Sylvester matrix) という。
$F$ を体とし、零でない $f,g\in F[x]$ が $\deg f+\deg g\ge1$ を満たすとする。 $\operatorname{Res}(f,g):=\det S_{\deg f,\deg g}(f,g)$ を $f$ と $g$ の終結式 (resultant) という。 $f$ または $g$ が零である場合と、 $f,g$ がともに定数である場合には、終結式を定めない。

定理 4.5. $F$ を体とし、零でない $f,g\in F[x]$ が $m:=\deg f$ 、 $n:=\deg g$ について $m+n\ge1$ を満たすとする。次の四条件は同値である。

$\operatorname{Res}(f,g)=0$ である。
$u=0$ または $\deg u<n$ を満たす $u\in F[x]$ と、 $v=0$ または $\deg v<m$ を満たす $v\in F[x]$ が存在して、 $(u,v)\ne(0,0)$ かつ $uf+vg=0$ である。
$F[x]$ における $f$ と $g$ のモニック最大公約元の次数は $1$ 以上である。
体 $L$ と、 $F$ を部分体とする $L$ の元 $\gamma$ が存在して、 $f(\gamma)=g(\gamma)=0$ である。

証明.(1) $\Leftrightarrow$ (2)を示す。 $c\in F^{m+n}$ に対して $u_c:=\sum_{j=1}^nc_jx^{n-j}$ 、 $v_c:=\sum_{j=1}^mc_{n+j}x^{m-j}$ と置くと、 $c\mapsto(u_c,v_c)$ は $F^{m+n}$ から(2)の次数条件を満たす組 $(u,v)$ の全体への全単射である。定義 4.4 (1)により $S_{m,n}(f,g)c$ は $u_cf+v_cg$ の係数ベクトルであるから、 $S_{m,n}(f,g)c=0$ であることと $u_cf+v_cg=0$ であることは同値である。命題 4.3により主張が成り立つ。

(3) $\Rightarrow$ (2)を示す。モニック最大公約元 $D$ の次数が $1$ 以上であるとし、 $f=Df_1$ 、 $g=Dg_1$ と書く。§E6.28 命題 1.2により $\deg g_1=n-\deg D<n$ 、 $\deg f_1<m$ であり、 $g_1\ne0$ である。 $(u,v):=(g_1,-f_1)$ は $uf+vg=g_1Df_1-f_1Dg_1=0$ を満たす。

(2) $\Rightarrow$ (3)を示す。(2)の $(u,v)$ を取り、モニック最大公約元が $1$ であると仮定する。§E6.28 命題 3.1により $af+bg=1$ を満たす $a,b\in F[x]$ が存在し、 $uf=-vg$ から $u=u(af+bg)=g(bu-av)$ である。 $u\ne0$ ならば§E6.28 命題 1.2により $\deg u\ge n$ となり、 $u$ の次数条件に反する。したがって $u=0$ であり、 $vg=0$ と $g\ne0$ から§E6.28 命題 1.2により $v=0$ となって、 $(u,v)\ne(0,0)$ に反する。したがってモニック最大公約元の次数は $1$ 以上である。

(3) $\Rightarrow$ (4)を示す。モニック最大公約元 $D$ のモニック既約因子 $p$ を§E6.28 定理 5.1により取る。§E6.28 定理 6.1により $L:=F[x]/(p)$ は体であり、 $p$ は定数でないので $c\mapsto c+(p)$ は $F$ から $L$ への単射な環準同型である。これにより $F$ を $L$ の部分体とみなし、 $\gamma:=x+(p)$ と置くと、 $h\in F[x]$ に対して $h(\gamma)=h+(p)$ である。 $p$ は $D$ を割り切り、 $D$ は $f$ と $g$ を割り切るので、 $f(\gamma)=g(\gamma)=0$ である。

(4) $\Rightarrow$ (1)を示す。§E6.28 定理 4.2を $L[x]$ で適用すると、 $x-\gamma$ は $L[x]$ において $f$ と $g$ を割り切るので、 $L[x]$ における $f$ と $g$ のモニック最大公約元の次数は $1$ 以上である。 $f,g$ の $L[x]$ における次数は $m,n$ であるから、(3) $\Rightarrow$ (2)と(1) $\Leftrightarrow$ (2)を $L$ で適用すると $\det S_{m,n}(f,g)=0$ である。この行列の成分は $F$ に属するので $\operatorname{Res}(f,g)=0$ である。▨

定義 4.6. $F$ を、任意の正の整数 $k$ に対して $k\cdot1\ne0$ を満たす体とする。 $f=\sum_{i=0}^ma_ix^i\in F[x]$ に対して $f':=\sum_{i=1}^mia_ix^{i-1}$ と置く。 $\deg f=m\ge1$ ならば、 $f'$ の $x^{m-1}$ の係数 $ma_m$ は零でないので $\deg f'=m-1$ であり、

\operatorname{disc}(f):=(-1)^{m(m-1)/2}\operatorname{lc}(f)^{-1}\operatorname{Res}(f,f')

を $f$ の判別式 (discriminant) という。

命題 4.7. $F$ を定義 4.6の体とし、 $f\in F[x]$ の次数を $1$ 以上とする。 $\operatorname{disc}(f)=0$ であることは、 $F[x]$ における $f$ と $f'$ のモニック最大公約元の次数が $1$ 以上であることと同値であり、 $F$ を部分体とするある体 $L$ のある元 $\gamma$ で $f(\gamma)=f'(\gamma)=0$ となることとも同値である。 $F$ が $\R$ の部分体ならば、これらは $f$ が平方自由でないことと同値である。

証明. $\deg f+\deg f'\ge1$ であり $\operatorname{lc}(f)\ne0$ であるから、前半は定理 4.5による。 $F$ が $\R$ の部分体ならば $f'$ は§E20.39 補題 1.2の導関数に等しく、§E20.39 定義 3.1により $f$ が平方自由であることは $f$ と $f'$ のモニック最大公約元が $1$ であることである。▨

例 4.8.

体 $F$ の元 $\alpha,\beta$ について、 $S_{1,1}(x-\alpha,x-\beta)$ の第 $1$ 列は $(1,-\alpha)$ 、第 $2$ 列は $(1,-\beta)$ であり、 $\operatorname{Res}(x-\alpha,x-\beta)=-\beta+\alpha=\alpha-\beta$ である。
$\deg f=m\ge1$ 、 $c\in F$ が零でないとき、 $S_{m,0}(f,c)$ の第 $j$ 列は $cx^{m-j}$ の係数ベクトルであるから $S_{m,0}(f,c)=cI_m$ であり、補題 4.2 (4)により $\operatorname{Res}(f,c)=c^m$ である。
定義 4.6の体 $F$ の元 $b,c$ について $f=x^2+bx+c$ とすると $f'=2x+b$ であり、 $S_{2,1}(f,f')=\begin{pmatrix}1&2&0\\b&b&2\\c&0&b\end{pmatrix},\qquad\operatorname{Res}(f,f')=b^2-2b^2+4c=4c-b^2$ であるから、 $\operatorname{disc}(f)=-(4c-b^2)=b^2-4c$ である。

命題 4.9. $A$ を単位元をもつ可換環、 $F$ を体、 $\psi\colon A\to F$ を単位元を保つ環準同型とする。 $m,n\in\N$ が $m+n\ge1$ を満たし、 $f=\sum_{i=0}^ma_ix^i$ 、 $g=\sum_{j=0}^nb_jx^j\in A[x]$ とし、 $\psi f:=\sum_i\psi(a_i)x^i$ 、 $\psi g:=\sum_j\psi(b_j)x^j$ と置く。

$\psi(\det S_{m,n}(f,g))=\det S_{m,n}(\psi f,\psi g)$ である。
$\psi(a_m)\ne0$ かつ $\psi(b_n)\ne0$ ならば、 $\psi(\det S_{m,n}(f,g))=\operatorname{Res}(\psi f,\psi g)$ である。

証明. $S_{m,n}(f,g)$ の成分は $f,g$ の係数または $0$ であるから、 $\psi$ を成分ごとに施した行列は $S_{m,n}(\psi f,\psi g)$ であり、補題 4.2 (1)により(1)が成り立つ。(2)の仮定の下では $\deg\psi f=m$ 、 $\deg\psi g=n$ であるから、右辺は定義 4.4 (2)により $\operatorname{Res}(\psi f,\psi g)$ である。▨

例 4.10. $A=\Q[t]$ 、 $f=tx+1$ 、 $g=x$ とすると $S_{1,1}(f,g)=\begin{pmatrix}t&1\\1&0\end{pmatrix}$ であり、 $\det S_{1,1}(f,g)=-1$ である。 $\psi\colon\Q[t]\to\Q$ を $t\mapsto0$ の代入とすると $\psi f=1$ の次数は $0$ であり、 $S_{0,1}(1,x)$ は第 $1$ 列が $1$ の係数ベクトル $(1)$ である $1$ 次正方行列であるから、 $\operatorname{Res}(1,x)=1\ne-1$ である。したがって $\psi(a_m)=0$ の場合には、 $\psi(\det S_{m,n}(f,g))$ は $\operatorname{Res}(\psi f,\psi g)$ に等しいとは限らない。 $f=t$ のように $\psi f=0$ となる場合には、終結式は定まらない。

命題 5.1. $p,q\in\Q[x]$ の次数を $m:=\deg p\ge1$ 、 $n:=\deg q\ge1$ とし、 $q=\sum_{j=0}^nq_jx^j$ と書く。 $\Q[t][x]$ の元

g_+:=\sum_{j=0}^nq_j(t-x)^j,\qquad g_\times:=\sum_{j=0}^nq_jt^jx^{n-j}

に対して、 $R_+:=\det S_{m,n}(p,g_+)$ 、 $R_\times:=\det S_{m,n}(p,g_\times)$ と置く。これらは $\Q[t]$ の元である。

$R_+$ は次数 $mn$ の多項式であり、 $p$ の任意の実根 $\alpha$ と $q$ の任意の実根 $\beta$ に対して $R_+(\alpha+\beta)=0$ である。
$q(0)\ne0$ ならば、 $R_\times$ は次数 $mn$ の多項式であり、 $p$ の任意の実根 $\alpha$ と $q$ の任意の実根 $\beta$ に対して $R_\times(\alpha\beta)=0$ である。

証明.

主張 5.1.1. $g\in\Q[t][x]$ の $x$ についての次数が $n$ 以下であり、各 $x^i$ の係数の $t$ についての次数が $n$ 以下であり、 $t^nx^0$ の係数が零でない有理数 $c$ 、 $i\ge1$ に対する $t^nx^i$ の係数が $0$ であるとする。このとき $\det S_{m,n}(p,g)$ は $t$ について次数 $mn$ の多項式である。

証明.定義 4.1の和の各項は、各列からちょうど一つずつ成分を取った積である。第 $1$ 列から第 $n$ 列の成分は $p$ の係数または $0$ であり、第 $n+j$ 列（ $1\le j\le m$ ）の成分は $x^{m-j}g$ の係数であって $t$ について次数が $n$ 以下である。したがって各項の次数は $mn$ 以下であり、その $t^{mn}$ の係数は、第 $1$ 列から第 $n$ 列の成分と、第 $n+j$ 列の成分の $t^n$ の係数との積である。第 $n+j$ 列の成分の $t^n$ の係数を並べたものは $cx^{m-j}$ の係数ベクトルであるから、 $\det S_{m,n}(p,g)$ の $t^{mn}$ の係数は、 $S_{m,n}(p,g)$ の第 $n+j$ 列を $cx^{m-j}$ の係数ベクトルに取り替えた行列 $H$ の行列式である。 $c'\in\Q^{m+n}$ に対して $u:=\sum_{j=1}^nc'_jx^{n-j}$ 、 $v:=\sum_{j=1}^mc'_{n+j}x^{m-j}$ と置くと、 $Hc'$ は $up+cv$ の係数ベクトルである。 $up+cv=0$ かつ $u\ne0$ ならば、§E6.28 命題 1.2により $\deg(up)\ge m$ であり、 $cv$ は零であるか次数が $m$ 未満であるから両立しない。したがって $u=0$ であり、 $cv=0$ から $v=0$ であるので $c'=0$ である。命題 4.3により $\det H\ne0$ である。▨

$(t-x)^j$ の $t$ についての次数は $j$ であり、 $t^n$ の項をもつのは $j=n$ の場合だけで、その係数は $1$ である。したがって $g_+$ は $c=q_n$ として主張 5.1.1の仮定を満たす。 $g_\times$ の $x^{n-j}$ の係数は $q_jt^j$ であるから、 $g_\times$ も $c=q_n$ として仮定を満たす。よって $R_+$ と $R_\times$ の次数は $mn$ である。

実数 $t_0$ に対して、 $t\mapsto t_0$ の代入 $\ev_{t_0}\colon\Q[t]\to\R$ を考える。 $p$ の係数は有理数であるから $\ev_{t_0}$ で変わらず、 $\ev_{t_0}g_+=q(t_0-x)$ の $x^n$ の係数は $(-1)^nq_n\ne0$ であるから、命題 4.9 (2)により $R_+(t_0)=\operatorname{Res}(p,q(t_0-x))$ である。 $t_0=\alpha+\beta$ ならば、 $p(\alpha)=0$ かつ $q(t_0-\alpha)=q(\beta)=0$ であるから、定理 4.5 (4) $\Rightarrow$ (1)を $F=L=\R$ で適用して $R_+(\alpha+\beta)=0$ である。 $q(0)\ne0$ ならば $\ev_{t_0}g_\times$ の $x^n$ の係数は $q_0\ne0$ であり、同様に $R_\times(t_0)=\operatorname{Res}\bigl(p,\sum_jq_jt_0^jx^{n-j}\bigr)$ である。 $t_0=\alpha\beta$ ならば $\sum_jq_j(\alpha\beta)^j\alpha^{n-j}=\alpha^nq(\beta)=0$ であるから、 $x=\alpha$ は共通根であり $R_\times(\alpha\beta)=0$ である。▨

補題 5.2. $\gamma$ を実数、 $P\in\Q[x]$ を $P(\gamma)=0$ を満たす零でない多項式とする。有理数を端点とする閉区間の列 $(J_k)_{k\in\N}$ が、任意の $k$ で $\gamma\in J_k$ を満たし、任意の実数 $\varepsilon>0$ に対して $w(J_k)<\varepsilon$ を満たす $k$ をもつとする。有理数 $c_\ell<d_\ell$ （ $1\le\ell\le t$ ）が、 $P(c_\ell)P(d_\ell)\ne0$ を満たし、各 $(c_\ell,d_\ell)$ が $P$ の実根をちょうど一つ含み、 $P$ の実根がすべていずれかの $(c_\ell,d_\ell)$ に属するとする。 $\operatorname{lc}(P)^{-1}P$ に§E20.39 定理 3.4 (2)を適用して得る $w_1$ を考える。このとき $J_k\subset(c_\ell,d_\ell)$ を満たす $k$ と $\ell$ が存在し、そのような任意の $k,\ell$ について $(w_1,c_\ell,d_\ell)$ は $\gamma$ の表示である。

証明. $P$ は零でなく実根 $\gamma$ をもつので次数が $1$ 以上である。仮定により $\gamma\in(c_\ell,d_\ell)$ を満たす $\ell$ があり、 $\eta:=\min\{\gamma-c_\ell,\ d_\ell-\gamma\}>0$ と置く。 $w(J_k)<\eta$ を満たす $k$ を取ると、 $y\in J_k$ は§E20.36 補題 1.2 (2)により $|y-\gamma|\le w(J_k)<\eta$ を満たすので、 $J_k\subset(c_\ell,d_\ell)$ である。逆に $J_k\subset(c_\ell,d_\ell)$ ならば $\gamma\in(c_\ell,d_\ell)$ である。補題 1.2 (2)により $w_1$ は平方自由であり、 $w_1$ と $P$ の実根は一致するので、 $w_1(c_\ell)w_1(d_\ell)\ne0$ であり、 $(c_\ell,d_\ell)$ に属する $w_1$ の実根は $\gamma$ だけである。したがって $(w_1,c_\ell,d_\ell)$ は $\gamma$ の表示である。▨

定理 5.3. $(p,a,b)$ を $\alpha$ の表示、 $(q,c,d)$ を $\beta$ の表示とし、 $(a_k,b_k)_{k\in\N}$ と $(c_k,d_k)_{k\in\N}$ をそれぞれの精密化列、 $m:=\deg p$ 、 $p=\sum_{i=0}^mp_ix^i$ とする。次の各項の $P$ は零でない $\Q[x]$ の元であって、各項の実数 $\gamma$ について $P(\gamma)=0$ を満たし、 $(J_k)_{k\in\N}$ は $\gamma$ について補題 5.2の仮定を満たす。

$\gamma=-\alpha$ 、 $P:=p(-x)$ 、 $J_k:=[-b_k,-a_k]$ である。
$\gamma=\alpha+\beta$ 、 $P$ は命題 5.1の $R_+$ の変数を $x$ に替えたもの、 $J_k:=[a_k,b_k]+[c_k,d_k]$ である。
$\alpha\ne0$ かつ $\beta\ne0$ とする。 $q(0)=0$ ならば $\tilde q:=q/x$ 、 $q(0)\ne0$ ならば $\tilde q:=q$ と置く。 $\gamma=\alpha\beta$ 、 $P$ は $p$ と $\tilde q$ から命題 5.1の $R_\times$ の変数を $x$ に替えたもの、 $J_k:=[a_k,b_k]\cdot[c_k,d_k]$ である。
$\alpha\ne0$ とする。 $0\notin[a_{k_0},b_{k_0}]$ を満たす $k_0$ が存在する。 $\gamma=1/\alpha$ 、 $P:=\sum_{i=0}^mp_ix^{m-i}$ 、 $J_k:=[1,1]/[a_{k_0+k},b_{k_0+k}]$ である。

$\alpha=0$ であるかどうかは、命題 1.3 (3)により $\alpha$ を有理数 $0$ と比較して判定され、 $\alpha=0$ または $\beta=0$ ならば $\alpha\beta=0$ は $(x,-1,1)$ で表される。したがって $-\alpha$ 、 $\alpha+\beta$ 、 $\alpha\beta$ 、 $\alpha\ne0$ の場合の $1/\alpha$ の表示は、§E20.39 系 6.4を $P$ と $\tau=1$ に適用した出力と補題 5.2により、有理数の四則演算と比較の有限回で得られる。

証明.命題 1.3 (2)により、 $\alpha\in[a_k,b_k]\subset[a_0,b_0]$ 、 $\beta\in[c_k,d_k]\subset[c_0,d_0]$ であり、 $b_k-a_k$ と $d_k-c_k$ は $k\ge1$ で $2^{-k}$ 以下であるから、任意の実数 $\varepsilon>0$ に対して、 $b_k-a_k<\varepsilon$ かつ $d_k-c_k<\varepsilon$ を満たす $k$ が存在する。

(1)を示す。 $P$ の係数は $p$ の係数に $\pm1$ を掛けたものであるから $P\ne0$ であり、 $P(-\alpha)=p(\alpha)=0$ である。 $-\alpha\in[-b_k,-a_k]$ であり、 $w(J_k)=b_k-a_k$ である。

(2)を示す。命題 5.1 (1)により $P\ne0$ かつ $P(\alpha+\beta)=0$ である。§E20.36 定理 2.3 (2)により $\alpha+\beta\in J_k$ であり、§E20.36 定理 2.3 (1)により $w(J_k)=(b_k-a_k)+(d_k-c_k)$ である。

(3)を示す。 $q(0)=0$ ならば§E6.28 定理 4.2により $x$ は $q$ を割り切り、§E20.39 補題 3.2 (2)により $\operatorname{mult}_0(q)=1$ であるから $x^2$ は $q$ を割り切らず、§E6.28 定理 4.2により $\tilde q(0)\ne0$ である。どちらの場合も $\tilde q(0)\ne0$ である。 $\tilde q=q/x$ の場合は $\beta\tilde q(\beta)=q(\beta)=0$ と $\beta\ne0$ から、 $\tilde q=q$ の場合は $q(\beta)=0$ から、 $\tilde q(\beta)=0$ であるので、 $\tilde q$ の次数は $1$ 以上である。命題 5.1 (2)により $P\ne0$ かつ $P(\alpha\beta)=0$ である。§E20.36 定理 2.3 (2)により $\alpha\beta\in J_k$ である。二変数の式 $\xi_1\cdot\xi_2$ と箱 $[a_0,b_0]\times[c_0,d_0]$ に補題 3.2を適用して得る $L$ について、 $w(J_k)\le L\max\{b_k-a_k,\ d_k-c_k\}$ である。

(4)を示す。 $|\alpha|>0$ であるから、 $b_{k_0}-a_{k_0}<|\alpha|$ を満たす $k_0$ が存在する。 $0\in[a_{k_0},b_{k_0}]$ ならば、§E20.36 補題 1.2 (2)により $|\alpha|\le b_{k_0}-a_{k_0}$ となって $b_{k_0}-a_{k_0}<|\alpha|$ に反するので、 $0\notin[a_{k_0},b_{k_0}]$ である。 $k\ge0$ について $[a_{k_0+k},b_{k_0+k}]\subset[a_{k_0},b_{k_0}]$ であるから $J_k$ は定まる。 $P$ の定数項は $p_m\ne0$ であるから $P\ne0$ であり、 $P(1/\alpha)=\alpha^{-m}\sum_ip_i\alpha^i=\alpha^{-m}p(\alpha)=0$ である。§E20.36 定理 2.3 (2)により $1/\alpha\in J_k$ である。一変数の式 $1/\xi_1$ と箱 $[a_{k_0},b_{k_0}]$ に補題 3.2を適用して得る $L$ について、 $w(J_k)\le L(b_{k_0+k}-a_{k_0+k})$ である。

最後の主張は、§E20.39 系 6.4 (1)と§E20.39 系 6.4 (2)により§E20.39 系 6.4の出力が補題 5.2の区間の仮定を満たすこと、 $J_k$ の端点が有理数の四則演算で得られること、補題 5.2の $k$ と $\ell$ を $k=0,1,2,\ldots$ の順に有理数の比較で探す手続きが停止することから従う。▨

例 5.4. $x^2-2$ と $2x$ のモニック最大公約元は $2x$ を割り切るので $1$ または $x$ であり、 $x$ は $x^2-2$ を割り切らないので $1$ である。したがって $x^2-2$ は平方自由であり、その実根 $\pm\sqrt2$ のうち $(1,2)$ に属するのは $\sqrt2$ だけであるから、 $(x^2-2,1,2)$ は $\sqrt2$ の表示である。同様に $(x^2-3,1,2)$ は $\sqrt3$ の表示である。 $g_+=(t-x)^2-3=x^2-2tx+t^2-3$ であり、 $s:=t^2-3$ と置くと

S_{2,2}(x^2-2,g_+)=\begin{pmatrix}1&0&1&0\\0&1&-2t&1\\-2&0&s&-2t\\0&-2&0&s\end{pmatrix}

である。第 $3$ 列から第 $1$ 列を、第 $4$ 列から第 $2$ 列を引くと、補題 4.2 (3)により行列式は変わらず、第 $1$ 行は $(1,0,0,0)$ になる。定義 4.1の和で $\sigma(1)=1$ の項だけが残るので、

R_+=\det\begin{pmatrix}1&-2t&0\\0&s+2&-2t\\-2&0&s+2\end{pmatrix}=(s+2)^2-8t^2=t^4-10t^2+1

である。 $P:=x^4-10x^2+1=(x^2-5)^2-24$ と置くと $P'=4x(x^2-5)$ である。 $P$ と $P'$ のモニック既約な公約元 $\pi$ は $x$ であるか $x^2-5$ を割り切るが、 $P(0)=1$ であるから $\pi\ne x$ であり、 $\pi$ が $x^2-5$ を割り切るならば $\pi$ は $24=(x^2-5)^2-P$ を割り切るので、 $\pi$ は存在しない。したがって $P$ と $P'$ のモニック最大公約元は $1$ であり、 $P$ は平方自由であって、補題 5.2の $w_1$ は $P$ である。 $P$ の実根は $x^2=5\pm2\sqrt6$ を満たす。 $19/4<2\sqrt6<79/16$ から $5-2\sqrt6\in(1/16,1/4)$ であり、 $4<2\sqrt6<11$ から $5+2\sqrt6\in(9,16)$ であるので、 $(-4,-3)$ 、 $(-1/2,-1/4)$ 、 $(1/4,1/2)$ 、 $(3,4)$ はそれぞれ $P$ の実根をちょうど一つ含み、 $P$ の実根はすべてこれらに属する。 $P(\pm3)=-8$ 、 $P(\pm4)=97$ 、 $P(\pm1/4)=97/256$ 、 $P(\pm1/2)=-23/16$ であるから、端点で $P$ は零にならない。 $\sqrt2$ と $\sqrt3$ の精密化列の第 $4$ 項は $(11/8,23/16)$ と $(27/16,7/4)$ であり、 $J_4=[49/16,51/16]\subset(3,4)$ である。したがって $(x^4-10x^2+1,3,4)$ は $\sqrt2+\sqrt3$ の表示である。 $J_0,\ldots,J_3$ は $[2,4]$ 、 $[5/2,7/2]$ 、 $[11/4,13/4]$ 、 $[3,13/4]$ であり、いずれも四つの開区間のどれにも含まれない。

命題 6.1. $s\in\N$ とし、実代数的数 $\gamma_1,\ldots,\gamma_s$ の表示が与えられているとする。 $K:=\Q(\gamma_1,\ldots,\gamma_s)\subset\R$ と置き、 $K[x]$ の元は、各係数の表示を並べた有限列によって与えられるとする。

$K$ の元はすべて実代数的数である。
$h,g\in K[x]$ とする。 $g\ne0$ ならば、 $g$ の次数と最高次係数、 $h$ の $g$ による除法の商と剰余が得られる。 $h\ne0$ かつ $g\ne0$ ならば、 $h$ と $g$ のモニック最大公約元 $D$ と、 $D=uh+vg$ を満たす $u,v\in K[x]$ が得られる。 $h$ の次数が $1$ 以上ならば、 $\operatorname{lc}(h)^{-1}h$ に§E20.39 定理 3.4 (2)を適用して得る $w_i,f_i$ が得られる。 $h$ が平方自由ならば、 $h$ の Sturm 列と、有理数 $c$ に対する $V(c)$ と $\chi_h(c)$ が得られる。いずれも、定理 5.3と命題 1.3 (3)の有限回の適用で得られ、得られる多項式は $K[x]$ に属する。
$q\in K[x]$ を平方自由とし、 $V$ を $q$ の Sturm 列から定めたものとする。有理数 $a<b$ が $q(a)q(b)\ne0$ を満たすならば、 $N_q((a,b))=V(a)-V(b)$ である。

証明.(1)を示す。各 $\gamma_i$ は $\Q$ 上代数的であるから、§E8.2 定理 4.2により $[K:\Q]$ は有限であり、§E8.2 命題 4.1により $K$ の元はすべて $\Q$ 上代数的である。

(2)を示す。 $K$ の元の和、差、積、零でない元の逆元は $K$ に属し、定理 5.3によりそれらの表示が得られる。 $K$ の元が零であるかどうかは、命題 1.3 (3)によりその元を有理数 $0$ と比較して判定される。したがって、係数を上から順に零と比較して次数と最高次係数が得られる。 $h=0$ または $\deg h<\deg g$ ならば、商は $0$ 、剰余は $h$ である。 $h\ne0$ かつ $\deg h\ge\deg g$ ならば、§E6.28 定理 2.1の存在の証明は最高次項の消去を高々 $\deg h-\deg g+1$ 回繰り返すものであり、各回は $K$ の四則演算と零の判定からなる。§E6.28 命題 3.1の Euclid アルゴリズムは余りの次数が真に減る有限回の除法であり、Bézout 等式の係数は各除法の商から得られる。§E20.39 定理 3.4 (2)により平方因子分解の反復は有限回の最大公約元と剰余が零の除法で停止する。Sturm 列は§E20.39 定義 4.1により有限回の除法で得られ、§E20.39 補題 4.2 (2)により $K[x]$ に属する。有理数 $c$ に対して各 $q_i(c)$ は $K$ の四則演算で得られ、その符号は命題 1.3 (3)により判定されるので、 $V(c)$ と $\chi_h(c)$ が得られる。

(3)は、§E20.39 補題 3.2 (1)と§E20.39 定理 4.3 (3)から従う。▨

命題 6.2. $K$ を命題 6.1の体とし、 $h=\sum_{i=0}^nc_ix^i\in K[x]$ が $n\ge1$ と $c_n\ne0$ を満たすとする。 $0\le i<n$ について $|c_i/c_n|$ の表示を $(p_i,a_i,b_i)$ とし、 $B:=1+\max\{0,b_0,\ldots,b_{n-1}\}$ と置く。 $B$ は有理数であり、 $h$ の実根はすべて $(-B,B)$ に属し、 $|x|\ge B$ を満たす任意の実数 $x$ に対して $h(x)\ne0$ かつ $\operatorname{sgn}h(x)=\operatorname{sgn}(c_nx^n)$ である。

証明. $|c_i/c_n|$ は $c_i/c_n$ または $-c_i/c_n$ であり、命題 6.1 (2)と命題 1.3 (3)によりその表示が得られる。 $|c_i/c_n|\in(a_i,b_i)$ であるから、§E20.39 命題 2.1 (2)の $M=\max_{i<n}|c_i/c_n|$ は $M<B-1$ を満たし、 $B\ge1+M$ である。 $|x|\ge B$ を満たす実数 $x$ に§E20.39 命題 2.1 (2)を適用すると、 $h(x)\ne0$ かつ $\operatorname{sgn}h(x)=\operatorname{sgn}(c_nx^n)$ である。▨

定義 6.3. $K$ を命題 6.1の体とし、 $q\in K[x]$ を平方自由、 $d:=\deg q$ 、 $V$ を $q$ の Sturm 列から定めたものとする。

有理数 $a<b$ に対して、 $0\le j\le d$ について $s_j:=a+(b-a)\bigl(1/2+j/(4(d+1))\bigr)$ と置く。§E20.39 命題 2.1 (1)により $q$ の実根は高々 $d$ 個であるから、 $q(s_j)\ne0$ を満たす $j$ が存在する。そのような最小の $j$ に対する $s_j$ を $\sigma_q(a,b)$ と書く。
$h=q$ について命題 6.2の $B$ を取る。有理数を端点とする開区間の有限列 $L$ 、 $C$ を次のように更新する。初めに $L:=\bigl((-B,B)\bigr)$ とし、 $C$ を空列とする。 $L$ が空でない間、 $L$ の項 $(a,b)$ を一つ選んで $L$ から除き、 $\nu:=V(a)-V(b)$ を計算する。 $\nu=0$ ならば何も加えず、 $\nu=1$ ならば $(a,b)$ を $C$ に加え、 $\nu\ge2$ ならば $s:=\sigma_q(a,b)$ として $(a,s)$ と $(s,b)$ を $L$ に加える。 $L$ が空になった時点で停止する。
有理数 $a<b$ が $q(a)q(b)\ne0$ と $V(a)-V(b)=1$ を満たすとする。 $(a_0,b_0):=(a,b)$ と置き、 $(a_k,b_k)$ が定まったとき $s:=\sigma_q(a_k,b_k)$ として、 $V(a_k)-V(s)=1$ ならば $(a_{k+1},b_{k+1}):=(a_k,s)$ 、そうでなければ $(a_{k+1},b_{k+1}):=(s,b_k)$ と置く。 $(a_k,b_k)_{k\in\N}$ を $q$ による $(a,b)$ の縮小列 (shrinking sequence) という。有理数 $\tau>0$ に対して、 $a<a_k$ 、 $b_k<b$ 、 $b_k-a_k\le\tau$ を満たす最初の $(a_k,b_k)$ を、幅 $\tau$ の出力という。

定理 6.4.定義 6.3の記号の下で、 $q$ の実根の集合を $Z$ とする。

有理数 $a<b$ に対して、 $s:=\sigma_q(a,b)$ は $q(s)\ne0$ と $a<s<b$ を満たし、 $s-a$ と $b-s$ はいずれも $3(b-a)/4$ 以下である。
定義 6.3 (2)は有限回の更新で停止する。停止したとき、 $C$ の区間は互いに交わらず、端点は $q$ の根でない有理数であり、各区間は $q$ の実根をちょうど一つ含み、 $Z$ の各元は $C$ のある区間に属する。
定義 6.3 (3)の縮小列について、 $(a,b)$ に属する $q$ の実根を $\xi$ とする。任意の $k$ について、 $q(a_k)q(b_k)\ne0$ であり、 $(a_k,b_k)$ に属する $q$ の実根は $\xi$ だけであり、 $[a_{k+1},b_{k+1}]\subset[a_k,b_k]$ かつ $b_k-a_k\le(3/4)^k(b-a)$ であり、任意の実数 $\varepsilon>0$ に対して $b_k-a_k<\varepsilon$ を満たす $k$ が存在する。任意の有理数 $\tau>0$ に対して幅 $\tau$ の出力 $(c',d')$ が存在し、 $[c',d']\subset(a,b)$ である。
$\tau>0$ を有理数とし、(2)の $C$ の各区間に対する幅 $\tau$ の出力を $(c_\ell,d_\ell)$ （ $1\le\ell\le t$ ）とする。閉区間 $[c_\ell,d_\ell]$ は互いに交わらず、 $q(c_\ell)q(d_\ell)\ne0$ かつ $d_\ell-c_\ell\le\tau$ であり、各 $(c_\ell,d_\ell)$ は $q$ の実根をちょうど一つ含み、 $Z$ の各元はある $(c_\ell,d_\ell)$ に属する。

これらの手続きは命題 6.1 (2)の計算の有限回で終わる。

証明.

主張 6.4.1. 任意の実数 $\varepsilon>0$ に対して、 $(3/4)^k<\varepsilon$ を満たす $k\in\N$ が存在する。

証明.§D1.4 命題 2.1により $j>1/\varepsilon$ を満たす正の整数 $j$ が存在する。 $(3/4)^2=9/16<1/2$ であり $2^j>j$ であるから、 $(3/4)^{2j}<2^{-j}<1/j<\varepsilon$ である。▨

(1)を示す。 $0\le j\le d$ に対して $0\le j/(4(d+1))<1/4$ であるから、 $a+(b-a)/2\le s<a+3(b-a)/4$ である。したがって $s-a<3(b-a)/4$ かつ $b-s\le(b-a)/2$ である。 $q(s)\ne0$ は $\sigma_q$ の定義による。

(2)を示す。

主張 6.4.2. 初めの状態と各更新の後で、 $L$ と $C$ に現れる区間は $(-B,B)$ に含まれ、互いに交わらず、端点は $q$ の根でない有理数である。 $C$ の各区間は $q$ の実根をちょうど一つ含む。 $Z$ は $L$ と $C$ の区間の和集合に含まれる。

証明. 初めの状態では命題 6.2により主張が成り立つ。更新の前に主張が成り立つとし、 $L$ から除いた区間を $(a,b)$ とすると、命題 6.1 (3)により $\nu=N_q((a,b))$ である。 $\nu=0$ ならば $Z\cap(a,b)=\emptyset$ であり、 $\nu=1$ ならば $C$ に加えた区間は実根をちょうど一つ含む。 $\nu\ge2$ ならば、(1)により $s$ は $q$ の根でない $(a,b)$ の点であるから、 $Z\cap(a,b)\subset(a,s)\cup(s,b)$ であり、 $(a,s)$ と $(s,b)$ は互いに交わらず $(a,b)$ に含まれる。いずれの場合も主張は更新の後で成り立つ。▨

$(-B,B)$ の深さを $0$ とし、 $(a,b)$ を分けて加える二つの区間の深さを $(a,b)$ の深さに $1$ を加えたものとする。(1)により、深さ $k$ の区間の幅は $(3/4)^k\cdot2B$ 以下である。 $Z$ の元が高々一つならば、最初の更新で $\nu\le1$ となり手続きは停止する。 $Z$ の元が二つ以上ならば、§E20.39 命題 2.1 (1)により $Z$ は有限であるから、相異なる二元の距離の最小値 $\eta>0$ が存在する。主張 6.4.1により $(3/4)^{k_0}\cdot2B<\eta$ を満たす $k_0$ が存在し、深さが $k_0$ 以上の区間は $Z$ の元を二つ含まないので分けられない。したがって $L$ に加えられる区間の深さは $k_0$ 以下であり、深さ $k+1$ の区間は深さ $k$ の区間を分けるごとに二つ加えられ、各区間は $L$ から一度だけ除かれるので、更新の回数は $2^{k_0+1}-1$ 以下である。停止したとき $L$ は空であるから、主張 6.4.2により(2)の停止時の性質が成り立つ。

(3)を示す。 $(a_k,b_k)$ が $q(a_k)q(b_k)\ne0$ を満たし実根 $\xi$ だけを含むとし、 $s:=\sigma_q(a_k,b_k)$ と置く。 $q(s)\ne0$ であるから $(a_k,s)$ と $(s,b_k)$ の一方だけが $\xi$ を含み、命題 6.1 (3)により $V(a_k)-V(s)=N_q((a_k,s))\in\{0,1\}$ である。したがって $(a_{k+1},b_{k+1})$ は $\xi$ だけを含み、端点で $q$ は零にならず、 $[a_{k+1},b_{k+1}]\subset[a_k,b_k]$ であり、(1)により $b_{k+1}-a_{k+1}\le\frac34(b_k-a_k)$ である。 $k$ に関する帰納法により前半の四つの性質が成り立ち、主張 6.4.1により $b_k-a_k$ は $\varepsilon$ より小さくなる。 $\eta:=\min\{\xi-a,\ b-\xi\}>0$ と置き、主張 6.4.1により $(3/4)^k(b-a)<\min\{\eta,\tau\}$ を満たす $k$ を取る。 $\xi\in(a_k,b_k)$ と $b_k-a_k<\eta$ から $a_k>\xi-\eta\ge a$ かつ $b_k<\xi+\eta\le b$ であり、 $b_k-a_k<\tau$ であるから、この $k$ で幅 $\tau$ の出力の条件が満たされる。出力 $(c',d')$ は $a<c'$ と $d'<b$ を満たすので、 $[c',d']\subset(a,b)$ である。

(4)を示す。(3)により、各 $[c_\ell,d_\ell]$ は $C$ の対応する区間に含まれ、その区間の実根だけを含む。(2)により $C$ の区間は互いに交わらず $Z$ を覆うので、主張が成り立つ。

各段の計算は、有理数における $V$ と $q$ の値と有理数の比較であり、命題 6.1 (2)により得られる。▨

定義 6.5. $K$ を命題 6.1の体とする。 $h\in K[x]$ が平方自由であり、有理数 $c<d$ が $h(c)h(d)\ne0$ を満たし、 $(c,d)$ が $h$ の実根をちょうど一つ含むとき、その実根を $\beta$ として、 $(h,c,d)$ を $\beta$ の $K$ 上の表示 (representation over K) という。

命題 6.6. $K$ を命題 6.1の体とし、 $h\in K[x]$ を零でない多項式とする。 $h$ の任意の実根 $\beta$ は実代数的数である。 $h$ が平方自由ならば、定理 6.4 (4)の各 $(c_\ell,d_\ell)$ について $(h,c_\ell,d_\ell)$ は $K$ 上の表示であり、 $h$ の各実根はそのいずれかによって表される。

証明. $\beta$ は零でない $h\in K[x]$ の根であるから $K$ 上代数的であり、§E8.2 定理 3.1により $[K(\beta):K]$ は有限であるので、§E8.2 命題 4.1により $K(\beta)/K$ は代数拡大である。命題 6.1 (1)により $K/\Q$ は代数拡大であるから、§E8.2 定理 5.1を $\Q\subseteq K\subseteq K(\beta)$ に適用して、 $\beta$ は $\Q$ 上代数的である。後半は定理 6.4 (4)による。▨

例 6.7. $K:=\Q(\sqrt2)$ とし、例 5.4の表示 $(x^2-2,1,2)$ で $\sqrt2$ を与える。 $h:=x^2-\sqrt2\in K[x]$ と置くと $h'=2x$ であり、 $h$ と $h'$ のモニック最大公約元は $2x$ を割り切るので $1$ または $x$ であって、 $h(0)=-\sqrt2\ne0$ から $1$ である。したがって $h$ は平方自由である。命題 1.3 (3)により $1<\sqrt2<4$ であるから $h(1)=1-\sqrt2<0<4-\sqrt2=h(2)$ であり、§E20.39 補題 1.4により $h$ は $(1,2)$ に実根 $\beta$ をもつ。 $h$ の実根は $x^2=\sqrt2$ の解であり $\pm\beta$ に限られるので、 $(h,1,2)$ は $\beta$ の $K$ 上の表示である。

$\beta$ は $K$ に属さない。実際、 $\sqrt2=r/s$ を満たす互いに素な整数 $r,s$ があれば $r^2=2s^2$ から $r$ は偶数であり、 $r=2r'$ と書くと $s^2=2r'^2$ から $s$ も偶数となって、 $r,s$ が互いに素であることに反するので、 $\sqrt2$ は有理数でない。次数 $2$ の可約多項式は一次因子をもつので $x^2-2$ は $\Q$ 上既約であり、§E8.2 定理 3.1により $K$ の元は有理数 $u,v$ により $u+v\sqrt2$ と書くことができる。 $\beta=u+v\sqrt2$ ならば $\sqrt2=\beta^2=u^2+2v^2+2uv\sqrt2$ であり、 $\sqrt2$ が有理数でないことから $2uv=1$ かつ $u^2+2v^2=0$ である。後者から $u=v=0$ となり、 $2uv=1$ に反する。したがって $\beta$ は命題 6.1の係数として扱われる $K$ の元ではなく、 $K$ 上の表示 $(h,1,2)$ によって与えられる。

命題 7.1. $K$ を命題 6.1の体、 $(h,c,d)$ を $\beta$ の $K$ 上の表示とし、 $g\in K[x]$ とする。

$g=0$ ならば $g(\beta)=0$ である。 $g\ne0$ とし、 $h$ と $g$ のモニック最大公約元を $D$ とする。 $g(\beta)=0$ であることは、 $D$ の次数が $1$ 以上であり、 $D$ の Sturm 列から定めた $V_D$ について $V_D(c)-V_D(d)=1$ であることと同値である。
$g(\beta)\ne0$ とし、 $g=\sum_{i=0}^rg_ix^i$ と書く。各 $i$ について、 $g_i$ が有理数として与えられているならば $[a_{i,k},b_{i,k}]:=[g_i,g_i]$ と置き、そうでなければ $g_i$ の表示の精密化列を $(a_{i,k},b_{i,k})_{k\in\N}$ とする。 $(c_k,d_k)_{k\in\N}$ を $h$ による $(c,d)$ の縮小列とする。 $r+2$ 変数の式を $E^{(r)}:=\xi_{r+2}$ 、 $0\le i<r$ について $E^{(i)}:=E^{(i+1)}\cdot\xi_1+\xi_{i+2}$ で定めて $E_g:=E^{(0)}$ と置き、 $X^{(k)}:=[c_k,d_k]\times\prod_{i=0}^r[a_{i,k},b_{i,k}]$ と置く。 $0\notin E_g(X^{(k)})$ を満たす $k$ が存在し、そのような任意の $k$ について $g(\beta)$ は $\inf E_g(X^{(k)})$ と同符号である。

証明.(1)を示す。零多項式の値は $0$ であるから、 $g=0$ ならば $g(\beta)=0$ である。 $g\ne0$ とする。命題 6.1 (2)により $D=uh+vg$ を満たす $u,v\in K[x]$ が存在する。 $g(\beta)=0$ ならば $D(\beta)=u(\beta)h(\beta)+v(\beta)g(\beta)=0$ であり、 $D$ はモニックであるから次数が $1$ 以上である。 $D$ の次数が $1$ 以上ならば、補題 1.2 (1)により $D$ は平方自由でその実根は $h$ の実根であり、 $h(c)h(d)\ne0$ から $D(c)D(d)\ne0$ であるので、命題 6.1 (3)により $V_D(c)-V_D(d)=N_D((c,d))$ である。 $(c,d)$ に属する $h$ の実根は $\beta$ だけであるから、 $N_D((c,d))=1$ であることは $D(\beta)=0$ と同値である。 $D(\beta)=0$ ならば、 $D$ は $g$ を割り切るので $g(\beta)=0$ である。したがって $g(\beta)=0$ であることは $D(\beta)=0$ であることと同値であり、後者は $\deg D\ge1$ かつ $V_D(c)-V_D(d)=1$ であることと同値である。

(2)を示す。 $y:=(\beta,g_0,\ldots,g_r)$ と置くと、 $y_1=\beta$ 、 $y_{i+2}=g_i$ であるから $f_{E^{(r)}}(y)=g_r$ であり、 $0\le i<r$ について $f_{E^{(i)}}(y)=f_{E^{(i+1)}}(y)\beta+g_i$ である。 $i$ に関する下向きの帰納法により $f_{E^{(i)}}(y)=\sum_{j=i}^rg_j\beta^{j-i}$ であるから、 $f_{E_g}(y)=g(\beta)\ne0$ である。定理 6.4 (3)と命題 1.3 (2)により、 $y\in X^{(k)}\subset X^{(0)}$ であり、任意の実数 $\varepsilon>0$ に対して $X^{(k)}$ の各辺の幅が $\varepsilon$ より小さくなる $k$ が存在する。 $E_g$ は除算を含まないので $E_g(X^{(0)})$ は定まり、命題 3.3により主張が成り立つ。▨

例 7.2.例 6.7の $K=\Q(\sqrt2)$ 、 $h=x^2-\sqrt2$ と $\beta$ の $K$ 上の表示 $(h,1,2)$ を用いる。 $g=h$ ならば $D=h$ であり、 $(1,2)$ に属する $h$ の実根は $\beta$ だけであるから $V_D(1)-V_D(2)=1$ であり、命題 7.1 (1)により $g(\beta)=0$ である。 $g=1$ ならば $D=1$ であり $g(\beta)\ne0$ であって、 $E_g=\xi_2$ に対して $E_g(X^{(0)})=[1,1]$ であるから $g(\beta)>0$ である。

$g=x-1$ とする。 $h(1)=1-\sqrt2\ne0$ であるから§E6.28 定理 4.2により $x-1$ は $h$ を割り切らず、 $D=1$ であるので $g(\beta)\ne0$ である。 $h$ による $(1,2)$ の縮小列は、 $d=2$ として $\sigma_h(1,2)=3/2$ 、 $\sigma_h(1,3/2)=5/4$ 、 $\sigma_h(1,5/4)=9/8$ であり、 $\sqrt2<25/16$ と $81/64<\sqrt2$ から $\beta\in(1,3/2)$ 、 $\beta\in(1,5/4)$ 、 $\beta\in(9/8,5/4)$ となるので、 $(c_1,d_1)=(1,3/2)$ 、 $(c_2,d_2)=(1,5/4)$ 、 $(c_3,d_3)=(9/8,5/4)$ である。係数 $g_1=1$ 、 $g_0=-1$ は有理数として与えられ、 $E_g=\xi_3\cdot\xi_1+\xi_2$ について $E_g(X^{(k)})=[c_k-1,d_k-1]$ である。これは $k=0,1,2$ で $0$ を含み、 $k=3$ で $[1/8,1/4]$ となるので、 $g(\beta)=\beta-1>0$ である。

定理 7.3. $K$ を命題 6.1の体とし、 $g_1,\ldots,g_r\in K[x]$ （ $r\ge1$ ）とする。 $g_j=0$ を満たす $j$ の集合を $J_0$ 、 $g_j$ が零でない定数である $j$ の集合を $J_c$ 、 $\deg g_j\ge1$ を満たす $j$ の集合を $J_+$ とする。 $J_+=\emptyset$ ならば $t:=0$ と置く。 $J_+\ne\emptyset$ ならば、 $\prod_{j\in J_+}g_j$ に補題 1.2 (2)を適用して得る平方自由な $H$ を取り、 $t\in\N$ と有理数 $c_\ell<d_\ell$ （ $1\le\ell\le t$ ）が $H(c_\ell)H(d_\ell)\ne0$ を満たし、閉区間 $[c_\ell,d_\ell]$ は互いに交わらず、各 $(c_\ell,d_\ell)$ は $H$ の実根をちょうど一つ含み、 $H$ の実根はすべていずれかの $(c_\ell,d_\ell)$ に属し、 $c_1<\cdots<c_t$ であるとする（定理 6.4 (4)の出力を並べ替えたものはこれを満たす）。 $(c_\ell,d_\ell)$ に属する $H$ の実根を $\beta_\ell$ とする。 $t=0$ ならば $\R$ を唯一の区画とし、その標本点を $0$ とする。 $t\ge1$ ならば、開区間 $I_0:=(-\infty,\beta_1)$ 、 $I_\ell:=(\beta_\ell,\beta_{\ell+1})$ （ $1\le\ell<t$ ）、 $I_t:=(\beta_t,\infty)$ と一点集合 $\{\beta_\ell\}$ （ $1\le\ell\le t$ ）を区画とし、 $I_0$ の標本点を $c_1$ 、 $I_\ell$ （ $1\le\ell\le t$ ）の標本点を $d_\ell$ とする。

$t\ge1$ ならば $\beta_\ell<d_\ell<c_{\ell+1}<\beta_{\ell+1}$ （ $1\le\ell<t$ ）であり、区画は $\R$ の分割をなし、各標本点はその区画に属する。 $\bigcup_{j\in J_+}\{x\in\R\mid g_j(x)=0\}=\{\beta_1,\ldots,\beta_t\}$ である。すなわち、各 $j\in J_+$ について $g_j$ の実根はいずれかの $\beta_\ell$ に等しく、各 $\beta_\ell$ はある $j\in J_+$ について $g_j$ の実根である。
$j\in J_0$ ならば $g_j$ は $\R$ 上で $0$ であり、 $j\in J_c$ ならば $g_j$ は $\R$ 上でその定数の符号をとる。 $j\in J_+$ とし、 $I$ を $\{\beta_\ell\}$ でない区画、 $s$ をその標本点とすると、任意の $x\in I$ に対して $\operatorname{sgn}g_j(x)=\operatorname{sgn}g_j(s)$ である。
$1\le\ell\le t$ に対して $(H,c_\ell,d_\ell)$ は $\beta_\ell$ の $K$ 上の表示であり、各 $g_j(\beta_\ell)$ の符号は命題 7.1により定まる。

区画、標本点、各区画における $g_1,\ldots,g_r$ の符号は、命題 6.1 (2)、定理 6.4、命題 7.1の計算の有限回で得られる。

証明.(1)を示す。 $\ell<\ell'$ ならば $c_\ell<c_{\ell'}$ であり、 $[c_\ell,d_\ell]$ と $[c_{\ell'},d_{\ell'}]$ は交わらないので $d_\ell<c_{\ell'}$ である。したがって $\beta_\ell<d_\ell<c_{\ell+1}<\beta_{\ell+1}$ であり、 $\beta_1<\cdots<\beta_t$ であるから区画は $\R$ の分割をなし、 $c_1<\beta_1$ と $\beta_t<d_t$ から各標本点はその区画に属する。補題 1.2 (2)により、実数 $x$ について $H(x)=0$ であることは $\prod_{j\in J_+}g_j(x)=0$ であること、すなわちある $j\in J_+$ で $g_j(x)=0$ であることと同値である。 $H$ の実根の全体は $\{\beta_1,\ldots,\beta_t\}$ であるから、 $\bigcup_{j\in J_+}\{x\in\R\mid g_j(x)=0\}=\{\beta_1,\ldots,\beta_t\}$ である。 $J_+=\emptyset$ ならばこの和集合は空であり $t=0$ である。 $t=0$ ならば区画は $\R$ だけであり、標本点 $0$ はこれに属する。

(2)を示す。 $j\in J_0\cup J_c$ ならば、 $g_j$ は定数多項式であるから $\R$ の各点でその定数に等しい。 $j\in J_+$ とし、 $I$ を $\{\beta_\ell\}$ でない区画とする。(1)により $I$ は $g_j$ の実根を含まないので、§E20.39 補題 1.4を連続関数 $g_j$ の $I$ への制限に適用すると、任意の $x\in I$ に対して $g_j(x)g_j(s)>0$ である。

(3)は、 $H$ が平方自由であることと $(c_\ell,d_\ell)$ の仮定から従う。最後の主張の標本点での符号は、 $g_j(s)\in K$ と命題 1.3 (3)により得られる。▨

例 7.4. $K=\Q$ 、 $g_1=0$ 、 $g_2=-3$ 、 $g_3=(x-1)^2$ 、 $g_4=x^2-1$ とする。 $J_0=\{1\}$ 、 $J_c=\{2\}$ 、 $J_+=\{3,4\}$ であり、 $g_3g_4=(x-1)^3(x+1)$ の平方自由部分は $H=(x-1)(x+1)=x^2-1$ である。 $(c_1,d_1)=(-3/2,-1/2)$ 、 $(c_2,d_2)=(1/2,3/2)$ は定理 7.3の条件を満たし、 $\beta_1=-1$ 、 $\beta_2=1$ である。標本点 $-3/2$ 、 $-1/2$ 、 $3/2$ における $(g_3,g_4)$ の値は $(25/4,5/4)$ 、 $(9/4,-3/4)$ 、 $(1/4,5/4)$ である。 $H$ と $g_4$ のモニック最大公約元は $H$ であり、 $(-3/2,-1/2)$ と $(1/2,3/2)$ はそれぞれ $H$ の実根を一つ含むので、 $g_4(\beta_1)=g_4(\beta_2)=0$ である。 $H$ と $g_3$ のモニック最大公約元は $x-1$ であり、その実根 $1$ は $(1/2,3/2)$ に属し $(-3/2,-1/2)$ に属さないので、 $g_3(\beta_2)=0$ 、 $g_3(\beta_1)\ne0$ である。 $E_{g_3}=(\xi_4\cdot\xi_1+\xi_3)\cdot\xi_1+\xi_2$ の $\xi_1,\xi_2,\xi_3,\xi_4$ に $[-3/2,-1/2]$ 、 $[1,1]$ 、 $[-2,-2]$ 、 $[1,1]$ を入れると $[9/4,25/4]$ を得るので、命題 7.1 (2)により $g_3(\beta_1)>0$ である。したがって、区画 $(-\infty,-1)$ 、 $\{-1\}$ 、 $(-1,1)$ 、 $\{1\}$ 、 $(1,\infty)$ の順に、 $g_1$ の符号はすべて $0$ 、 $g_2$ の符号はすべて負、 $g_3$ の符号は正、正、正、 $0$ 、正、 $g_4$ の符号は正、 $0$ 、負、 $0$ 、正である。 $g_3$ の重根 $1$ は $g_4$ との共有根でもあり、 $H$ の単根 $\beta_2$ として一つの区画を与える。

命題 7.5. $p\in\Q[t]$ を平方自由とし、有理数 $a<b$ について $(a,b)$ を $p$ の分離区間、 $\alpha$ を $(a,b)$ に属する $p$ の実根とする。任意の実数 $t$ に対して次が成り立つ。

\begin{aligned} t=\alpha&\iff a<t<b\ \wedge\ p(t)=0,\\ t<\alpha&\iff t\le a\ \vee\ \bigl(a<t<b\ \wedge\ p(t)p(a)>0\bigr). \end{aligned}

したがって、 $t>\alpha$ 、 $t\le\alpha$ 、 $t\ge\alpha$ は、この二つの右辺の否定と選言によって有理係数多項式の符号条件で表される。

証明.§E20.39 補題 5.4により $p(a)p(b)<0$ である。 $\alpha$ は $(a,b)$ に属する $p$ の唯一の実根であり $p(a)p(b)\ne0$ であるから、 $p$ は $[a,\alpha)$ 上と $(\alpha,b]$ 上に零点をもたない。§E20.39 補題 1.4により、 $a<t<\alpha$ ならば $p(t)p(a)>0$ であり、 $\alpha<t<b$ ならば $p(t)p(b)>0$ であるから、 $p(t)p(a)\cdot p(b)^2=p(t)p(b)\cdot p(a)p(b)<0$ より $p(t)p(a)<0$ である。

$t=\alpha$ ならば $a<t<b$ かつ $p(t)=0$ であり、逆に $a<t<b$ かつ $p(t)=0$ ならば $t$ は $(a,b)$ に属する $p$ の実根であるから $t=\alpha$ である。 $t<\alpha$ ならば、 $t\le a$ であるか、 $a<t<\alpha$ であって $p(t)p(a)>0$ である。逆に $t\le a$ ならば $t<\alpha$ である。 $a<t<b$ かつ $p(t)p(a)>0$ ならば、 $p(\alpha)=0$ から $t\ne\alpha$ であり、 $\alpha<t<b$ では $p(t)p(a)<0$ であるから、 $t<\alpha$ である。 $t>\alpha$ は $t=\alpha$ でも $t<\alpha$ でもないことと、 $t\le\alpha$ は $t=\alpha$ または $t<\alpha$ であることと、 $t\ge\alpha$ は $t<\alpha$ でないことと同値である。▨

問題 8.1.補題 4.2の証明を完成させよ。

§E20.40実代数的数と終結式

1 表示と比較

2 有限因数分解と最小多項式

3 単拡大の演算と区間評価による符号

4 行列式と終結式

5 四則演算

6 実代数的係数の多項式

7 根における符号と符号表

8 演習

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